Oliy va o'rta m axsus ta'lim vazirligi n iz o m iy n o m id a g I t o sh k e n t davlat pe d a g o g ik a u n IV er siteti

 + 8
a 

7

taqribiy  formulaga ega bo’lamiz.

Javob:  Г = т ^ ( з , ,  + 4dtd2 + 8d22) « ° ' 05J ^ (Щ  + 4d,d2 + 8d22)

Masala.  Massasi  m,  issiqlik  sig’imi  с  o ’zgarmas  bo’lgan jism   boshlang’ich 

momentda  Го temperaturaga  ega bo’lsin.  Havo  temperaturasi  o ’zgarmas  va  r ( 7 > r )  

ga  teng.  Jismning  cheksiz  kichik  dt  vaqt  ichida  bergan  issiqligi  jism   va  havo 

temperaturalari  orasidagi  farqqa,  shuningdek  vaqtga  proporsional  ekanligini  e'tiborga 

olgan  holdajismning sovish qonunini toping.

Yechish.  Sovish  davomida  jism  temperaturasi  7’0  dan  т  gacha 

pasayadi. 

Vaqtning  t  momentida  jism  temperaturasi  T  ga  teng  bo’lsin.  Cheksiz  kichik  dt 

vaqt oralig’ida jism bergan  issiqlik miqdori  masala shartiga ko’ra

dQ=-k( T- f)dt

ga teng,  bu yerda k=const - proporsionallik  koeffitsienti.

Ikkinchi  tomondan,  jism  T  temperaturadan  т  temperaturagacha 

soviganda 

beradigan  issiqlik  miqdori  Q=mc(T-r) ga  teng.  Demak,  Q^mcdT. 

dQ  uchun  topilgan  har  ikkala  ifodani  taqqoslab,  m cd’Y --  k(T -f)dt 

differensial 

tenglamani  hosil  qilamiz.  O ’zgaruvchilami  ajratish 

natijasida  quyidagiga  ega 

bo’lamiz:

d T  

к  .

------ = -------d t.

7  —

t

 

me 

Bu tenglamani  integrallab, quyidagini  topamiz:

к  

^ 1

ln|7  - r |  = ------f + ln C ,y o k i  T-x=Ce  ш  .

me

Boshlang’ich shart (t=0 da  T=T0) С ni topishga  imkon  beradi:  ^  = 

~ z

Shuning uchun  jismning sovish  qonuni  quyidagi  ko’rinishda  yoziladi:

kt

T = r  + ( 7 j - r ) e   mc. 

ч

Javob:  /' = г + (7„ -  т)е  ш .

Masala.  Egri  chiziqning  istalgan  nuqtasidan  koordinata  o ’qlariga  parallel 

to ’g’ri  chiziqlar  o’tkazishdan  hosil  bo’lgan  to’g ’ri  to’rtburchak  shu  egri  chiziq  bilan 

ikki  qismga  bo’linadi.  Bu  bo’laklardan  Ox  o’qqa 

yopishganining  yuzi 

ikkinchisinikidan  ikki  marta katta.  Agar egri  chiziq  M 1; 1)  nuqtadan  o ’tishi  m a‘lum 

bo’lsa,  uni toping.

Yechish.  Egri  chiziqning  M{x,y) 

nuqtasi 

orqali 

Oy  o ’qqa  parallel  MA 

to ’g ’ri chiziq va Ox o ’qqa  parallel  MB  to ’g ’ri  chiziq  o ’tkazamiz (3-rasm)

Masala  shartiga  ko’ra  SaltU  = 2S CBM  .  M a‘lumki,

x  

x

s ocma

  = j ydx, S rHU  = S OBMA - S orMA = x y - \ y d x

n

Noma‘lum  funks iy a uchun  j yd x = 2]  x y - 1  y d x  |  yoki  3 jy d x  -  2 xy 

munosabatlami hosii qilamiz.

3-rasm

Oxirgi  munosobatlaming ikkala tomonini  x  bo’yicha  differensiallash  natijasida 

2x y '  =y  differensial  tenglamani  hosil  qilamiz.  Bu  o ’zgaruvchilari  ajraladigan 

tenglamaning yechimi  /  ~Cx ekanligini topish qiyin emas.

Boshlang’ich 

shartdan 

foydalanib, 

C=1  ni  topamiz.  Shunday 

izlanayotgan  egri chiziq y 2=x paraboladan iborat ekan.

Javob: y 2=x.

Quyidagi  differensial  tenglamalami yeching (1.1-1.20):

1.2 .  ( \ + y 2}dx = xydy.

qilib,

1. 1.  {\ + y 2}dx + (\ + x 2}dy = Q.

1.3.  х ф  + y 1  + y y '-JI + x 2  = 0.

1.5.2 x j l - ^ 2  = y '( l  + x 2).

1.7.(x  + 2 ) ( y 2  + l)( y 2 - x 2y 2)d y  = 0.

1.9.  sec2xsec>'o!* = -ctg*sinyiiv  .

1. 11,  ( y  + xy)dx + (x -  xy)dy  .

1.13.  sinjccosyatr = cosjrsin^rfy.

1.15.  x  odx + \Jl + x 2dy = 0 .

1.17.  У + ytgx = 0  .

1.19.  (xy2 + y 2)dx + ( x 2 - x 2y)dy = 0  .

Quyidagi Koshi masalalarini yeching (1.21-1.22):

1.21.  y 2 + x 2y ' = 0, v ( - l )  = l 

1.22.  2(\ + e‘)yy' + e“  = 0,_v(0 ) = 0

1.23.  (1 + х 2) у гс Ь с-(у2- 1 ) х ус1х = 0,  y{\) = - \   A .2 A .2 y '4 x = y ,  ^ |r=4 =1  >' = «Л "2

1.4.  (x  + \ f d y - ( y - 2 ' ) 2d x .

.  J~ 2x 

1

.

6

. 

y y   = ------- .

У

1.8. у 2 sin xdx + cos2 x  In y d y  = 0 .

1. 10.  x  + xy + y y '(i+ x ) = 0 

1. 12.  y y '+ x  = 1 

1.14.  l + (l + / ) e J = 0  

1.16.  y '(x 2- 4 )  = 2xy 

1.18.  y'-Ja2 + x 2  =

1.20.  (xy2 + y 2)dx + ( x - xy)d y = 0

1.25.  у   = (2у  + ])cigx;  у\х_,  = \   . 

1.26.  /  = 2у[у\пх;  y\x=t = 1

4 

2

1.27.  ( 1 + /) < &  = луг/у;  y |i  2  = 1 . 

1 . 2 8 . / s i n x - . y c o s x  = 0 , y ^ Y j  =  l.

1.29.  Balandligi  H =l,5m ,  asosining  diametri  D = lm   bo’lgan  silindrik  idish  suv  bilan 

to ’ldirilgan.  Suv  idish 

tubidagi  diametri  d=5sm  bo’lgan  teshik  orqali  oqizib

) 

yuborilganda idish qancha  vaqtda bo’shashini aniqlang.

