Oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi farg’ona davlat universiteti «amaliy matematika va informatika» kafedrasi «Hisoblash usullari» fanidan kurs ishi

I BOB. HISOBLASH USULLARI FANIGA KIRISH

1.1 Hisoblash matematikasining tarixi va rivojlanish bosqichlari

Hisoblash matematikasi – matematikaning hisoblashlar bajaradigan va EHMlardan foydalangan holda hisoblashlar bajaradigan muammolarini o’z ichiga olgan bo’limi. Torroq ma’noda esa hisoblash matematikasi – bu ba’zi turdagi matematik masalalarni yechishni sonli usullar nazariyasi.
Hozirgi davrda jadal sur’atlar bilan rivojlanib borayotgan jamiyat uchun ta’lim – eng muhim jarayonlardan biri hisoblanadi. Xalqning farovon turmush tarzi ta’limning nechog’li sifatli va samaradorligiga bog’liq. Prezidentimiz Sh.M. Mirziyoyev ta’kidlaganidek “Yoshlarimizning mustaqil fikrlaydigan, yuksak intellektual va ma’naviy salohiyatga ega bo’lib, dunyo miqyosida o’z tengdoshlariga hech qaysi sohada bo’sh kelmaydigan insonlar bo’lib kamol topishi, baxtli bo’lishi uchun davlatimiz jamiyatimizning bor kuch va imkoniyatlarini safarbar etamiz”.
Kompyuter va axborot texnologiyalaridan foydalanib, ta’lim sohasida, o’quv faoliyatida va o’quvchilar ijodiy tafakkurini rivojlantirishda yangi imkoniyatlar yaratiladi.
Kompyuterning qo’llanilish sohalaridan biri mexanik jarayonlarni va obyektlarning matematik modellarini hisoblash usullari va kompyuterlarning dasturiy vositalari yordamida tadqiq etish bo’lib qolmoqda. Hisoblash usullari va kompyuterlarning zamonaviy imkoniyatlari birgalikda mexanik jarayonlar va obyektlarning shu paytgacha noma’lum xususiyatlarini ochishga va shu asnoda, texnologik jarayonlarni takomillashtirishga xizmat qilmoqda.
Hisoblash usullar kursi xatoliklar nazariyasi, funksiyalarning yaqinlashtirish sonli integrallash, algebraik va transsendent tenglamalarni yechish usullari (tenglamalar sistemasini ham) va algoritmlar tuzish, sistemalarning shartlanganlik shartlarini o’rganish, sonli hosila olish masalalarini oddiy differensial tenglamaga qo’yilgan Koshi va chegaraviy masalalarini taqribiy yechish usullarini o’rganish, EXM uchun effektif usullarini tanlash, xususiy hosilali differensial tenglamalarga qo’yilgan chegaraviy masalalarini turli, chekli ayirmali usul bilan yechish (approksimasiya, tugunlik , yaqinlashish) va solishtirish , hamda EXM uchun effektivni tanlash, integral tenglamalarini taqribiy yechish usullarga bag’ishlanadi. Sonli usullarni asosiy vazifalari xatoliklar nazariyasi elementi. Xatoliklar turi va ularni hisoblash. Funksiyalarni yaqinlashtirish va enterpolyasiyalash masalasining quyilishi. Yechimning mavjudligi va yagonaligi. Lagranch enterpolyasion ko’phadi. Qoldiq had baxosi. Qoldiq hadning minimumlashtirish. Eytken sxemasi. Algaritim tuzish. Ayirmalar nisbati ishtirokida tuzilgan enterpolyasion ko’phad. Chekli ayirmalitugun nuqtali enterpolyasion ko’phadlar. Sonli differensiallash. Sonli differensiallash xatoligi. Uch tugun nuqtali formula. Splaynlar bilan yaqinlashish (chiziqli va kubik). O’rtacha kvadratik yaqinlashish. Yaqinlashish masalasi. Kichik kvadratlar usuli va algaritmlar tuzish. Taqribiy integrallash. Interpolatsion kvadratur formulalar: to’g’ri to’rtburchak, trapetsiya, Simpson formulalari. Umumlashgan kvadratur formulalar. Xatolikni baholashda Runge qoidasi. EXM uchun alohida algoritm tuzish. Algoritm aniqligi eng yuqori