Oliy va o’rta ta’lim vazirligi

1-ta’rif. Quyidagi aksiomalarga bo’ysunuvchi chekli yoki cheksiz G to’plam gruppa deyiladi.

elementlardan tuzilgan G gruppa ko’rinishda belgilanadi.
Agar gruppada aksiomalar bajarilib bo’lsa bunday gruppani komutativ gruppa yoki yoki Abel gruppasi deyiladi.
Agar bo’lsa bunday gruppani additiv grupa deyiladi.
Agar bo’lsa bunday gruppa multiplikativ gruppa deyiladi.
aksiomalar bajarilgan gruppa yarim gruppa deyiladi. bajarilsa gruppa monoid gruppa deyiladi.
gruppada G elementi soni chekli bo’lsa chekli gruppa deyiladi.
G gruppaning tenglikni qanoatlantiruvchi a va b elementlar o’rin almashinuvchi elementlar, bo’lgan holda esa ularni o’rin almashinmas elementlar deyiladi. G gruppaning quyidagi asosiy xossalarini ko’rib chiqamiz
1-xossa. G gruppaning o’ng birligi chap birlik ham bo’ladi.
aksioma bo’yicha yoki aksiomada keltirilgan o’rinlidir.
(1)
Yana aksiomaga ko’ra bo’lgani sababli (1) dan ushbu hosil bo’ladi:
. Demak element uchun o’ng birlik vazifasini bajaruvchi element chap birlik ham bo’ladi.
G da yagona birlik element mavjud, chunki birlik element bo’lsa, dan ko’paytmaning bir qismiga asosan kelib chiqadi.
2-xossa. Har bir elementning x o’ng teskari elementi chap teskari elementi vazifasini ham bajaradi. Haqiqatdan ham, bilan birga aksiomaga muvofiq
(2)
bo’ladi. Bunung ikkala tomonini chapdan ga ko’paytirib, quyidagiga ega bo’lamiz: . Demak, (2) ko’rinishni oladi, ya’ni x element ning chap teskari elementi vazifasini ham bajaradi.
ga yagona teskari element mavjud, chunki ga teskari elementlar desak, bo’ladi. ga yagona teskari element ko’rinishida belgilanadi. Shunday qilib

o’zaro teskari elementlar deyiladi.
3-xossa. dan kelib chiqadi
Haqiqatdan, ning chap va o’ng tomonida ga ko’paytirsak, quyidagilarni hosil qilamiz:
(3)
Endi (3) ni chap va o’ng tomonini ga ko’paytirib, quyidagilarni hosil qilamiz:
.
4-xossa. tenglamalar mos ravishda yagona yechimlarga ega.
Bu yechimlar ni chap tomondan , ni esa o’ng tomondan ga ko’paytirishdan hosil qilinadi.
5-xossa. ko’paytirish assasiativdir.
Haqiqatdan ham ni ko’rinishida yoza olamiz. Endi uchta elemeentni ko’paytirish assosiativ bo’lganidan, va hokazo. Demak k ta element ko’paytmasini qavssiz yoza olamiz:
.
6-xossa. G ning k ta elementini ko’paytirish bajariluvchan va bir qiymatli va bir qiymatli;
va bir qiymatli
va bir qiymatli va hokazo.
7-xossa. elementlarning ko’paytmasiga teskari element bo’ladi.
Buni tekshirib ko’rsak,

bo’ladi. Shunday qilib, dir.
Xususiy holda .
8-xossa. ko’paytmani ko’rinishida yozib , a elementning darajasi deymiz. Shuningdek, ni bunday yozamiz: .
U holda a ning darajasiga ega bo’lamiz. Endi, uchun deb qabul qilamiz. Demak, elementning istalgan butun darajasi yana ning elementi bo’ladi.
Quyidagilarni isbotlash oson:

Bunda m va n istalgan butun sonlar. Faqat o’rin almashinuvchi a va b elementlar uchungina bo’ladi.
Shuniham aytish kerakki, o’zaro teskari elementlardir, chunki

