4. Teskari funksiyaning hosilasi.
Teskari funksiyaning mavjudligi haqidagi teoremani isbotsiz keltirib o’taylik.
Teorema. Agar y=f(x) funksiya [a,b] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo’lib, shu kesmada o’suvchi (kamayuvchi) bo’lsa, bu funksiyaga teskari bo’lgan x=φ(y) funksiya mavjud bo’ladi. y=f(x) ga teskari bo’lgan funksiyani topish uchun tenglamani x ga nisbatan yechish kerak.
Teorema. Agar y=f(x) funksiya x nuqtada chekli f '(x) ≠0 hosilaga ega bo’lsa, u holda bu
funksiyaga teskari bo’lgan x= φ (y) funksiya ham shu nuqtada φ’(y)= 1
f ' ( x )
hosilaga ega bo’ladi.
Isboti. y'x=f '(x) mavjud bo’lsin. x= φ (y) funksiya argumenti u ga y orttirma bersak
X= φ(y+ Y) - φ(y),
x 1
y
x ' ' ( y )
lim
x 1 1 1
lim
y y
y 0 y
y 0
y
lim
y
f ' ( x )
φ'(y) =
1
f ' ( x )
yoki xy' =
1
y ' ( x )
x y 0 x
5. Yig’indi, ko’paytma va bo’linmaning hosilasi.
Teorema. Agar u(x) va v(x) funksiyalar X (a,b) nuqtada u'(x) va v'(x) hosilalarga ega bo’lsa, u holda ularning algebraik yig’indisi, ko’paytmasi va bo’linmasi shu x nuqtada hosilaga ega bo’lib, quyidagi formulalar bo’yicha topiladi:
(u±v)'=u'±v';
(uv)'=u'v+uv'
u
u ' v uv '
‘ =
( v ( x ) 0 )
2
v v
Isboti. [u(x)+v(x)]'=u'(x)+v'(x) ekanligini ko’rsataylik. y=u(x)+v(x) deb x ga X orttirma bersak u(x), v(x) funksiyalar ham orttirma oladi: AU=U(X+AX)-U(X)
u=u(x+ x)-u(x)
y=y(x+Ax)-y(x)=[u(x+Ax)-u(x)]+[v(x+ x)-v(x)]= U+ V teoremaning shartiga ko’ra u(x),
u(x) funksiyalar differensiallanuvchi bo’lgani uchun
lim
y
lim
u
v
u’(x)+v’(x) u(x)+v(x)|'=u'(x)+v'(x)
x 0 x
x 0 x
x
Qolganlari ham shunga o’xshash isbot qilinadi.
6. Asosiy elementar funksiyalarning hosilalari.
1. y=xn (x>0) darajali funksiyamng hosilasini topaylik. Funksiya hosilasining ta'rifiga ko’ra
n
n
n
x
x
n
x
x 1
y
1
x
x 1
n 1
1
x
y=(x+ x)n-xn=x n [ 1
x
n
1 ,
x x
;
x
x
n
x
x
1
1
1
1
lim
x
= n ajoyib limitni e’tiborga olsak
lim
y
lim
x
x
x n 1
nx
n 1
x 0
n
y ' ( x
x
)' nx
n 1 .
x 0 x
x 0
x
2.y=ax (a>0, a≠ \ ) ko’rsatkichli funksiyaning hosilasi.
y a x x a x a x ( a x 1);
y a x ( a x 1)
,
x x
lim
a x 1
1 na
ajoyib limitga ko’ra
y '
lim
y
lim
a x ( a x 1 )
a x
x 0
lim
x 0
x
a x 1
x
a x 1 na
D ema k , y'= (a
x)'= a
x 0 x
xlna
x 0 x
1
3. y= logax (a>0, a≠ 1) logarifmik funksiyaning hosilasi ham y'=(loga x)'=
x
bila n topiladi.
loga e formula
Agar logae= 1 ; logea=lna; logex=lnx; logxe= 1 . ekanligini e’tiborga olsak
1 n e
1 n x
y'= (loga x)'= 1 kelib chiqa di.
x 1 na
1
Agar a=e desak lna=lne=l bo’lib, y=lnx; y'=(1nx)'=
x
bo’ladi.
4. y=sinx funksiyani ng hosilasini topish uchun x ga x
orttirma bersak , y ham y
orttirma
x
2 x x
olib
y =sin(x+ x)-sinx=2sin
cos ,
2
2
x
x
sin
y
cos x
2
2 2
y '
lim
lim
cos x .
y ' (sin
x 0 x
x )' cos x
x 0
x
xuddi shuningdek o’rta maktab dasturidan bizga ma'lum bo’lgan boshqa trigonometrik funksiyalarning hosilalarini hisoblash mumkin:
(cos
Do'stlaringiz bilan baham: |