kvadratur formula. Chebishev, Ermit kvadratur formulalari Nolegulyar holda integrallarni hisoblash. Karrali integrallarni taqribiy hisoblash usullari. Chiziqli algebraning taqribiy usullari. Yakobi, Zeydel va oddiy iteratsiya usullari. Xos qiymatlarni to’liq va qisman muammolarni hal etish. Oddiy defferensial tenglamalar uchun Koshi masalasining yechishning sonli usullari. Bir qadamli usullar: Eyler va Runge Kutta usullari. Oddiy defferensial tenglamalarni yechishda ko’p qadamli chekli ayirmali usullar. Ularning yaqinlashish va turg’unligi.
Adams ekstrapolyatsion va interpolyatsion formulalari. Oddiy defferensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni yechishning sonli usullari. Reduksiya usuli. Defferensial haydash usuli. Otish usuli. To’r usuli. Yaqinlashish turg’unlik. Hususiy defferensial tenglamalar uchun chegaraviy masalaning yechishning sonli usullari. Elliptik turdagi tenglamani yechishda to’r usuli. Chegaraviy shartlarni approksimatsiya etish. Libman usuli. Giperbolik va parabolik turdagi tenglamalarni to’r usuli bilan yechish.
Oshkormas sxemalarning turg’unligi. Variatsion va proeksion usullar. Rits, kolakatsiya, Galerkin, kichik kvadratlar va chekli elementlar usuli. Integral tenglamalarni yechishda kvadraturalar, ketma-ket yaqinlashish va ajraluvchi yadrolar usullari.
Matematika turmush masalalarini yechishga bo’lgan extiyoj (yuzalar va hajimlarni o’lchash, kema harakatini boshqarish, yulduzlar harakatini kuzatish va boshqalar) tufayli vujudga kelganligi uchun ham u sonli matematika, hisoblash matematikasi bo’lib, uning maqsadi esa masala yechimini son shaklida topishdan iborat edi. Bu fikrga ishonch hosil qilish uchun matematika tarixiga nazar tashlash kifoyadir. Vavilon olimlarining asosiy faoliyati matematik jadvalar tuzishdan iborat bo’lgan. Shu jadvallardan bizgacha yetib kelganlaridan biri miloddan avval tuzilgan bo’lib, unda 1 dan 60 gacha bo’lgan sonlarning kvadratlari keltirilgan. Miloddan avvalgi 747 – yilda tuzilgan boshqa bir jadvalda Oy va Quyoshning tutilish vaqtlari keltirilgan. Qadimiy misirliklar ham faol hisobchilar bo’lganlar.
Nihoyat 1854-yilda Adams va 1846-yilda La’veryеlarning hisoblashlari natijasida Neptun sayyorasining mavjudligi va uning fazodagi o’rnini oldindan aytishlari hisoblash matematikasining buyuk g’alabasi edi. Tadbiqiy masalarni sonli yechish matematiklar e’tiborini doim o’ziga tortar edi. Shuning uchun ham o’tgan zamonning buyuk matematiklari o’z tadqiqotlarida tabiiy jarayonlarni o’rganish, ularning modellarini tuzish modellarni tekshirish uchun maxsus hisoblash metodlarini yaratishgan. Bu metodlarning ayrimlari Nyuton, Eyler, Lobachebskiy, Gauss, Chebishev, Ermit nomlari bilan bog’liqdir. Bu shundan dalolat beradiki, hisoblash metodlarini yaratishda o’z zamonasining buyuk matematiklari shug’ullanishgan. Shuni ham aytish kerakki, limitlar nazariyaasi yaratilgandan so’ng matematikalarning asosiy diqqat – e’tibori matematik metodlarga qat’iy mantiqiy zamin tayyorlashgan bu metodlar qo’llaniladigan obektlar sonini orttirishiga, matematik obektlarni sifat jihatdan o’rganishga qaratilgan edi. Natijada matematikaning juda ham muhim va ayni vaqtda ko’pincha qiyinchilik tug’diradigan sohasi: matematik tadqiqotlarni so’nggi sonli natijalargacha yetkazish ya’ni hisoblash metodlari yaratishga kam e’tibor berilar edi, bu soha esa matematikaning tadbiqlari uchun juda zarurdir.