Elementlarining soni chekli bo’lgan gruppa chekli gruppa , elementlari cheksiz ko’p bo’lgan gruppa cheksiz gruppa deyiladi. Grupaning elementlari soni uning tartibi deyiladi. Shunday qilib, chekli va cheksiz tartibli gruppalar mavjud.
QISM GRUPPA.
Ta’rif. gruppaning H qism to’plami dagi algebraik amalga nisbatan gruppa tashkil etsa, H ni ning qism gruppasi deyiladi.
Teorema. gruppaning H qism to’plami da qism gruppa tashkil etishi uchun quyidagi ikkita shart bajarilishi zarur va yetarli;

1. 
   (G dagi algebraik amal H da ham algebraik amaldir);
   
2. 
   ( H ning istalgan elementiga teskari element ham H ga qarashli)
   

Shunday gruppalar mavjudki bunday gruppalar faqat va faqat bitta element orqali hosil qilinadi, bunday gruppalar siklli gruppalar deb ataladi. Bunday gruppaga misol qiib quyidagi gruppani keltirish mumkin
- skill gruppa.
- lar mos ravishda amallarga nisbatan gruppalar bo’lsin. Agar ixtiyoriy lar uchun bo’lsa biyektiv akslantirish gruppaning gruppaga izomorfizimi deyiladi. Bu holda gruppa gruppaga izomorf ham deyiladi hamda kabi belgilanadi. Gruppaning o’ziga izomorfligi uning avtomorfizmi deyiladi.
Multiplikativ -gruppa , uning qism gruppasi bo’lsin. bo’lsin. to’plam G gruppaning H qismgruppa bo’yicha chap qo’shni sinfi, to’plam G gruppaning H qismgruppa bo’yicha o’ng qo’shni sinfi deyiladi.
Chap qo’shni sinflarning quyidagi xossalarini ko’rib chiqamiz:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   

Xuddi shu xossalar o’ng qo’shni uchun ham o’rinli.
Berilgan G gruppaning H qismgruppa bo’yicha hamma har xil chap qo’shni sinflari soni uning shu podgruppa bo’yicha hamma har xil o’ng qo’shni sinflari soni bir xil bo’ladi. (Gruppa cheksiz bo’lganda buning ma’nosi shuki, G rruppaning H qismgruppa bo’yicha hamma chap qo’shni sinflarito’plamining quvvati, o’ng qo’shni sinflarining quvvati bilan bir xil bo’ladi.) Bu son (cheksiz to’plam uchun –quvvat) H qismgruppaning G dagi indeksi deyiladi.
Agar G ruppa chekli bo’lsa, u holda uning tartibi uning ixtiyoriy H qismgruppasi tartibi bilan shu qismgruppaning G dagi indeksi ko’paytmasiga teng bo’ladi (lagranj teoremasi). Bundan chekli gruppaning ixtiyoriy qismgruppasining tartibi shu gruppa tartibining bo’luvchisi bo’lishi kelib chiqadi. Shuningdek, ixtiyoriy chekli gruppa ixtiyoriy elementning tartibi ham shu gruppa tartibining bo’luvchisi bo’ladi. Aksincha, agar chekli G tartibi r tub songa bo’linsa, G gruppa r tartibli elementga ega bo’ladi.(Koshi teoremasi)
G gruppa elementlarini H qismgruppa bo’yicha bitta chap qo’shni sinfga tegishlilarini bir to’plamga birlashtirib o’zaro kesishmaydigan sinflarga ajratish G gruppaning H qismgruppa bo’yicha chap tomonli yoyilmasi deyiladi. Agar chap qo’shni sinflar o’rniga qismgruppa bo’yicha o’ng qo’shni sinflar olinsa, G gruppaning H qismgruppa bo’yicha o’ng tomonli yoyilmasi hosil qilinadi.
Agar G gruppaning H qismgruppa bo’yicha o’ng tomonli va chap tomonli yoyilmalari sinflari bir xil bo’lsa, H qismgruppa G gruppaning normal bo’luvchisi deyiladi.
Misol. Agar H qismgruppaning G gruppa indeksi 2 ga teng bo’lsa, N-qismgruppa G ning normal bo’luvchisi bo’lishini isbot qiling.
Yechish: G gruppaning H qism bo’yicha o’ng tomonli sinflar yoyilmalarida qo’shni sinflardan biri H ni o’zi bo’ladi, ikkinchi qo’shni sinf esa G gruppaning H da mavjud bo’lmagan hamma elementlaridan iborat bo’ladi.
-lar mos ravishda ravishda binary algebraic amallarga nisbatan gruppalar bo’lsin. Agar bo’lsa akslantirish gruppaning ga gomomorfizimi deyiladi.
to’plam, bu yerda -element ning neytral elementi , f gomomorfizmning yadrosi bo’ladi va aksincha, G gruppaning har qanday gomomorfizmining yadrosi G ning normal bo’luvchisi bo’ladi bo’ladi.
Agar har bir elementga G gruppaning biror N normal bo’luvchisi bo’yicha gH qo’shni sinf mos qo’yilsa, G gruppaning factor gruppa gomomorf akslantirish hosil bo’ladi. Bu G ning ga tabiiy gomomorfizmi deyiladi, uning yadrosi N normal bo’luvchining o’zi bo’ladi. Tabiiy gomomorizmda G gruppaning gruppaning bitta belgilangan elementiga o’tadigan barcha elementlari to’plami G gruppaning N normal bo’luvchi bo’yicha qo’shni sinfi deyiladi.