1.30.  O ’q vo=200m/s  tezlik  bilan  harakatlanib  h= \0  sm  qalinlikdagi  devorni  teshib, 

( 

undan 

V!=80m/s  tezlik  bilan  uchib  chiqadi.  Devorning 

qarshilik  kuchi  o ’qning 

' 

harakat tezligi  kvadratiga  proporsional.  O’qning  devor  ichida  harakatlanish  T  vaqtini

toping.

1.31.  A (0;-2)  nuqtadan  o ’tuvchi  va  ixtiyoriy  nuqtasida  o ’tkazilgan 

urinmaning

1 

burchak koeffitsienti urinish nuqtasi ordinatasining uchlanganiga teng bo’lgan chiziqni

toping.

1.32.  Egri  chiziqning  istalgan  nuqtasidagi  urinmasining  koordinatalar  o ’qlari 

orasidagi  kesmasi  urinish  nuqtasida  teng  ikkiga  bo’linadi. Shu egri chiziqni toping.

1.33.  Jismning  havoda  sovish  tezligi  jism  temperaturasi  va  havo  temperaturasi 

ayirmasiga  proportsionai.  Agar  havo  temperaturasi  20°C  bo’lganda jism  20  minutda 

100°C  dan  60 С  gacha  sovisa,  uning  temperaturasi  necha  minutda  30°C  gacha 

pasayadi?

2-§.  Bir  Jiasti differensial tengtamalar. 

J 

K 

_■  j

Agar  /  parametrning  ixtiyoriy  noldan  farqli  qiymatida  f{ tx ,t y ) = t " f( x ,y )  

ayniyat  bajarilsa, j[x,y)  funksiya  n-tartibli  bir Jinsli  funksiya  deyiladi.

Masalan,  / {x,y) = x* + 3x2y   funksiya uchun

f( tx ,ty )  = ( t x f  + 3(tx)2ty = t yx 3 + 3t3x 2y  = t 3(x :>

 + 3x2y )  = t3f { x , y ) .

Demak,  bu funksiya 3- tartibli  bir jinsli bo’ladi.

Agar A x,y) -  nol  - tartibli  bir jinsli funksiya bo’lsa,  u holda

У = fix,у

) 

(

1

)

differensial tenglama bir jinsli deyiladi.

Ravshanki, bir xil  tartibli  bir  jinsli  P(x,y)  va Q(x,y) funksiyalar  qatnashgan 

P(x,y)dx + Q{x,y)dy=0 

(2)

tenglama bevosita bir jinsli  differensial  tenglamaga olib kelinadi  va  shunung uchun  u 

ham  bir jinsli tenglama deb yuritiladi.

(I)  tenglamani,  shuningdek,  (2)  tenglamani  o ’zgaruvchilari 

ajraladigan 

tenglamaga  keltirish  mumkin.

J{x,y) -  nol - tartibli  bir jinsli funksiya bo’lgani  uchun quyidagi ayniyatga ega 

bo’lamiz:

f( tx ,ty )  = f ( x , y ) .

/  parametmi  ixtiyoriy  tanlab  olishimiz  mumkinligidan  foydalanib,  bu  ayniyatda  t = —

x

almashtirishni  amalga oshirsak,

f ( x , y )   =   f { \ £

ayniyatni hosil qilamiz.

у  = их  formula orqali  yangi  izlanayotgan  и  funksiyani kiritib

У = «’(«) 

(3)

ko’rinishdagi tenglamaga ega bo’lamiz,  bu yerda

у  ^   их bo’lgani  uchun,

У  

= 

u ' x  

+ и . 

bo’ladi.  Buni (3) qo’yamiz:

u ' x  +   u   =   i p ( u )

Natijada и fiinksiyaga nisbatan

u<_ ч А и )-и  

x

ko’rinishdagi  o’zgaruvchilari  ajraladigan  tenglamani  hosil  qilamiz.

Bu tenglamani integrallash quyidagicha amalga oshiriladi.

d u  

d x  

r  

d u  

r d x  

„

----------------=  — ; 

---------------- =   —  +  C ;

< p ( u ) - u  

x  

* < p { u ) - u  

J   X

Bundan  keyin  hosil  bo’lgan  umumiy  integralda  yordamchi  и  funksiya  o ’miga

—  ifodani qo’yamiz. 

x

Ushbu

dy _   J   ax + by + c

dx 

^ a,x + bty  + c,

ko’rinishdagi  tenglama  bir  jinsli  yoki  o’zgaruvchilari  ajraladigan 

tenglamaga 

keltiriladi.

a 

b

Agar

" ,  

Ai

# 0   bo’lsa  x - u  + a ,  y  = v + f)  almashtirish  amalga oshiriladi,

(ax + by + c = 0

bu yerda a  va  p  sonlar  J 

tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi.

[ajjr + bsy  + c1 = 0

Natijada bir jinsli tenglamani hosil qilamiz. 

a 

b

Agar 

L  = 0   bo’lsa,  berilgan tenglama

a , 

b ,

dy = ^ k j a ^  + b ^  + c ^ 

dx 

a, x  + bxy  + c,

ko’rinishda bo’ladi, bunda  к = — = — . Bundan keyin

"i 

A

axx  + b^y = t  yoki  ax + by = t 

almashtirish berilgan tenglamani o ’zgaruvchilari ajraladigan  tenglarnaga keltiradi. 

Masala.  Quyidagi  tenglamaming  umumiy  yechimini  toping:

a)  (_y2  -  2xy)dx + x 1 dy = 0 ; 

b)  xy'= -Jx2  -  у 2  + у ;

c)  (x - 2 y  + 3)dy + (2x + y - l ) d x  = 0 ;

d) 

2(x + y)dy + (Зл + Зу -  \)dx = 0

Yechish.  a)  (y1 -2xy)dx +xldy = 0  tengiama tarkibidagi  P = y 2 - 2xy,  Q = x 2

funksiyalar  ikkalasi  ham  ikkinchi  tartibli  bir jinsii  funksiyalar  bo’lgani  uchun  bu 

tengiama  bir  jinsii  tengiama bo’iadi.

Shuning  uchun  y=xu  almashtirishni  qo’llaymiz.  U  holda  dy- xdu t udx  va 

tengiama 

x 2{u2 -2 u )d x  + x 2(xdu + udx) = 0  yoki  (u1 - u)dx + xdu = 0  ko’rinishda 

b o ’ladi.

O’zgaruvchilami 

ajratamiz:  —  = 

va  hosil  qilingan  tenglamani

x 

n(l -  u)

integrallaymiz:

O ’ngtomondagi  integralni topamiz:

< - - Ь г Ч  

<4>

JC 

w(l -  u)

1 —

\ = ( -  + —

  Ии = 

+ j  —

 = lnlul -  Inll -  u\ + lnlCl = In 

м(1- и )   \ a  

l - u j  

и 

l - u  

11 

1 

1 

11

Topilgan  ifodani  (4)ga  q o ’ysak,

Си

Си

1 ~ u

In JC = In

1 - u

, yani  x = 

yoki  u =  --  -  ga ega bo’lamiz.

I - и  

С + д:

v 

Jf2 

.

.

.

 

So’ngi  ifodadagi  и  o ’miga  —   ni  qo’yib,  у  = ------- umumiy  yechimni topamiz.

x  

C + x

„2

Javob:  у  ■

C + x

b)  Berilgan  tenglamani  / = ^ j l  

+ —  ko’rinishda  yozsak  uni  bir  jinsii

differensial tengiama ekanligiga  ishonch hosil qilamiz.

y - x u   almashtirishni  qo’llaymiz.  U  holda  y '= u  + x u '.  Bu  ifodalami  berilgan

du 

/----- г 

du 

dx

tenglarnaga qo’ysak  x —  = V l-w   bo’ladi.  O ’zgaruvchilami  ajratib,  - = =   =  —  ni 

dx 

V l- u 2 

x

hosil qilamiz, bu yerdan  arcsin  u~\n\Cx\.

Bundan  u ^y/x  bo’lgani  uchun,  arcsin— = lnCbd  umumiy  integralni  topamiz.

x

Natijada  _y = A-sin(lnC|jr|) umumiy yechim  topiladi.

c)  Berilgan tenglamani

dy  _ - 2 x - y  + \ 

dx 

x - 2 y  + 3 

ko’rinishda  yozib olamiz.

- 2

 

- 1

^ 

= 4 +1 = 5 * 0  bo’lgani  uchu'i  x = u + a , y  = v + p   almashtirishlami  amalga

. . . .  

, 

„ 

Г—

2jc 

-  v +1 = 

0

oshiramiz,  bu  yerda  a   va  p   parametrlar  •! 

tenglamalar  sistemasini

[jr -  2 y + 3 = 0

qanoatlantiradi.

Bu  sistemani yechamiz:

a  = - 1 /5  

p  

= 7 /5

Endilikda  x = u - U 5 \   y - v  + 7 /5   lami  (5) ga q o ’yamiz

( u - 1 / 5  - 2 v - 1 4 / 5  + 3)dv + (2u - 2 / 5  + V + 7 / 5 - \) d u  = 0;

(m — 2v)dv + (2u + v)du = 0 ; 

i/v  _  2u + v 

du 

2v — и ' 

dv 

2 + v lu

- 2 x  -  ^  + 1= 0 

f y = l - 2 x  

x - 2 y + 3 = 0  

1 д г-2  + 4л; + 3 = 0

du 

2 v ! u - \

у

Hosil  bo’lgan  bir jinsli  tenglamani  yechish  uchun  — = /  belgilash  kiritamiz.  U

и

holda:  v = ut;  v' = t'u  + t.

Natijada o’zgaruvchilari ajralgan

2 + t

t'u + t = -

2 / - 1

tenglamani  hosil  qilamiz.

Uni integrallaymiz:

dt 

2 + t 

2 + 1 -  2 t2 + 1 

2(1 + t - t 2)

—  u = --------- / = ------------------ = - i -----------

du 

2/ - 1 

2t - 1 

I t  - 1 

du  _  

1 

1- 2/ 

rdu 

1  r ( \- 2 t) d t

dt- 

p U —L f i

J 

7 J 1

u 

2 1 + / —/ 

и 

2 1 + / —/

- i l n j l  + / - / 2| = ln|n| + lnC,

In jl + / -  / 21 = - 2  In |C,«|

In  l + / - n  = ln

l + f - f 2= ^ f .  

и

t - — ,  м = л + 1/5;  v = >>- 7 / 5   bo’lgani uchun 

и

t 

V 

y - 7 /5  

5 j - 7  

u 

л + 1/5 

5л+1

to’ladi.  Endi .y va  x larga qaytamiz: 

l + t - t

%

o l  + 5^

7 - f 5' - 7 

и

25 С,

5 л + 1 

^ 5 л + 1  ,/ 

(5л + 1)2 

»  (5л + 1)2 + (5_y -  7X5x + 1) -  (5y -  7)2 = 25C2 «

»   25л2 + 1 Ox + 1 + 25лу + S y -  35* -  7 -  2 5 /  + 7Oy -  49 = 25C2  

»   25л2 -  25x + 25xy + 75

у  

-  25

у г 

= 25C2 + 4 9 -1  + 7 0  

x 1 -  x  + x y  + Ъу -  у г -

= C 2 +

^   =  C  

2 

25

Bundan  berilgan  tenglamaning  x 2 -  x + xy + Зу -  у 1 = С  umumiy  integralini 

tosil qilamiz.

Javob:  x 1 -  x  + xy + З у  -  у 1 = С . 

d) Berilgan tenglamani

dy  _  3x + 3 y - I  

dx

:o’rinishda  yozib olamiz.

-3   -3

2 

2 

J holda

2л + 2 y

= - 6  + 6 = 0  bo’lgani  uchun  Зл + Зу = t  almashtirishni amalga oshiramiz. 

3 ( / - l ) .

" i '   - j ;

2

/ 

, 

, 

dt = dx\

3

2 1

2t(t' -  3) = -9 / + 9;  2»' = 6/ — 9/ + 9;  2tt’ = -3 / + 9

) ’zgaruvchilami ajratamiz:

3< + 9

)xirgi tenglamani  integrallaymiz:

f - 3

3

-d t-

- - d x .

2

3

/ + 3 In |/ — 3j = ——л + С,

Endi у  va  x  larga qaytamiz:

2л + 2 y + 2 In |3(л + у  - 1)| = - л  + С2  О  

<=> Зл + 2у + 21пЗ + 21п|л + з '- 1 | = С2<=> 

 Зл + 2у + 21п|л + у  - 1| = С . 

Javob:  З л + 2 ^ + 2 1 п |л  + ^ - 1 | = С .

Masala.  Ko’zguning  shunday  shaklini 

topingki,  unga  berilgan 

nuqtad 

tushgan hamma nurlar ko’zgudan  qaytganda berilgan yo’nalishga parallel bo’lsin.

Yechish.  Koordinata boshini  berilgan nuqtaga deb olamiz  va  abssissalar  o ’q 

berilgan yo’nalishga  parallel  ravishda yo’naltiramiz.

Nur  ko’zguning  N(x,y)  nuqtasiga  tushsin.  Agar  Ox  o ’q  bilan  egri  chiziqni 

N(x,y)  nuqtasiga  o ’tkazilgan A N  urinma orasidagi  burchakni  a   orqali  belgilasak, 

holda 

masala 

shartiga 

ko’ra:  Z.KNT = a . 

Ikkinchi  tomondan  numing  tushi 

burchagi  (/ONFt)  uning  qaytish  burchagi(z7W&')  ga  teng  bo’lganidan 

s

burchaklarni

ga  to’ldiruvchi  burchaklar 

sifatidaZCW/f = ZKNT 

va  bund

ZONA = a  . Shunday qilib,  О AM   uchburchak teng yonli va AO=OM (4-rasm).

4-rasm

Bunda:

N P  

i  

i  

i------ г

lg a  = y ' = -----= ----- ,  AO =  A P -  OP = ----- x,  ON = J x ! + y - .

