Oddiy differensial tenglamalarning asosiy tushunchalari

O’zgarmas koeffitsientli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar.
Ta’rif. (1.6)
ko’rinishdagi tenglama -tartibli chiziqli , o’zgarmas koeffitsientli differensial tenglama deyiladi, bunda
– o’zgarmas miqdorlar, .
Agar bo’lsa, bir jinsli bo’lmagan tenglama,
bo’lsa, bir jinsli tenglama deyiladi.
1-teorema va 2- tartibli bir jinsli chiziqli
(1.7)
tenglamaning xususiy yechimlari bo’lsa, u xolda ham shu tenglamaning yechimi bo’ladi.
2- teorema. Agar y (4.3) tenglamaning yechimi bulsa , u xolda cy ham shu tenglamaning yechimi bo’ladi.
Ta’rif. Agar da (4.3) tenglamaning 2 ta yechimining nisbati o’zgarmas miqdorga teng , ya’ni b
bo’lsa va yechimlar da chiziqli erkli yechimlar deyiladi, aks xolda chiziqli bog’lik yechimlar deyiladi .
Ta’rif.
- ko’rinishdagi determinant Vronskiy determinanti deyiladi.
3- teorema. Agar va yechimlar da chiziqli bog’liq bo’lsa,u xolda bu kesmada Vronskiy determinanti nolga teng.
4- teorema Agar (4.3) tenglama yechimlaridan tuzilgan - Vronskiy determinanti tenglama koeffitsientlari uzluksiz bo’lgan [a,b] kesmadagi biror qiymatida nolga teng bo’lmasa ,u xolda bu kesmada nolga aylanmaydi.
Isbot va (4.3) tenglamaning yechimlari bo’lsin. U xolda

Birinchi tenglikni ga, ikkinchi tenglikni ga kupaytirib, ayiramiz:
(1.8)

dan xosil bo’ladi.
Demak, (1.8) tenglama ko’rinishni oladi. Bu tenglamaning shartni qanoatlantiruvchi yechimini topamiz:

(1.9).
(1,9) formula Livuill formulasi deyiladi.
boshlang’ich shartdan ni topamiz. Demak,
(1.10)
, bu xolda (1.10) dan x ning xech bir qiymatida kelib chiqadi.
5- teorema. Agar (1.11) tenglamaning va yechimlari chiziqli erkli bo’lsa , bu yechimlardan tuzilgan - Vronskiy determinanti xech bir nuktada nolga aylanmaydi. (1.11) tenglamani integrallashga kirishamiz. Yuqoridagi 1-teoremaga ko’ra bu tenglama umumiy yechimi uning 2 ta chiziqli erkli xususiy yechimlari yig’indisidan iborat.
Xususiy yechimni , ko’rinishda izlaymiz: Xosilalarni (1.11) ga qo’yib
yoki
tenglamani xosil qilamiz.
Bu tenglama (1.11) tenglamaning xarakteristik tenglamasi deyiladi.

berilgan (1.12) xarakteristik tenglamaning ildizlari bo’lsin.
1. Xarakteristik tenglamaning ildizlari va haqiqiy va xar xil sonlar bo’lsin. Bu xolda va funksiyalar xususiy yechimlar bo’ladi.

bo’lgani uchun ular chiziqli bog’liq emas. Demak, umumiy yechim
.
ko’rinishda bo’ladi.