2-§. Xalqa va uing xossalari.

Ta’rif. Agar biror K to’plamda 2 ta binar amal qo’shish va ko’paytirish aniqlangan bo’lib,
I.qo’shishga nisbatan k gruppa komutativ bo’lsa,

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   Nol element mavjud:
   
4. 
   Qarama-qarshi element mavjud uchun ;
   

2. 
   Ko’paytirishga nisbatan assosiativlik bajarilsa,
   

5. 
   
   

2. 
   Distributivlik shartlari o’rinli bo’lsa,
   

6. 
   
   
7. 
   
   

u holda bunday sistemaga xalqa deyiladi.
Ta’rif. Agar K xalqada ko’paytirishga nisbatan komutativlik bajarilsa u holda bu xalqaga komutativ xalqa deyiladi.
Ta’rif. xalqada (1-8) komutativ xalqa bo’lib uchun bo’lsa bunday xalqa birlik xalqa deyiladi.
Ta’rif. (1-8) birlik xalqa ekanligi kelib chiqsa bunday xaqlqa butunlilik sohasi deyiladi.
Ta’rif. Shunday chekli m-natural son mavjud bo’lib bo’lsa bunday xalqani m xarakteristikali xalqa deyiladi, aks holda nol xarakteristikali xalqa deyiladi.
Bizga ma’lum bo’lgan barcha sonlar xalqasi nol xarakteristikali xalqalardir.

Teorema. halqa bo’lsa u holda lar uchun quyidagi xossalar o’rinli

1. 
   Agar
   

2. 
   Agar
   

3. 
   
   

4. 
   
   

5. 
   
   

6. 
   
   

7. 
   
   

Ikkita xalqa berilgan bo’lsin;
Ta’rif. Agar shunday akslantirish mavjud bo’lib ular uchun quyidagi shartlar bajarilsa;
1)
2)
3)
4)
Bu akslantirishlar xalqadagi amallarni saqlaydi.
Ta’rif. Agar akslantirish bo’lib amallarni saqlasa (1-4) u holda bunday akslantirishni gomomorfizm xalqasini esa gomomorf xalqa deyiladi.

Ta’rif. Agar o’zaro bir qiymatli bo’lib , u (1-4) amallarni saqlasa u holda bu akslantirish izomorfizm deyiladi, xalqalarni esa izomorf xalqa deyiladi.

Teorema. Agar xalqa bo’lib algebra bo’lsin.
Agar gomomorfizm bo’lsa u holda algebra ham xalqa tashkil etadi. kabi belgilaymiz. Misol:

Xalqaning ideallari.

Ta’rif. element orqali hosil qilingan bosh ideal, element ideali.
1-xossa. u holda

1. 
   
   

Agar bo’lsa
2)
bo’ladi.

3. 
   
   
4. 
   
   

2-ta’rif. H halqa bo’lsin bo’lsin

1. 
   