АР 

AP 

Y'

Natijada ushbu differensial tenglamani  hosil qilamiz (bu y e r d a -  erkli o ’zgaruvchi

У 

Г~2---- 2 

I-  t  X + Л/*'  + У2

~ - х  = ^ х 2+ у2  yoki  X' = ----- ------------.

У' 

У

Bu tengiama birjinsli  tengiama bo’ladi. 

x--yz almashtirishni bajarsak  yz'= -J\ 

dz 

dy

л/Г

yoki  In | z +VT+? j = In >■+In С ,  ya’ni  z + J l  + z 2  = C y

I + г ‘ 

У

z  ni  tenglamaning  o’ng  tomoniga  o’tkazib,  so’ngra  hosil  bo’lgan  tenglikni 

ikkala tomonini kvadratga ko’tarsak, quyidagiga ega bo’lamiz:

C 2y 2 

=   1  +  

2Cyz  y o k i* g a   qaytib, 

y 2  =  

^ ^ jr  

+

~ j   ni  hosil  qilamiz. 

Demak, ko’zguning izlanayotgan shakli parabolalar  oilasiga mansub.

Javob:  y 2  = — ( x  + —

C l 

2 С

Masala. 

Istalgan  M (xy) 

nuqtasida  o’tkazilgan  urinmaning  ordinatalar 

o ’qidan kesgan kesmaning OA/vektoming uzunligiga nisbati  o ’zgarmas  bo’lgan  egri 

chiziqni  toping.

Yechish.  Izlanayotgan  egri  chiziqda  ixtiyoriy  M(x,y)  nuqta olamiz. (5-rasm). 

M   nuqta orqali  o ’tkazilgan urinmaning  tenglamasi:

Y - y  = y ' { X - x )

ko’rinishga ega bo’ladi, bu  yerda X,  Y - nuqtalaming o ’zgaruvchi  koordinatalari,  y '-  

izlanayotgan  funksiyaning  berilgan  nuqtadagi 

hosilasi.  Urinmaning  Oy  o ’qidan 

ajratgan  OB  kesmasini  topish  uchun  X=Q  deymiz.  U  holda  O B = Y = y-xy'.  Shartga

ko’ra

U

OB

O M

holda

=  a ,  bu  yerda  a=const.

y ' ^

- a J S V y 1

ko’rinishdagi  bir jinsli tenglamaga ega bo’lamiz.

y=xu 

almashtirishni 

bajarsak,

du 

dx

v r

tenglamani  hosil  qilamiz.  Uni

+   u ‘ 

x

integrallaymiz:  и + 4 \ + u 2  = Cx  ° .

Bu 

yerda  и  ni  tenglikning  o’ng  tomoniga 

o ’tkazib,  so’ngra  hosil  bo’lgan  tenglikning 

ikkala 

qismini  kvadratga ko’tarsak, quyidagiga ega bo’lamiz: 

1 = C 2x 2a -  2Cux~°,  eski  у   o’zgaruvchiga  qaytsak, 

qo’yilgan masalaning yechimini  hosil qilamiz:

1

y  = - ( C x ' - - — x Ua). 

2  

С

- x u °).

С

Javob:  y  — — (Cx'  °

2

Quyidagi  differensial  tenglamalaming umumiy yechimini  toping (2.1-2.12).

2.1. xy' = у  + orcos  —.

x

2.3. (4л -  3y)dx + (2 y -  3x)dy = 0.

2.5:S ^  = lgy.

X  

X

2.7. (x-2y- 1 )dx+(3jr-6y  ^2)dy -0.

2.9.  x 2 + y 2 -  2xyy’ = 0

2. 11.  ( y 2 — 2xy)dx + x 2dy = 0

2.2 . 2jк2у ' = х 2 + у 2.

2.4.дгу' = X l n y - l n x ) .

2 .6 .x  + y - 2  + ( \ - x ) y '  = 0.

2.8. (4x-3y)dx+(2y~3x)dy-■ 0.

-  

v

2 .10.  у   - e 1  + — 

x

2.12.  (x 2 - 3 y 2)dx + 2xydy = 0

Quyidagi  differensial  tenglamalaming  boshlang’ich  shartni  qanoatlantiruvchi 

yechimlarini toping (2.13-2.17).

2.17.  у 2 + х 2у ' = хуу';  у   |1=3 = 4  .

2.18.  Ox  o’qiga  parallel  hamma  nurlar  ko’zgudan  qaytib  bitta  nuqtadan 

o’tadi.  Shu ko’zguning  shaklini  toping.

2.19.  /4(0,1)  nuqtadan  o ’tuvchi  shunday  egri  chiziqni 

topingki,  uning 

istalgan  M  nuqtasining  O M   radius-vektori,  shu  nuqtadan  o ’tkazilgan  urinma  va 

Oy  o ’qi  hosil  qilgan  uchburchak  teng  yonli  bo’lsin.

2.20.  Egri  chiziqning  ixtiyoriy  nuqtasidan  o ’tkazilgan  urinmasining  burchak 

koeffitsienti  urinish  nuqtasi  radius-vektori  burchak  koeffitsientining  kvadratiga  teng. 

Agar bu egri chiziq (2,-2) nuqtadan  o ’tsa, uning tenglamasini toping.

3-§- ChteiqU differensial tenglamalar  va ularga keltlriladlgan tcnglam»Ur.

Noma‘lum  funksiya  va  uning  hosilasiga  nisbatan  chiziqli  bo’lgan

ko’rinishdagi  tenglama  chiziqli  differensial  tenglama  deyiladi.  Bu  yerda  P(x)  va 

Q(x)  biror  oraliqda  berilgan  uzluksiz  funksiyalar.  Agar  Q (x )-0   bo’lsa,  (1)  tenglama 

bir  jinsli, aks  holda birjinsli bo  Imagan chiziqli  differensial  tenglama deyiladi.

bir jinsli chiziqli  differensial-tenglamani yechish bilan shug’ullanamiz.

Ravshanki,  bu  tenglama  o ’zgaruvchilari  ajraladigan  tenglama  bo’ladi.  Uni 

integral lay miz:

Bir  jinsli  bo’lmagan  chiziqli  differensial  tenglama  asosan  2  ta  usul  bilan 

yechilishi  mumkin.  Bu  usullar  mos  ravishda  Bernulli2  va  Lagranj3  usullari  deb 

yurutiladi.

a)  Bernulli usuli.

Bu  usulda noma'lum  funksiya  у  = uv  ko’rinishda ifodalaniladi, bu yerda и funksiya

j  

+  р (*)У = £?(*)

(

1

)

Dastlab

y '+ P ( x ) y  = 0

Bundan  y  = Ce  J/>(X,A  umumiy yechimga ega bo’lamiz  .

—  + P(x)u = 0 

dx

tenglamani  qanoatlantiradi, ya’ni

2 Yakob  Bernulli ( 1654-1705) — sveytsariyalik matcmatik

’ Lagranj Jozef Lui ( 1736-1813)- fransiyalik matematik

и = Схе  1 

. 

