Олий ва ўрта

4-мавзу. Нормал тақсимланиш параметрларини баҳолашнинг статистик методлари

Режа:

1. 
   Боксплот тузиш.
   
2. 
   Тақсимланиш асимметрияси ва эксцесс кўрсаткичларини ҳисоблаш.
   
3. 
   Эмпирик тақсимланишнинг эҳтимоллар назарияси билан боғлиқлиги.
   

Таянч сўзлар: нормал тақсимланиш, мода, медиана, ўртача, дисперсия, боксплот, график усул.
Хоссанинг тақсимоти деб унинг турли қийматларини намоён бўлишида кузатилаётган қонуниятларга айтилади. Психологик тадқиқотларда асосан нормал тақсимотларга ишора қилинади.
Нормал тақсимот хоссанинг қуйи ва юқори қийматлари нисбатан кам учраб, ўртача қийматга яқин кўрсатгичлар кўп учраши билан белгиланади. Ушбу тақсимот нормал деб у табиий-илмий тадқиқотларда кўп учраганлиги учун ҳар қандай хоссанинг оммавий тасодифий намоён бўлиши меъёри сифатида қабул қилинган. Ушбу тақсимот турли даврларда турли олимлар томонидан очилган қонуниятга бўйсунади: Муавр (1733) Англияда, Гаусс (1809) Германияда ва Лаплас (1812) Францияда.
Боксплот усулида маълумотларни тақдим этишда медианна, квартиллар орасидаги масофа ҳамда тақсимланиш лимити кўргазмали тарзда акс эттирилади.
Боксплотларни тузишда қуйидагиларга эътиборни қаратиш лозим:

1. 
   Қуйи ва юқори квартилларни қийматларини аниқлаш. Q₁; Q₃
   
2. 
   Квартиллар орасидаги масофани аниқлаш ΔQқQ₃-Q₁
   
3. 
   Ҳаддан юқори ва ҳаддан паст бўлган қийматларни топиш.
   

Юқори сакровчилар-булар Q₃+1,5ΔQ дан то Q₃+3ΔQ диапазонда ётувчи танламалардир.
Пастки сакровчилар-булар Q₁-3ΔQ дан то Q₁-1,5ΔQгача диапазонда ётувчи танламалар ҳисобланади.

2. 
   Экстремал қийматларни аниқлаш.
   

Юқори экстремал қийматлар булар Q₃+3ΔQ дан катта бўлган кўрсаткичлар ҳисобланади.
Қуйи экстремал қийматлар булар Q₁-3ΔQ дан паст бўлган кўрсаткичлар олинади.

2. 
   Максимал ва минимал тўғри тузатилган қийматларни аниқлаш.
   

Тўғри тузатилган максимал кўрсаткичлар бу юқори сакровчи ҳам, юқори экстремал ҳам бўлмаган энг катта сондир.
Тўғри тузатилган минимал кўрсаткичлар бу пастки сакровчи ҳам, қуйи экстремал ҳам бўлмаган энг кичик сонлардир.
Нормал тақсимотнинг график кўриниши тадқиқотчи-психолог нигоҳи учун одатий бўлган қўнғироқсифат эгри чизиққа ўхшайди.
Тақсимот параметрлари- бу хоссанинг қийматлари асосан қаерда жойлашганлигини, ушбу хоссалар қанчалар ўзгарувчан эканлигини, хоссанинг маълум қийматлари асосан қандай намоён бўлишлигини кўрсатадиган миқдорий тавсифлардир.
Амалий жиҳатдан энг аҳамиятли параметрлар қаторига ўртача арифметик қиймат, дисперсия, асимметрия ва эксцесслар киради.
У ёки бу омиллар ўртачадан юқори ёки ўртачадан қуйироқ қийматларнинг кўп учрашига сабаб бўлса асимметрик тақсимотлар вужудга келади. Агар тақсимот қаторида хоссанинг қуйи қийматлари кўп учраси чапёқлама ёки мусбат асимметрия кўзга ташланади. Мабодо хоссанинг юқори қийматлари кўп учраса ўнгёқлама ёки манфий асимметрия кўзга ташланиши мумкин.
Асимметрия кўрсаткичи қуйидаги формула орқали топилади:
_{A  }(x_i  )
3


n  ³
Симметрик тақсимотларда А=0 бўлади.
Эксцесс кўрсаткичи қуйидаги формула орқали топилади:

_{E  }(x_i
 )⁴
 3

n  ⁴

Симметрик тақсимотларда Е =0 бўлади.
Чапёқлама, мусбат асимметрия

Ўнгёқлама, манфий асимметрия

Мусбат эксцесс

Манфий эксцесс.

