Oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi farg’ona davlat universiteti «amaliy matematika va informatika» kafedrasi «Hisoblash usullari» fanidan kurs ishi

II BOB. MATRITSANING XOS SONLARI VA XOS VEKTORLARI

2.1 Matritsaning xarakteristik ko’phadi

- haqiqiy elementlarga ega bo'lgan - tartibli kvadrat matritsa va biror-bir noma’lum son bo'lsin. U holda matrisa, matritsaning xarakteristik matritsasi deyiladi, bunda - tartibli birlik matrisa. Xarakteristik matritsa:
(1)
ko'rinishga ega. Bu matritsaning determinanti xarakteristik determinant deyiladi va u quyidagicha yoziladi:
(2)
Xarakteristik detirminant yoyib yozilganda u ga nisbatan - tartibli ko'phad bo'ladi, chunki bu determinantni hisoblaganda, uning bosh dioganalidagi elementlarning ko'paytmasi eng katta hadi ga teng bo'lgan ko'phadni beradi, ya’ni
(3)
ko'phad (3) matritsaning xarakteristik ko'phadi, uning ildizlari (ular haqiqiy, yoki kompleks bo'lishi mumkin) esa matritsaning xarakteristik sonlari yoki xos qiymatlari deyiladi. Sonlar xarakteristik ko'phad (3) ning koeffitsientlari deyiladi. Nolga teng bo'lmagan vektor matritsaning xos vektori deyiladi, agar matritsa vektorni vektorga o'tkazsa:
(4)
bo'lsa, boshqacha qilib aytganda matritsaning vektorga ko'paytmasi va xarakteristik son ning vektorga ko'paytmasi aynan bir vektor bo'lsa matritsaning har bir xos qiymati ga o'zining xos vektori , mos keladi.
Xos vektorning koordinatalarini topish uchun quyidagi teglamani tuzamiz:

bu tenglama xarakteristik tenglama deyiladi. Uni ushbu ko’rinishda yozamiz:
(5)
bunda ko’paytirishni bajarib, bir jinsli tenglamalarni hosil qilamiz:
(6)
sistema (6) ning determinanti nolga teng bo’ladi, chunki ana shu shartdan matritsaning xos qiymatlari aniqlangan edi. Bu sistemani yechib, xos vektor ning barcha koordinatalarini topamiz. Sistema (6) ga ketma-ket larni qo’yish natijasida ta xos vektorlarni topamiz.