Одно из важнейших понятий математического анализа

Интеграл — одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач:

• 
  о нахождении площади под кривой;
  
• 
  пройденного пути при неравномерном движении;
  
• 
  массы неоднородного тела, и тому подобных;
  
• 
  а также в задаче о восстановлении функции по её производной (неопределённый интеграл)^[1].
  

Упрощённо интеграл можно представить как аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых. В зависимости от пространства, на котором задана подынтегральная функция, интеграл может быть — двойной, тройной, криволинейный, поверхностный и так далее; также существуют разные подходы к определению интеграла — различают интегралы Римана, Лебега, Стилтьеса и другие^[2].

Содержание

• 
  1Интеграл функции одной переменной
  
  • 
    1.1Неопределённый интеграл
    
  • 
    1.2Определённый интеграл
    
• 
  2Интеграл в пространствах большей размерности
  
  • 
    2.1Двойные и кратные интегралы
    
  • 
    2.2Криволинейный интеграл
    
  • 
    2.3Поверхностный интеграл
    
• 
  3Применение
  
• 
  4Обобщения
  
  • 
    4.1Интеграл Лебега
    
• 
  5Историческая справка
  
• 
  6См. также
  
• 
  7Примечания
  
• 
  8Литература
  
• 
  9Ссылки
  

Интеграл функции одной переменной[править | править код]
Неопределённый интеграл[править | править код]
Основная статья: Неопределённый интеграл
Пусть дана {\displaystyle f(x)}  — функция действительной переменной. Неопределённым интегралом функции {\displaystyle f(x)} , или её первообразной, называется такая функция {\displaystyle F(x)} , производная которой равна {\displaystyle f(x)} , то есть {\displaystyle F'(x)=f(x)} . Обозначается это так:
{\displaystyle F(x)=\int f(x)dx}
В этой записи {\displaystyle \int }  — знак интеграла, {\displaystyle f(x)}  называется подынтегральной функцией, а {\displaystyle dx}  — элементом интегрирования.
Первообразная существует не для любой функции. Легко показать, что по крайней мере все непрерывные функции имеют первообразную. Поскольку производные двух функций, отличающихся на константу, совпадают, в выражение для неопределённого интеграла включают произвольную постоянную {\displaystyle C} , например
{\displaystyle \int x^{2}dx={\frac {x^{3}}{3}}+C,\qquad \int \cos(x)dx=\sin(x)+C}
Операция нахождения интеграла называется интегрированием. Операции интегрирования и дифференцирования обратны друг другу в следующем смысле:
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int f(x)dx=f(x),\qquad \int {\frac {df(x)}{dx}}dx=f(x)+C}