   
2. 
   
   

I ni halqaning ideali deyiladi.
Masalan:
H-butun sonlar halqasi Z, I=P juft sonlar to’plami

1. 
   Teorema. H halqaning ideallari bo’lsin. H halqaning ideali bo’ladi.
   

Isboti:

1. 
   , u holda
   
2. 
   
   

2-teorema. I H halqaning ideali bo’ladi.
3-teorema. (a) bosh ideal ham H halqaning ideali bo’ladi.
Isboti:

1. 
   u holda
   
2. 
   
   

3-ta’rif. H halqa bo’lib uning ideallari bo’lsin .

ideallarning algebraik yig’indisi.
4-teorema. ham H halqaninng ideali bo’ladi.
Isboti:
1)
2) .
Faktor halqalar.
H-halqa bo’lsin I esa uning ideali bo’lsin agarda bo’lsa yoki
Ikkita element binar munosabatda ayirmasi I ga tegishli

1. 
   Refleksivlik
   
2. 
   Simmetriklik
   
3. 
   Tranzitivlik
   

Yuqoridagi munosabat ekvivalentlik munosabati bo’ladi.
-ekvivalentlik sinfi

Berilgan H xalqa
Istalgan ixtiyoriy ikkita qo’shiluvchi umumiy elementga ega emas;
Teorema. xalqa tashkil etadi da qo’shish va ko’paytirish amallarini quyidagicha aniqlaymiz;

Shunday qilib xalqa tashkil etadi ni (I) orqali hosil qilingan faktor halqa deb ataymiz.
Agar H halqaning L qismto’plami H dagi qo’shish va ko’paytirish amaliga nisbatan xalqa hosil qilsa, H haqaning qismxalqasi deb ataladi. Agar qismxalqa additiv guruhning ko’paytirish amaliga nisbatan yopiq bo’lsa u qismxalqadir. Demak teorema quyidagicha bo’ladi:
Teorema. H halqaning bo’sh bo’lmagan qismto’plami qismxalqa bo’lishi uchun u H dagi ayirish va ko’paytirishga nisbatan yopiq bo’lishi zarur va yetarlidir.
Agar xalqa komutativ bo’lsa uning har qanday qismxalqasi ham komutativ bo’ladi. Qismxalqalarning nol elementi doimo xalqaning nol elementi bilan ustma-ust tushadi, chunki qismxalqa additive guruhlarning qismguruhidir. Birlik elementga ega bo’lgan xalqaning qismxalqasi birli elementga ega bo’lmasligi mumkin . Masalan Z xalqa va undagi 2Z qismxalqa .
Agar H halqaning qismxalqasi birlik elementga ega bo’lsa, u element xalqaning birlik elementidan farqli bo’lishi mumkin. Masalan mos komponentalari bo’yicha

qo’shish va ko’paytirish amallari kiritilgan halqada (1,1) element birlik elementdir, ammo uning ko’rinishidagi elementlaridan iborat qismxalqasida (1,0) element birlik elementdir
Yuqorida keltirilgan xalqaning xossalari o’rinli bo’lsin va va bizga berilgan xalqa birlik xalqa shartini qanoatlantirsin.
H birlik elementli halqa bo’lsin. Agar uchun tenglikni qanoatlantiruvchi element mavjud bo’lsa, element teskarilanuvchi va b element esa element esa ga teskari deyiladi.
Agar ga teskari element mavjud bo’lsa, u yagona. Bu holda uni orqali belgilaymiz. Bu elementning o’zi ham teskarilanuvchi bo’lib, unga teskari, ya’ni

3-§. Chegirmalar xalqasi haqida.

Z butun sonlar xalqasi bo’lib natural son bo’lsin.
Agar Z halqaga tegishli a va b sonlarni m natural songa bo’lgan qoldiqlari
teng bo’lsa , yoki a-b ayirma m ga bo’linsa tenglik o’rinli bo’lsa u holda a va b sonlar m modul bo’yicha taqqoslanadi deyiladi va ko’rinishida belgilanadi.

m modul bo’yicha chegirmalarning sinflarining ta’rifidan munosabat munosabatga teng kuchlidir .

Z to’plamning m modul bo’yicha turli chegirmalar sinfi faktor to’plamning elementlari bo’ladi, ushbu faktor to’plam kabi belgilanadi, ya’ni;

Yuqorida keltirilgan xossalar to’plamada qo’shish va ko’paytirish amallarini kiritishga imkon beradi, ya’ni elementlarning yig’indisi va ko’paytmasini quyidagicha aniqlaymiz:

Taqqoslamalarning quyidagi xossalariga ko’ra :

• 
  Bir xil modulli taqqoslamalarni hadma-had qo’shish mumkin, ya’ni va bo’lsa,
  

ekanligidan sonining m ga bo’linishi kelib chiqadi, demak .

• 
  Bir xil modulli taqqoslamalarni hadma-had ko’paytirish mumkin, ya’ni va bo’lsa
  

m ga bo’inishidan quyidagi

kelib chiqadi.
Bu aniqlangan qo’shish va ko’paytirish amallari binar algebraik amal bo’ladi.
Demak yuqorida keltirilgan taqqoslama xossalaridan yig’indi hamda kopaytmalar a va b elementning tanlanishiga bog’liq emas.
Quyidagi jadvalda to’plamda qo’shish va ko’paytirish amallari jadvallarini keltiramiz:
nol sinf sinflarni qo’shishda nol ro’lini o’ynaydi: har qanday uchun

bo’ladi.

+

birlik sinf sinflarni ko’paytirishda birlik rolini o’ynaydi: har qanday uchun:

bo’ladi.

*

Ravshanki to’plamda aniqlangan qo’shish va ko’paytirish amallari komutativlik , assosiativlik va distributivlik qonunlariga bo’ysunadi, ya’ni,

Hosil qilingan chegirmalar sinflari uchun quyidagilar xossalar o’rinlidir.

1. 
   Agar sinfdagi biror son m son bilan o’zaro tub bo’lsa , u holda bu sinfdagi barcha sonlar bilan o’zaro tub bo’ladi.
   
2. 
   Jufti-jufti bilan o’zaro taqqoslanmaydigan ixtiyoriy m ta sonlar uchun ;
   
3. 
   Agar bo’lsa
   

Xalqaning hamma elementlari to’plami qo’shishga nisbatan gruppa tashkil etadi. Bu gruppa xalqaning additiv gruppasi deyiladi. Birlik xalqaning a elementi uchun ham bo’lsa a element K ning teskarilanuvchi elementi deyiladi. Assosiativ birlik ko’paytirishga nisbatan gruppadair. Bu gruppa xalqaning multiplikativ gruppasi deyiladi.
4-§. CHEGIRMALAR VA ULARGA DOIR MISOLLAR.

m ga bo’lganda r ga teng bir xil qoldiq beradigan butun sonlar to’plami m modul bo’yicha chegirmalar sinfi deyiladi va kabi belgilanadi.

Harbir sinfdan ixtiyoriy ravishda bittadan olingan sonlar to’plami berilgan m modul bo’yicha chegirmalarning to’la sinfi deyiladi.
Odatda chegirmalarning to’la sinfi sifatida berilgan m bo’yicha eng kichik manfiy bo’lmagan chegirmalar 0,1,2,…,m-1 sistema olinadi.
Ba’zan berilgan m modul bo’yicha chegirmalardan absolyut qiymati bo’yicha eng kichik musbat bo’lmagan chegirmalarning to’la sistemasi ham qaraladi; m modul bo’yicha absolyut qiymati jihatidan eng kichik chegirmalarning to’la sinfi ham ishlatiladi. Masalan, bo’lganda bu sistema chegirmalardan iborat bo’ladi. bo’lganda esa yoki chegirmalardan tashkil topadi.
Chegirmalar to’la sistemasidan olingan va m modul bo’yicha o’zaro tub bo’lgan chegirmalar m modul bo’yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasi deyiladi. Keltirilgan sistemada chegirmalar soni eyler funksiyasi qiymatiga teng.
Chegirmalarning to’la sistemasidagi kabi keltirilgan sistemaning ham uch turi ishlatiladi: eng kichik musbat chegirmmalarning keltirilgan sistemasi, absolyut qiymati bo’yicha eng kichik manfiy chegirmalarning keltirilgan sistemasi va absolyut qiymati bo’yicha eng kichik chegirmalarning keltirilgan sistemasi.
butun sonlar sistemasi va bo’lganda va faqat shu holda m modul bo’yicha chegirmalarning to’la sistemasidan iborat bo’ladi. bo’lganda chiziqli formaning qiymatlari m modul bo’yicha chegirmalarning to’la sistemasidan iborat bo’lishi uchun x qabul qiladigan qiymatlar ham chegirmalarning to’la sistemasidan iborat bo’lishi zarur va yetarlidir.
butun sonlar sistemasi va da bo’lganda va faqat shu holda m modul bo’yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasidan iborat bo’ladi. bo’lganda ax chiziqli formaning qiymatlari m modul bo’yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasidan iborat bo’lishi uchun x qabul qiladigan qiymatlar ham chegirmalarning keltirilgan sistemasidan iborat bo’lishi zarur va yetarlidir.
bo’lganda quyidagi taqqoslama o’rinli

bu yerda -Eyler funksiyasi
p –tub son bo’lsa va bo’lganda quyidagi taqqoslama o’rinli:

Agar bo’lsa , u holda haqiqatdan bu holda , . Bundan . Bu munosabatdan va tenglikdan quyidagi xossa kelib chiqadi. Shunga o’xshash munosabat ham isbotlanadi. Demak . Xususan oxirgi tenglikdan quyidagi xossa kelib chiqadi: agar biror sinfdagi biror element m bilan o’zaro tub bo’lsa, u holda bu sinfdagi barcha elementlar ham m bilan o’zaro tub bo’ladi. Bunday sinflar sodda sinflar deyiladi. Ushbu barcha turli sinflar ichida shartni qanoatlntiruvchi sinflargina sodda sinflardir. Shuning uchun m modul bo’yicha sinflar ichida soddalarining umumiy soni m dan katta bo’lmagan va m bilan o’zaro tub bo’lgan natural sonlarning soniga teng.

Misollar.

1-misol. 10 modul bo’yicha chegirmalar to’la sistemasining uchta turini yozing
Yechim:
lar 10 modul bo’yicha eng kichik manfiy bo’lmagan chegirmalarning to’la sistemasi
lar 10 modul bo’yicha absolyut qiymati jihatidan eng kichik manfiy chegirmalarning to’la sistemasi
lar 10 modul bo’yicha absolyut qiymati jihatidan eng kichik manfiy chegirmalarning to’la sistemasi.

2-misol. 10 modul bo’yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasini uchta turini yozing

Yechim:
10 modul bo’yicha eng kichik manfiy bo’lmagan chegirmalarning keltirilgan sistemasi.
10 modul bo’yicha absolyut qiymati jihatidan eng kichik manfiy chegirmalarning keltirilgan sistemasi.
chegirmalar 10 modul bo’yicha absolyut qiymati jihatidan eng kichik chegirmalarning keltirilga sistemasi

3-misol. sonlar qanday modul bo;’yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasini tashkil etishini ko’rsating

Yechim:
5 modul bo’yicha berilgan sonlar mos ravishda sonlar bilan taqqoslanadi, shuning uchun izlanayotgan modul 5 ga teng.

4-misol. sonlar sistemasi 7 modul bo’yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasini tashkil etishini ko’rsating.

Yechim:
Berilgan sonlardan eng kichik musbat chegirmalarni tuzamiz.
chunki ,

5-§. Chegirmalar halqasidida teskarilanuvchi elementning

multiplikativ gruppasi.

Teorema: m modul bo’yicha sodda chegirmalar sinflari da ko’paytirish amaliga nisbatan teskarilanuvchi va unda multiplikativ ( ya’ni ko’paytirishga amaliga nisbatan ) gruppa hosil qiladi. Sodda bo’lmagan noldan farqli sinflar esa da nolning bo’luvchilari bo’ladi.

Isboti: m bilan o’zaro tub bo’lgan sonlarning ko’paytmasi yana m bilan o’zro tub bo’lgani uchun ikkita m modul bo’yicha sodda sinfning ko’paytmasi yana sodda sinf bo’ladi. sinf m modul bo’yicha sodda sinfdir. Agar - sodda sinf bo’lsa (m modul bo’yicha ), u holda .
Shunga ko’ra shunday sonlar mavjudki, . Bundan , ya’ni sinf sinfga teskari. Demak sinf teskarilanuvchi va sinf ham m modul bo’yicha sodda sinf , chunki aks holda tenglikning ikkala tomoni ham ga bo’linadi.
Agar - noldan farqli m modul bo’yicha sodda bo’lmagan sinf bo’lsa, u holda . Bunga ko’ra . Demak sinf da nolning bo’luvchisidir.
Demak, chegirmalar halqasida teskarilanuvchi elementning multiplikativ gruppasi chegirmalar sinfini sodda bo’lgan va sodda bo’lmagan hollari uchun o’rinli bo’lar ekan.

hkjh

Xulosa
Ushbu “Chegirmalar halqasida teskarilanuvchi elementning multiplikativ gruppasi” mavzusini o’rganish jarayonida mavzuga doir barcha ma’lumotlarni tahlil qildik, mavzu borasidagi o’z bilimlarimizni mustahkamladik. Biz o’zlashtirgan bilimlar kelejakda bu mavzuga doir misollarda qiyinchilikka uchramasligimizga yordam beradi.
Men yoritgan mavzuga to’xtalsam, biz o’rgangan chegirmalar sinflari gruppa hamda uning xossalari, xalqa va uning xossalari chegirmalar xalqasi va unda teskarilanuvchi elementning multiplikativ gruppasi haqida tushunchalarni yoritadi.
Gruppa tushunchasi va uning xossalari. Bu qismda gruppa, abel gruppa, monoid gruppa, multiplikativ gruppa, additiv gruppa hamda qism gruppa tushunchalariga alohida to’xtalib o’tdik. Gruppaning xossalarini isbotlashlar orqali tekshirdik. Grupada izomorfizm va gomomorfizm kabi tushunchalarga ta’rif berdik. Grupada keltirilgan ma’lumotlar keyingi reja qismlarini tushuntirishda muhim ahamiyat kasb etdi.
Xalqa va uning xossaari . Rejaning bu qismida xalqaning xossalarini, komutativ xalqa, birlik xalqa, faktor xalqa hamda xalqadagi akslantirishlar ; izomorfizm va gomomorfizm akslantirishlarni, xalqa ideallari tushunchasini, qismgruppa kabi ma’lumotlar keltirildi.
Rejaning keying qismida chegirmalar tushunchasi va uning xalqa tashkil etishi keltirilgan , taqqoslama xossaalari orqali chegirmalarni qo’shish va ko’paytirish amallari keltirib o’tilgan.
Chegirmalar va ularga doir misollar qismida chegirma haqida bir qancha ma’lumotlar hamda ular haqidagi ma’lumotlarni yanada tushunarli keltirish uchun uchun misollar ham keltirib o’tilgan.
So’ngi qismda chegirmalar xalqasida teskarilanuvchi elementning multiplikativ gruppasi bo’lishi teorema orqali tushuntirib berilgan, bunda chegirmalar sinfida sodda sinf va sodda bo’lmagan sinflar keltirilib rejaning ularga tatbiqi keltirilgan.
Mavzuning asosiy mazmuniga e’tibor beradigan bo’lsak gruppa, xalqa va chegirmalar haqida asosiy tushunchalarini o’rgandik.

Foydalanilgan adabiyotlar:

1.” Erkin va farovon demokratik , o’zbekiston davlatini birgalikda barpo etamiz.” Shavkat Miromonvich Mirziyoyev
2.J.Hojiyev, A.S. Faynleyb Algebra va sonlar nazariyasi kursi
3.Algebraa va sonlar nazariyasi. Sh.Ayupov, B.A.Omirov, A,X.Xudoyberdiyev, F.H.Haydarov
4. Algebra va sonlar nazariyasi. Yunusov.
5. www.library.ziyonet.uz.