|
Ньютон усулининг модификацияси
Ўзгармас қадамли айирмалар усули. тенгламани Ньютон усули билан тақрибий ечиш жараёнида ни ҳисоблашга тўғри келади. Лекин мураккаб функциялар учун ни ҳисоблаш жуда катта мехнат талаб қилади, шунинг учун нинг ўрнига
тенгликнинг ўнг томонидаги ифодани қўйсак, (2.2.8) тенглик
кўринишга ўтади.
Ўзгарувчи қадамли айирмалар усули. Ҳар бир итерацияда қадамни ўзгартириб турилса, ларга эга бўламиз. У ҳолда қуйидаги кўринишга ўтади:
Бундай усулнинг яхши томони ҳосиланинг қатнашмаганида бўлса, камчилиги эса яқинлашиш тезлигининг пастлигига.
Ватарлар методи
Ватарлар методи яқинлашувчи итерацион жараёнга асосланган матодлардан биридир.
Ньютон методидаги ҳисоблашларни соддалаштириш учун ундаги ни
тақрибий ифодаси билан алмаштирсак, у ҳолда навбатдаги яқинлашишни топиш қоидаси қуйидагича бўлади:
кетма-кетлик изланадиган илдизга интилади.
Кўпинча ватарлар усулидан фойдаланишда, дастлабки яқинлашиш сифатида ( оралиқнинг шарт бажариладиган чеккаси олинади ва кейинги яқинлашишлар (2.2.9) формула билан аниқланади.
Ватарлар усулининг геометрик таҳлили: фараз қилайлик функция да монотон бўлиб, сон тенгламанинг да ажратилган ягона илдизи бўлсин.
эгри чизиқнинг ва нуқталардан ўтувчи ватарини ўтказамиз.
тенглама илдизининг биринчи яқинлашиши сифатида ватар билан Ох ўқининг кесишиш нуқтасини оламиз. Ватарнинг тенгламасини ёзайлик:
бундан десак,
2.11-мисол. Ньютон усуллари қўлланилиб, тенглама ечилсин.
Ечиш: –узлуксиз дифференциалланувчи функция ва бўлсин, яъни тенгламанинг илдизи бўлсин. бошланғич қиймат сифатида оралиқнинг бажариладиган чеккаси олинади. Кейинги яқинлашишлар (2.2.8) мунособат билан аниқланади.
Тенгламанинг илдизлари ва оралиқда ётар эканлигини кўрдик (1- мисол). Биринчи оралиқни оламиз, яъни оламиз.
функциянинг ҳосилаларини топайлик: ,
.
бўлгани учун дастлабки яқинлашиш сифатида ни оламиз,
нуқта эса қўзғалмас нуқта бўлади. (2.2.8) формуласи бўйича:
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
|
-5
|
1139,5
|
-967
|
|
|
|
|
1
|
-3,821613237
|
351,511419
|
-419,4009004
|
1,178386763
|
|
|
|
2
|
-2,983485759
|
104,3414154
|
-189,5350949
|
0,838127478
|
|
|
|
3
|
-2,432973382
|
27,81544754
|
-95,04828553
|
0,550512376
|
|
|
|
4
|
-2,14032794
|
5,396056902
|
-59,73716187
|
0,292645442
|
|
|
|
5
|
-2,049997956
|
0,415658924
|
-50,67080405
|
0,090329984
|
|
|
|
6
|
-2,041794831
|
0,003216219
|
-49,88776048
|
0,008203125
|
|
|
|
7
|
-2,041730362
|
1,97531E-07
|
-49,88163262
|
6,44691E-05
|
|
|
|
8
|
-2,041730358
|
0
|
-49,88163225
|
3,95999E-09
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Жадвалдан кўриниб турибдики аниқ илдиз -2,041730362 Демак, тақрибий илдиз бўлади.
2.12-мисол. Ватар усуллари қўлланилиб, тенглама ечилсин.
Ечиш: –узлуксиз дифференциалланувчи функция ва бўлсин, яъни тенгламанинг илдизи бўлсин. бошланғич қиймат сифатида оралиқнинг бажариладиган чеккаси олинади. Кейинги яқинлашишлар (2.2.9) мунособат билан аниқланади. Тенгламанинг илдизлари ва оралиқда ётар эканлигини кўрдик (1- мисол). Биринчи оралиқни оламиз, яъни оламиз. нуқтани оламиз, чунки . нуқтанинг яқин атрофида Теорема 9 нинг шартлари бажарилади, шунинг учун деб олсак бўлади.
n
|
x(n)
|
z(n)
|
0
|
-5
|
1139,5
|
1
|
-4,9
|
1045,7352
|
2
|
-3,784725185
|
336,2740809
|
3
|
-3,256101412
|
164,2588349
|
4
|
-2,751314034
|
65,66675706
|
5
|
-2,415102942
|
26,13866791
|
6
|
-2,192777242
|
8,676061889
|
7
|
-2,082317697
|
2,10394794
|
8
|
-2,046955995
|
0,261963362
|
9
|
-2,041926924
|
0,009806871
|
10
|
-2,041731334
|
4,86551E-05
|
11
|
-2,041730358
|
9,11078E-09
|
12
|
-2,041730358
|
0
|
13
|
-2,041730358
|
0
|
Демак, тақрибий илдиз бўлади.
Тақрибий сонларнинг хатоларини ҳисоблаш
Бизга А аниқ сон ва унинг тақрибий қиймати а сон берилган бўлсин. А аниқ сонни унинг тақрибий қиймати а сон билан алмаштирганда ҳосил бўладиган хатоликларни кўриб чиқайлик.
А аниқ сонни а тақрибий қиймати билан алмаштирилганда маълум хатоликка йўл қуйилади. Бу хатолик А-а га тенг.
Агар бўлса, а сони ками билан (ёки чапдан) яқинлашади; агар бўлса, а сони ортиғи билан (ёки ўнгдан) яқинлашади дейилади. Масалан, 1,73 сони га чапдан яқинлашади, 1,74 сони га ўнгдан яқинлашади. Бошқача айтганда, 1,73 сони га ками билан тақрибий қиймат, 1,74 сони эса га ортиғи билан тақрибий қиймат. Чунки
1,73 . Худди шундай 3,14 сони учун ками билан тақрибий қиймат, чунки 2,72 сони учун
Таъриф 1: тақрибий соннинг абсолют хатоси деб га айтилади.
А нинг аниқ қиймати номаълум бўлгани учун абсолют хато ҳам номаълум бўлади. Шунинг учун чегаравий абсолют хато тушунчаси киритилади.
Таъриф 2: тақрибий соннинг чегаравий абсолют хатолиги деб, бу соннинг абсолют
хатолигидан кичик бўлмаган сонга айтилади:
.
Бундан .
1-мисол. сонини алмаштирадиган сонининг чегаравий абсолют хатолигини топинг.
Ечиш: бўлгани учун . Демак, чегаравий абсолют хатолик га тенг.
Тақрибий соннинг абсолют хатолиги аниқ сонни унинг и билан яқинлашиш сифатини етарлича тавсифлай олмайди. Масалан, абсолют хатолик хонанинг бўйини ўлачашда ҳаддан ташқари катта хатолик, уй қуриш учун ер майдонини ажратишда йўл қўйиш мумкин, шаҳарлар орасидаги масофани ўлчашда эса сезилмайди ҳам.
Ўлчаш ёки ҳисоблаш натижаси аниқлигининг ҳақиқий кўрсатгичи унинг нисбий хатолигидир.
Таъриф 3: тақрибий соннинг нисбий хатоси деб га айтилади.
Таъриф 4: тақрибий соннинг чегаравий нисбий хатолиги деб, бу соннинг нисбий
хатолигидан кичик бўлмаган сонга айтилади:
ёки .
Бундан .
Абсолют хато исмли миқдор бўлиб, нисбий хато исмсиз миқдордир. Нисбий хато кўпинча фоиз ва промилля ларда ифодаланади. (Бир промилля фоизнинг ўндан бир қисмига тенг.) Масалан, 3,14 сони сонининг тақрибий қиймати. Унинг хатолиги 0,00159 га тенг; чегаравий абсолют хатолик га тенг, чегаравий нисбий хатолик эса
.
га тенг деб ҳисоблаш мумкин.
Абсолют ва нисбий хатоликларнинг хоссалари
Фараз қилайлик ва лар иккита тақрибий сонлар бўлсин. У ҳолда қуйидагилар ўринли:
Абсолют хатоликлар
Нисбий хатоликлар
Таъриф 5: Соннинг ёзилишидаги , чапдан биринчи нолдан фарқли рақамидан бошлаб, ҳамма рақамлари маъноли рақамлар дейилади.
Мисол. 0,00015 сонида иккита маъноли рақам , 12,150 сонининг ҳамма рақамлари маъноли рақам бўлади .
Соннинг каср қисмининг охирги хоналарига қўшимча ноллар ёзиб ёки нолларни ташлаб соннинг маъноли рақамларини кўпайтириш ёки камайтириш мумкин. Бу билан берилган сон ўзгармайди.
Таъриф 6: сонини яхлитлаш деб, уни камроқ маъноли рақамга эга бўлган сони билан алмаштиришга айтилади.
Таъриф 7: тақрибий соннинг бирор маъноли рақам кенг маънода ишончли рақам дейилади, агарда соннинг абсолют хатоси шу маъноли рақам турган хонанинг бир бирлигадан ортиқ бўлмаса.
( тақрибий соннинг бирор маъноли рақам тор маънода ишончли рақам дейилади, агарда соннинг абсолют хатоси шу маъноли рақам турган хонанинг бир бирлигининг ярмидан ортиқ бўлмаса.)
Умуман олганда: Агар тенгсизлик бажарилса, у ҳолда тақрибий
сонда рақам ишончли рақам дейилади, акс ҳолда шубҳали рақам дейилади.
Кўриниб турубдики, рақам ишончли рақам бўлса, ундан олдинги рақамларнинг барчаси ҳам ишончли рақам бўлади. Демак, ишончли рақамлар орасида ҳар доим охиргиси мавжуд.
Қоида 1: Агар сони та ишончли рақамга эга бўлса, у холда унинг нисбий хатолиги
тенгсизликни қаноатлантиради, бу ерда шу соннинг биринчи рақами.
Қоида 2: Нисбий хатолиги бўлган соннинг та рақами ишончли бўлса, у ҳолда ушбу
тенгсизликни қаноатлантирадиган энг катта туб сондир.
Арифметик амаллар ва логарфмлашнинг хатоси
Do'stlaringiz bilan baham: |