(3)

у ' = и — + 

V—

 

hosilani  berilgan (1) tenglamaga qo’yib, quyidagilarga ega b o ’lamiz: 

dx 

dx

dv 

du 

\

и —  + v—  + P(x)uv = Q(x)

Bundan (2) va (3) ni  inobatga olsak, noma'lum v funksiya uchun

» 7  =  6 W .   C,e 

^  = Q(x); 

C^dv = Q ( x ) e ^ ‘Uxdx 

ax 

dx

munosabatlarga ega bo’Iamiz.

Integrallab v  ni topamiz  :

C,v =  jQ (x )e lPix'*dx + C2; 

v = 

j Q W e ^ ^ d x  + С  j  

Natijada  y  = u v -  Сл е  f />(Х)Л . 

jQ (x)e^n *)tbdx + С j , yani

y  = e 

g W e J....... f c  + c

b)  Lagranj  usuli.

Dastlab bir jinsli

y ' + P (x)y = 0

tenglamaning 

y  = Ce 

yechimi topiladi.

Bundan  key in  С   parametmi  x   o ’zgaruvchining  funksiyasi  deb  o ’linadi  va  ()) 

tenglamaning  yechimi

y  = C ( x ) e i" M*  

(4)

ko’rinishda qidiriladi. 

Ravshanki,

, =  *  = 

+ С ( х ) е 1 РМ*  ■ ( - P ( x ) ) .

( 1) ga qo’yamiz:

dC (x)  -fn*)d

-------- e

dx

nisbatan tenglamaga kelamiz:

~1Пх)л-С (х )Р (х )е '1/’(‘|Л + P (x )C (x)e  ^ Q(x)  va natijada C(x) ga

dx

dx

Bundan  dC(x) = Q(x)e^PU>d'dx  va  С(лг)= 

+ С  ni topamiz.

C(x) ni  (4) ga qo’yib

y  = e ^ U)dx{ \Q { x ) J '‘u 'd'd x + C

umumiy  yechimga  ega  bo’lamiz.  Kutilganidek,  ikkala  usul  ham  bir  xil  natijaga  olib 

keldi.

Endi biz chiziqli tenglamaga olib kelinadigan muhim tenglamani  o ’rganamiz.

№*0  va  №*1  bolsin

y + P ( x ) y  = Q { x ) - y \ n *  0,1 

(5)

qo’rinishdagi tenglama Bernulli tenglamasi deb yuritiladi.

z — —-7Г 

almashtirish  yordamida  Bemulli  tenglamasi  chiziqli  tenglamaga

y"

keltirishini  ko’rsatamiz.

Buning uchun (5) tenglamaning ikkala tarafini У  ga bo’lamiz:

У 

У

Г, 

, 

, 

( л - 1  )у"~2 

, 

( n - l ) y ' 

. . .  

... 

.  , 

.  .  •

Bundan 

2

  = 

— ~ г-----у   = - - ----- ш  mobatga  olib,  z  ga  nisbatan  chiziqli

tenglamaga ega bo’lamiz:

— —  + Pz = Q ,  z  - ( n - \ ) P z  = - ( n - \ ) Q  

n - 1

Misol.  Quyidagi tenglamalaming umumiy yechimini toping.

a) 

y '+ 2 x y = 2 x e - xl; 

c)  xy'+y = y 2 lnjc;

b) 

x y '- 2 y  = x 'c o s x ;  

d )  (2x -  y 2 )y' = 2y.

Yechish.  a) y'+2xy = 2xe~x  tenglama  chiziqli  differensial  tenglama.

Bemulli  usulidan  foydalanamiz.  y=uv  deylik.  U  holda  y'=vU+uV  bo’ladi va 

bulami  berilgan tenglamaga  qo’ysak, u  quyidagi

v u ’+ u (v   +  2 x v )   =  2 x e ~ x*  ko’rinishga  keladi.

ctv

v’+2xv=0  bo’lishini  talab  qilamiz.  O ’zgaruvchilami  ajratib,  — =  ~ 2 x d x   ni

v

hosil  qilamiz,  bu  yerdan  In |v| =  - x 2  +  In |C |, 

v =  C e J

. 

C = 1  deb  v  =  e  x  . 

xususiy 

yechim 

bilan 

cheklanish 

mumkin.  v  ning  ifodasini  almashtirilgan 

v u ' = 2 e   *2  tenglamaga  qo ’yamiz:

e  * \ ' = 2 x e x\  

du = 2xdx  Bu  yerdan:  u = x 2  + C   ma‘lumki, y=uv,  u  holda 

umumiy yechim  у  = e  *2( x 2 + C)  ko’rinishda  hosil  bo’ladi.

Javob:  y - e ~ x\ x 2 + C )

b)  x y ' - 2 y   =  x 3 cos  x  tenglama

, 

2 у  

2 

у -----— =  x  co s x

X

chiziqli  differensial  tenglarnaga olib kelinadi (

х ф

О).

Bu  tenglamani  Lagranj  usuli yordamida yechamiz:

Dastlab bir jinsli

у

'- 1 У - =   о

X

tenglamaning  yechimini topamiz.

dy 

2 у  

dy 

2 d x  

2

—  = —— о   —  = ------ о   у   =  C x  .

dx 

x 

у  

x

Bundan  keyin  С  parametr  x  o ’zgaruvchining  funksiyasi  deb  o ’linadi  va  (1)

tenglamaning  yechimi

У  

= С (х )х 2

ko’rinishda izlanadi.

Ravshan ki,

dC (x) _2

dx

x   + 2дгС(дс).

, 2  у  

2 

, 

.

у -----— =  x   cos x   ga qo  yamiz:

x

у   -  —  = — 'fo- x 1 + 2xC(x) -  

= x 1 cosx  va natijada C(x) ga

x  

dx 

x

nisbatan tenglarnaga kelamiz:

dC(x)

---- )—L = co sx

dx

Bundan  C (x) = sinx + С  ni topamiz.

C(x) ni  у  = C (x )x 2  ga qo’yib

y  = (sinjr + C) x 1

umumiy yechimga ega bo’lamiz.

Javob:  y  = jr2(sinjc + C)

c) 

xy'+ y =  y 1 In x  tengiama  Bemulli  tenglamasidir.  Uning  ikkala  qismini

y 2  g a b o ’lib,  — =  z  deb  olamiz, u  holda 

У

I 

, 

1 

, 

,  I 

I 

I  .

у   =  - , / =   - - у r

'

,

—  In  x

Bundan 

x z ’- z   =  - \ n x  

ko’rinishdagi  chiziqli  tengiama 

hosil 

bo’ladi. 

Lining  umumiy  yechimi:  z =  In x  +  1  + Cx  bo’ladi.

z  ni 

— 

bilan  almashtirib,  berilgan  tenglamaning  у   =  --------- *,— —

у  

In  x   +  1  +  Cx

umumiy  yechimini  hosil  qilamiz.

Javob:  у   = -------- ?---------.

In  x   +  1  +  Cx

d)  Dastlab  berilgan  ( 2 x - y 2) —  = 2y  tenglamani  2 yx '-2 x = ~ y 2  ko’rinishda

dx

yozib  olamiz.  Bu  tengiama  x-x (y )  funksiyaga  nisbatan  chiziqli  tenglamadir.  Shu 

sababli  x=uv  almashtirish  bajaramiz.  U  holda  x ’=u'v+uv'. 

Olingan  natijalami 

so’ngi  tenglarnaga  qo’ysak,

2yvu'+ 2u(yv'-v)= -y2,  y v '- v = 0 ,— = —  ,lnv = ln y ,  v= y,  2 y v u '~ -y l

v 

у

u ' = —

u = — —+ C,  x  = - —y 2 + C y  hosil  bo’ladi.

2 

2 у  

2

Javob:  x  = — y 1 + Cy

2

Masala. 

Egri  chiziqning  istalgan  M(x,y) 

nuqtasi  uchun  OM  kesma,  shu 

nuqtadan  o ’tkazilgan  MP  urinma  va  Ox  o’q  hosil  qilgan 

uchburchakning  yuzi

4  ga  teng.  Egri  chiziq  /1(1,2)  nuqtadan  o’tadi.  Uning  tenglamasini  toping.  (6- 

rasm)

Yechish.  Uchburchakning  yuzi

S = ^ O P -M C   formula  buyicha  topiladi,  bu

yerda  MC=y  son  M   nuqtaning  ordinatasi.  OP ni  topishda  uning  MP  urinmaning 

Ox  o ’q  bilan  kesishish  nuqtasining  abssissasi  ekanligidan 

foydalanamiz,  MP 

urinmaning  tenglamasi  ushbu  ko’rinishda  bo’ladi:

Y - y = y '  (X - x ).

Butenglam ada  У  0  desak,  X = x ~ — ,  O P - x - —   ni  hosil  qilamiz.

У  

у'

1 

у  

dy

Masalaning shartiga asosan  4 = —(jc — —^)y  yoki

1

dy

differensial  tengiama  hosil  bo’ladi.

Bu  у   argumentning  noma‘lum 

x 

funksiyasiga 

nisbatan 

chiziqli 

differensial 

tengiama. 

x=uv 

almashtirish 

bajargandan 

so’ng

4

umumiy  integral  x   =  y ( —j + C )   ni 

У

hosil  qilamiz.

x= 1  da v=2  demak,  С  =  — —  .

2

Natijada 

egri 

chiziqning

izlanayotgan  tenglamasini  ushbu  ko’rinishda

4  

L

У 

2  ■

4  Z  

У 

2  '

6-rasm

hosil  qilamiz:  x  = ■

 

Javob:  дг  =

M asala. 

m  massali  nuqta  vaqtga  proporsional  bo’lgan  kuch  ta’sirida 

to’g’ri  chiziqli  harakat  qilmoqda.  Boshlangich  t- 0   vaqt momentida  v=0  bo’lsin. 

Havo  qarshiligi  tezlikka  proporsional  bo’lgan  holda  tezlikni 

I 

ning  funksiyasi 

sifatida  aniqlang.

Yechish.  t 

momentda  nuqtaga  ikkita  kuch, yani  vaqtga  proporsional  bo’lgan 

=  k tt 

kuch  va  F2 = —kv  havoning  qarshilik  kuchi  ta’sir  etadi; 

ulaming 

umumiy ta’sir  etuvchisi quyidagicha:

F = Ft +  Ft  =  kxt -  kv

d v

Ikkinchi  tomondan,  Nyutonning  ikkinchi  qonuniga  binoan F   -   m — . 

F

dt

uchun  topilgan 

ikkala  ifodani  taqqoslab,  —  + —v _  !b-, 

tenglamani  hosil

dt 

m 

m

qilamiz.

Bu  tenglama  v  ga  nisbatan  chiziqli  differensial  tenglamadir.  Uni  yechishda 

Bemulli  usulini  qo’llab, 

v  =  и ( t ) w ( t )  

almashtirish  kiritamiz,  u  holda

A 

k  

k  

к

v '=  

u ' w   +  uw   ' ,   u ’ w   + 

UW  

' + ----

U W  

=   - * - / ,   u'm> + u (w ’+ — w) = — t .

m

m

 

m

m

, 

к 

.   d w  

к   , 

, 

к

ч----- w   =   0 , ------ = ------- d t у  In  w  = -------

1

,

m 

w 

m 

m

к < 

k  

k  

- i  

w = e  m , e   m u ' = — t , u ' = —/
m 

m

u = — ( / - — )eK  +C,  v = — { ! - — ) + C e m 

к 

к 

к 

к

к

Umumiy  yechimga  v|(O = 0  boshlang’ich  shartdan  foydalanib,  С  =  - ~ m   ni

к г

topamiz,  u  holda  izlanayotgan  tezlik ushbu  ko’rinishda  bo’ladi:

к ,, 

m 

m 

v = - i ( r — -  + — e 

) 

m 

к  

к

к.  , 

m  m

Javob:  v = — ( / -----+— e  )

m 

к 

к

Quyidagi  tenglamalami  umumiy yechimlarini  toping (3.1-3.16.). 

З . \ . у '+ 2 х у  = х. 

3 .2 .y'~  y e ‘ = 2xe"*.

3.3. y ' x \ n  x  -  у  =  Зх3 In2 x. 

3 . 4 . /  = 

1

2x — y 2

3.5.  У  -  _yc/gx = sin x 

3.6.  x 2y 2y   + x y 3 = 1

3.7.2 xydy = ( / - x ) d x .  

3 .8 .( x 3  + e ' ) y = 3 x > .

3.9.xdx = (------y 2)dy. 

3.10.  v '-  j^ c o s x   =  y 2 c o s x .

У

3.11.  (а 2 + х 2)у' + ху = 1  . 

3.12.  у ' + — у  = -

У

2  

е х

- у = —

х  

х

3.13.  ху' + у  = - х у 2. 

3.14.  х у ’ + у  = lnjt + 1.

3.15.  (2х + \)у' + у  = х  . 

3.16.  у   + х у  = ху*.

Quyidagi 

differensial 

tenglamalaming 

boshlang’ich 

shartni 

qanoatlantiruvchi  xususiy  yechimlarini  toping (3.17-3.22).

3.17.ДГ + ху' = у , y (\) = 0. 

ЗЛ И .у'- yigx = — ^ _ ,.у ( 0) = 0.

C O S   X

3.19. v 'c o s * - v s in jr  = 2jc,  v(0) = 0.  ,

,

 

,„4  .

'  

* 

3 .2 0 ./+ .y c o sjr = cosjc,py(0) = l.

3.21.  Ъу2у ' + y* = jr +1;  у   U = - l .   3.22. 

x 2) y '-  ху = х у 2,  y\xM= ^

3.23.  m 

massali 

moddiy 

nuqta 

vaqtning 

kubiga 

proporsional  (k- 

proporsionallik  koeffitsienti)  kuch  ta’sirida  to’g’ri  chiziqli  harakat  qilmoqda. 

Tezlik  bilan  vaqtning  ko’paytmasiga  proporsional  (ki  -  proporsionallik  koeffitsienti) 

bo’lgan  havo  qarshiligini  hisobga  olgan  holda  tezlikning  t  vaqtga  bog’lanishini 

toping. Boshlang’ich  tezlik v0 ga  teng.

3.24.  Elektr 

yurituvchi 

kuchi 

£ ( r )  =  £ 0 sin  w t 

ga,  qarshiligi  R  ga 

o’zinduktivlik  koeffitsienti  L  ga teng  bo’lgan  g ’altakdagi  /   tok  kuchini  t  vaqtning 

funksiyasi  kabi  toping.  (Boshlang’ich  tok kuchi  /„=0  ga  te n g )

3.25.  m  massali  moddiy  nuqtaga  t  vaqtga  proporsional  bo’lgan  kuch  ta’sir 

etadi  (A,-proporsionallik 

koeffitsienti).  Tezlikka  proporsional  (k  -  proporsionallik 

koeffitsienti)  bo’lgan  havo  qarshiligini  hisobga  olgan  holda  nuqtaning  tezligini 

toping. (Boshlang’ich  t=0 vaqt momentida vo=0)

3.26.  ( ~~Л  )  nuqtadan  o ’tuvchi  shunday egri  chiziqni  topingki,  uning  istalgan

nuqtasining abssissasi  va shu  nuqtada o ’tkazilgan  urinmaning  boshlang’ich ordinatasi 

yordamida  qurilgan  to’g ’ri  to ’rtburchakning  yuzi 

o ’zgarmas  bo’lib,  a 2  ga  teng 

bo’lsin.

3.27.  A (l,2 )  nuqtadan  o ’tadigan  egri  chiziqning 

istalgan  urinmasining 

boshlang’ich  ordinatasi  urinish  nuqtasining  abssissasiga  teng.  Uning  tenglamasini 

toping.

4-§.  To’liq  differensialli tenglamalar. Integraltovchi  ko’paytuvchi.

Agar

P(x,y)dx i Q(x,y)dy- 0 

(1)

tenglamaning chap tomonini birorta  U(x,y) funksiyaning to ’liq  differensiali,  ya’ni

P(x,y)dx+Q(x,y)dy-dU(x,y) 

(2)

bo’lsa, ( 1) tenglama to'liq  differensialli  tenglama  deyiladi.

Bu  holda uni  dU(x,y)  0  ko’rinishda  yozish  mumkin  va bu yerdan  U(x,y)=C 

umumiy  integralga ega bo’lamiz

Bu yerda P(x,y) va Q(x\y)  funksiyalar D  sohada aniqlangan va  uzluksiz bo’lib,

uzluksiz 

Pfk хгУ\  xususiy hosilalarga ega  bulishi talab qilinadi.

dy 

dx

U  holda ushbu  /‘(x,y)dx i Q{x,y)dy differensial  ifoda birorta  U(x,y) funksiyaning 

to’liq differensiali bo’lishi  uchun I) sohaning barcha  nuqtalarida

SP = dQ 

dy 

dx

tenglikning bajarilishi zarur va yetarlidir.

(3)

... 

dU  , 

e u

dU = ---- dx + -----dy

dx 

dy

ifodani  (2)  bilan solishtirsak

^ -  = P (x,y) 

(4)

dx

^ ~  = Q (x,y)

dy

tengliklarga ega bo’lamiz.

Endi  V  funksiyani topish uchun  у   ni fiksirlab (4) ni  integrallaymiz: 

U = jP ( x ,y ) d x  + C (y).

C(y) ni topish uchun bu tenglikni у  bo’yicha differensiallaymiz:

^ ~  = Q (x,y) = -^- 

y)dx + C'(y). 

dy 

dy  J

Bu yerdan  C \ y )  = Q ( x ,y ) ~ —   fP(x,y)dx.

dy 3

Demak,  C (y) =  ] ^ Q (x ,y )- -^ -  j p ( x , y ) d x + С

va

U =   $P(x,y)dx+  ^ Q ( x , y ) ~   j- ^ -P (x ,y )d x jd y  + C.

Demak,  berilgan  tenglamaning umumiy  integral)  quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

fP ( x ,y ) d x + ^ Q ( x ,y ) - - ^ ~  jP (x ,y )d x   dy = C.  (5)

Aslini  oiganda  konkret  misollami  yechishda 

tayyor 

(5) 

formuladan 

foydalanmasdan, umumiy  holdagi  kabi  yo’l  tutish  maqsadga muvofiq.

Izoh.  Ayrim  hollarda  (1)  tenglamani  hadlarini 

guruhlash  bilan  d L -0  

ko’rinishga keltirish mumkin.  Buning uchun u

(M tdx 

+  

N xdy) 

+  

( M 2dx + N 2dy) 

+ 

... 

+  

(M ndx 

+ 

N ndy) 

=

 

0

 

(

6

) 

ko’rinishga keltiriladi.

Bunda  shunday  l / l(x ,y ),U 2(x,y),...,U lt( x ,y )  funksiyalar topiladiki, ular uchun 

M ldx + N-fity = d ii\(x ,y )

M 2dx + Nydy = dU 2(x, y )

M J x  + Nndy = dUn(x ,y )

munosabatlar bajariladi.

U  holda  (6)  ning  umumiy  integrali  Ul( x ,y ) + U2(x ,y ) + ... + Ul!(x ,y ) = C 

ko’rinishga ega.

Agar 

(3)  shart  bajarilmasa,  u  holda  (1)  differensial  tenglama  to’liq 

differensialli  bo’lmaydi.  Biroq  bu  tenglamani  tegishli  ju(x,y)  funksiyaga  ko’paytirish 

bilan  to’liq  differensialli  tenglamaga  keltirish  mumkin.  Bunday  funksiya  berilgan 

differensial tenglama uchun integrallovchi ko'paytuvchi  nomi  bilan  yuritiladi.

M(x,y)  uchun (3) dan

* k 3 j ! k e ) yoki  Q & - P ? t L = J w _ ? e \  

(7)

ду 

дх 

dx 

dy 

y d y  

d x )

shatni hosil qilamiz.

Faqat  x  ga  bog’lik  bo’lgan  ц(*)  integrallovchi ko’payruvchi  u c h u n — = 0  va

dy

(3) quyidagi  ko’rinishni oladi  :

d P _ 8 Q

dx 

{ d y  

d x )  

dx 

Q

Demak,

№  SB

V{x) 

=  e 

*

 

(

8

)

Faqat  у   ga  bog’liq  bo’lgan  /j(y)  integrallovchi  ko’payruvchi  uchun  huddi 

shunday

JP  JQ 

f 

dv  dx  ,

M y )  = e

ko’rinishni topamiz.

Misol. To’liq  differensialli  tenglamalami  yeching:

a)  - d y - — -dx = 0

; 

x  

x

b)  (3x2 + 6 xy2)dx + (6x2y  + 4 y , )dy = 0\

. 

2x  , 

у 1 -  Ъхг  ,

c)  —j d x  + ------dy = 0;

У 

У

d )  (sin у  + >>sin x  + — )dx + {x cos у  -  cos* + — )dy = 0.

* 

У

Yechish.  a)  — ~ ^ r d x  = Q  tenglamaning  chap  qismi  £/ = —  funksiyaning 

X X  

x

у

to’liq differensiali  ekanligini  ko’rish oson.  Shuning  uchun  tenglamani 

d (—) = 0

x

ko’rinishda qayta yozib olamiz, bu yerdan y=Cx umumiy yechimni  topamiz.

b)  (3x2 + 6xy1 )dx + (6x2y  + 4 y3 ) d y -  0  tenglamani  ham  hadlarini  guruhlash 

bilan  3x 2dx + 6xy(ydx + xdy) + 4y 3dy = 0  ko’rinishga keltirish mumkin.  So’ngra

3 

x 2dx = d (x 3),  6xy(ydx + xdy) = d(3(xy)2),  4 y >dy = dy* 

bo’lgani  uchun  dx3 + d(3{xy)2) + dy4  = 0  ni  yoki  d ( x 3 + 3(xy)2 + y 4) = 0  ni  hosil 

qilamiz.

Bu  yerdan 

x 3 + 3(xy)J + y 4 = С  umumiy  integralni  topamiz.

Javob:  x 3 + 3(xy)2 + y 4 = C .

c )  ~ d x + ?  

— 0  tenglamada  P (x ,y ) = ~ ,   Q (x,y) = - — ~

 

y  

у   dy 

у  

у

дР 

6x   dQ 

6* 

,  dP 

dQ  , 

.  .  ....  _  

. 

2x  , 

у 2- i x 1

—  = — r ,  —  = — T .  Demak,  —  = —   shart  bajanldi.  Bundan  —Tdx+~— j— dy 

ду 

у  

Ox 

у  

ду 

дх 

У 

У

ifodaning birorta l!{xy) funksiyaning to’liq  differensiali ekanligi kelib chiqadi.

r,  .. 

. 

• 

,  •  d u  

2x 

dU 

y 2- 3 x 2 

. 

. 

. 

.

Endi  shu  U  funksiyani, 

y a m   ---- = —7 ,  ----- = - — —   tenglamalami

дх 

у  

ду 

у

qanoatlantiruvchi  funksiyani  topamiz.

dU 

2x 

dx

U (x ,y )  = \ ^ i dx + 
 

(9)

У 

У

ko’rinishda  ekanligi  kelib chiqadi,  bu  yerda  

)  -  noma‘lum  funksiya.

(9) ni у   bo’yicha differensiallaymiz

dU 

Зх2 

„  л

- r ~  = ---- т + <

Р\У)-

dy 

у

Ammo 

= —— ~ ~ , shuning uchun quyidagini  hosil qilamiz: 

dy 

/

/ - 3 * г 

3jc2 

„  ч 

ч 

1 

----;— = —г + v\y\  

У 

У 

У

Ravshanki, ohirgi tenglikni

< А У ) =   - -  

( 1 0 )

У

funksiya qanoatlantiradi.

Natijada,  (10)  ni  (9)  ga  qo’yib umumiy  integralni topamiz:

3  tenglamadan  U funksiya

У 

У

d)  Berilgan tengiama uchun

P (x ,y ) = sin_y + ^sin x  + —,  Q (x ,y ) = x c o s y -  cosx + —,

* 

У

dP 

- d

Q

—  = c o s j + sm x,  - ^  = cos^ + sinjc.

dy 

dx 

,

_  

.  dP 

8 0   , 

,  . 

,i

Demak,  —  = ——  shart bajarilgan.

dx 

ax

Umumiy  integralni topishda  tayyor  (5) formuladan  foydalanamiz: 

jP ( x ,y )d x  = 

J(sin  

у  + >x  + —)dx = * sin у  -  ycos x + 

In 

x

\ P( x, y) dx = - ( x s \ n y - у

 COS Л -  -^r-) =  *  COS 

-  COS X 

dy  J 

dy 

x

d  

^  

1

Q {x ,y ) ------\P (x,y)dx  \dy=  K ^ c o sy -c o sjH ------- (x cos у  -  cosx))dy =

dy  1 

)  

J 

У

= jrsin у  — y c o s x  + In у  -  Arsing + _ycos.x = In y.

Bu  yerdan

Arsing - ^ c o s jr +  \nxy = C 

ko’rinishdagi  umumiy  integralni  topamiz.

Javob:  A rsin ^ -^ c o s^  + lnxv = r .

Misol.  Quyidagi  differensial  tenglamalarning  integrallovchi  k o ’paytuvchilarini 

toping  va  bu  tenglamalami  integrallang.

a ) 

( \ - x 2y ) d x  + x 2( y  -  x ) d y  = Q;

b)  (2x y 2  -  y)dx + ( y 2  + x + y)d y = 0;

c)  ( x 2  -  y)dy + (x 2y 2  + x)dy = 0.

Yechish. 

a)  Bu  holda  P (x ,y ) = \ - x 2y ,Q (x ,y )  = x 2( y - x ) ,

d P _ d Q

dI1 

2

  dQ 

2 

dy 

dx 

- x 2 -  2xy + 3x2 

2

—  = - x   ,-= ^ = 2 x y - 3 x   ,  — -------- = ------ -— ------- ■- = —   n isb a tx g a   bog  hq.

dy 

dx 

Q 

x ( y ~ x )  

x

Demak,  ц  = ц {х )  integrallovchi ko’paytuvchi (8) formula bo’yicha topiladi:

-  f  

2-dx

 

1

= < r 2," ' = - V .

X

Tenglamaning 

ikkala  tomonini 

-V 

ga  ko’paytiramiz  va  quyidagicha

X ~

almashtirishlar bajaramiz:

vdy = 

ekanligini e ‘tiborgaolsak  d | ^ - - x y t  

bo’ladi. Bundan

1 

У 1

------ xy + —  = C  hosil  bo’ladi.

x 

2

I 

V2

Ja v o b :------ w  + —  - C

x 

2

b)  Bu  holda 

P (x,y) = 2xy2 - y ,   Q (x,y) 

= 

y 2 + x + y,

дР 

л 

,  &Q  ,  ,dP   5£>w „  2(2w - l )  

2 

. 

.  

,

—  = 4 л у - 1 ,—-  = 1,(—  - ^ - ) / P  =  \  

nisbat 

faqat  у   ga

ду 

ox 

ду 

ox 

y(2 xy - 1) 

у

d P d Q 

_f< fc 

1

Demak,  fj = ц(у)  integrallovchi  ko’paytuvchi 

jj(y ) = e 

F 

= —  

bo’yicha topiladi.

Tenglamaning  ikkala  tomonini  —r  ga  ko’paytiramiz:

У

(2л : - — )dx + (\+  

— )dy = 0  yoki  2 x d x - ( — d x - ^ - d y )  + (\ + — )dy 

У 

У 

У 

У 

У 

У

Bunda  — d x - —- d y  = d {—)  bo’lgani  uchun  x 2 -  — + y  + \n y  = C 

У 

У 

У 

У

umumiy  integralni  hosil  qilamiz.

c)  Yuqoridagi misollarga  o’xshash  yechamiz:

7)P

P (x ,y ) = x 2- y ,   Q (x,y) = x 2y 2 + *,  —  =1,

dy