Мисол. Бизга қуйидаги кўринишга эга тақсимот қатори берилган. Мазкур тақсимот қатори нормал кўринишга қанчалар яқин эканини текшириб кўрсак.

№	хi	(xi - µ)	(xi - µ)^2	(xi - µ)^3	(xi - µ)^4
1	11	0,94	0,884	0,831	0,781

2	13	2,94	8,644	25,412	74,712
3	12	1,94	3,764	7,301	14,165
4	9	-1,06	1,124	-1,191	1,262
5	10	-0,06	0,004	0	0
6	11	0,94	0,884	0,831	0,781
7	8	-2,06	4,244	-8,742	18,009
8	10	-0,06	0,004	0	0
9	15	4,94	24,404	120,554	595,536
10	14	3,94	15,524	61,163	240,982
11	8	-2,06	4,244	-8,742	18,009
12	7	-3,06	9,364	-28,655	87,677
13	10	-0,06	0,004	0	0
14	10	-0,06	0,004	0	0
15	5	-5,06	25,604	-129,554	18,009
16	8	-2,06	4,244	-8,742	1725,467
жами	161		102,944	30,468

Жадвалдаги ҳисоб-китобларга киришишдан аввал бизлар ўртача арифметик қийматни топишимиз зарур бўлган.

  ^{ xi}
n
бунда, х_i - хоссанинг алоҳида кузатилаётган қиймати, n – кузатувлар миқдори.
µ = 161/16=10,06
Стандарт оғиш эса:


 


бунда, х_i - хоссанинг алоҳида кузатилаётган қиймати, µ - ўртача арифметик қиймат,
n – кузатувлар миқдори.


    2.62
Асимметрия ва эксцесс ҳамда уларнинг репрезентативлик хатолари қуйидаги формулалар асосида топилади:
_{A  }(x_i  )
3



n   ³
m_a 

_{E  }(x_i
 )⁴

 3

m_e 
n   ⁴

2 

бунда, (х_i - µ)- марказий қийматга нисбатан бўлган оғишлар, σ – стандарт оғиш,
n- синалувчилар сони.

_{A }  30.468
16  2.62³
 0.106

m_a 
⁶  0.61
16

E  ^1725.467  3  0.711 16  2.62⁴

m_e  2 
 1.22

Эмпирик тақсимотларнинг нормал тақсимотлардан муқаррар фарқ қилишлари учун уларнинг асимметрия ва эксцесс кўрсаткичлари ўзларининг репрезентативлик хатосидан уч ёки ундан ортиқ баробарга ошиши зарурлигини тақозо қилади:

t  ^A  3

m
a
a
t  ^E  3

m
e
e
бизнинг мисолда:

t_a 
0.106
0.61
 0.174

t_e 
 0.711
1.22

 0.583

Иккала кўрсаткич ҳам ўзларининг репрезентативлик хатосидан уч баробар ортиқ эмаслиги, бундан эса ушбу хоссанинг тақсимоти нормал тақсимотдан муқаррар даражада фарқ қилмаслиги кўриниб турибди.
Энди Е.И Пустыльник томонидан таклиф этилган формула бўйича текшириб кўрамиз.
A_k  3 


E_k  5 


бунда n –кузатувлар сони бизнинг холда:

A_k  3 


E_k  5 
 3 
 1.58


 5 
 3.89

А_эмп = 0,106 ^Аэмп^{< А}к Е_эмп= -0,711
^Еэмп^{< Е}к
Н.А.Плохинский ва Е.И.Пустыльник мезонлари бир ҳил натижа берди, яъни хоссанинг тақсимоти нормал тақсимот қатордан муқаррарлик даражасида фарқ қилмаслигини кўрсатди.

Мавзу бўйича саволлар

1. 
   Боксплот қандай тузилади?
   
2. 
   Тақсимланиш асимметрияси қандай ҳисобланади?
   
3. 
   Тақсимланиш эксцесс кўрсаткичлари қандай ҳисобланади?
   
4. 
   Нормал тақсимот график тарзда ифоданганда қандай кўринишга эга бўлади?
   
5. 
   Мусбат асимметрия нимага боғлиқ?
   
6. 
   Манфий асимметрия нимага боғлиқ?
   

ТАВСИЯ ЭТИЛАДИГАН АДАБИЁТЛАР РЎЙХАТИ:

1. 
   Кричевен А.Н, Шикин Е.В, Дьячков А.Г. Математика для психологов. М. 2003 г.
   
2. 
   Сидоренко Е.Н Методы математической обработки в психологии. Речь, СПб, 2000 г.
   
3. 
   Нишонова З.Т, Қаршиева Д.С. “Экспериментал психология” Т:2007.
   
4. 
   Наследов А.Д. Математические методы психологического исследования. Анализ и интерпретация данных. СПб., Речь, 2004.
   
5. 
   Боровиков В. Статистика. Искуство анализа данных на компьютере. СПб., 2003.
   
6. 
   Суходолский Г.В. Математические методы психологии. СПб., 2003.
   
7. 
   Ермолаев О.Ю. Математическая статистика для психологов. М., 2003.
   

6-мавзу. Нормал тақсимланиш назариясининг амалий жиҳатлари

Режа:

1. 
   Стандарт нормал тақсимланиш тушунчаси.
   
2. 
   Бош кўплик ўртачаси учун ишончлилик чегаралари.
   
3. 
   Параметрик ва нопараметрик мезонлар тўғрисида умумий тушунча.
   

Таянч сўзлар: нормал тақсимланиш, мода, медиана, ўртача, дисперсия, стандарт оғиш, параметрик мезон, нопараметрик мезон.
Танламадаги маълумотларнинг нормал тақсимланганлигидан гувоҳлик берувчи кўрсаткичлар қуйидагилардир:

• 
  танламанинг симметрик тақсимланганлиги (гистограмма ёки боксплот усулида кўргазмали тарзда ифодалаш мумкин).
  
• 
  Медианна ва ўртача қиймат бир бирига тенг ёки жуда яқин.
  
• 
  Ассиметрия ва эксцесс кўрсаткичлари нолга яқин қийматга эга. Боксплот усулида маълумотларни тақдим этишда медианна,
  

квартиллар орасидаги масофа ҳамда тақсимланиш лимити кўргазмали тарзда акс эттирилади.
Боксплотларни тузишда қуйидагиларга эътиборни қаратиш лозим:

1. 
   Қуйи ва юқори квартилларни қийматларини аниқлаш. Q₁; Q₃
   
2. 
   Квартиллар орасидаги масофани аниқлаш ΔQқQ₃-Q₁
   
3. 
   Ҳаддан юқори ва ҳаддан паст бўлган қийматларни топиш.
   

Юқори сакровчилар-булар Q₃+1,5ΔQ дан то Q₃+3ΔQ диапазонда ётувчи танламалардир.
Пастки сакровчилар-булар Q₁-3ΔQ дан то Q₁-1,5ΔQгача диапазонда ётувчи танламалар ҳисобланади.

4. 
   Экстремал қийматларни аниқлаш.
   

Юқори экстремал қийматлар булар Q₃+3ΔQ дан катта бўлган кўрсаткичлар ҳисобланади.
Қуйи экстремал қийматлар булар Q₁-3ΔQ дан паст бўлган кўрсаткичлар олинади.

5. 
   Максимал ва минимал тўғри тузатилган қийматларни аниқлаш. Тўғри тузатилган максимал кўрсаткичлар бу юқори сакровчи ҳам,
   

юқори экстремал ҳам бўлмаган энг катта сондир.
Тўғри тузатилган минимал кўрсаткичлар бу пастки сакровчи ҳам, қуйи экстремал ҳам бўлмаган энг кичик сонлардир.

6. 
   Ордината ўқлари бўйича медиананинг кўрсаткичларини, юқори ва қуйи квартилларни, экстремал кўрсаткичларни, тўғри тузатилган максимал ва минимал кўрасткичларни жойлаштирамиз.
   

Горизонтал чизиқлар бўйича кесмаларни бир бирининг тагига жойлаштирамиз.
Кесмалар юқори ва қуйи квартилларга мос келади, улар тўғри тўртбурчак шаклига келади. Бу тўғритўртбурчакда кесма ва медина ҳам мавжуд.
Максимум кўрсаткичларга мос келадиган кўрсаткичлар юқори квартиллар билан ўрта перпиндикуляр орқали бирлаштирилади.
Қуйи кўрсаткичлар эса қуйи квартиллар билан бирлаштирилади.
Сакровчилар (О) ва экстремал кўрсаткичлар эса (Е) билан белгиланади


Бу қуйидагилардир: