Ochiq va yopiq tо‘plamlar

Ochiq va yopiq tо‘plamlar.
Tо‘g`ri chiziqdagi ξ nuqtaning atrofi deb shu nuqtani о‘z ichiga olgan oraliqga aytiladi. Har bir nuqta cheksiz ko`p atrofga ega.
1–ta’rif. Tо‘g`ri chiziqda biror ξ nuqta va E tо‘plam berilgan bо‘lsin. Agar ξ ning har qanday atrofida E tо‘plamning ξ dan farqli kamida bitta nuqtasi bо‘lsa, ξ nuqta E tо‘plamning limit nuqtasi deyiladi.
Bu yerda ξ ning E ga tegishli bo`lishi talab qilinmaydi. Agar ξ  E bо‘lib, ξ elementning biror atrofida E tо‘plamning ξ dan boshqa elementi bо‘lmasa u holda ξ nuqta E tо‘plamning yakkalangan nuqtasi deyiladi.
Izox: a) Limit nuqta tо‘plamga tegishli ham tegishli bo`lmasligi ham mumkin.
b) ξ nuqta YE tо‘plamning limit nuqtasi bо‘lsa, u holdaξ ning  atrofida YE tо‘plamning cheksiz ko`p nuqtalari mavjud. Uni kursatish uchun teskari funksiya ya’ni ξ nuqtaning shunday atrofii mavjudki, bu atrofdagi tо‘plamning son chekli elementlarigina kirgan bо‘lsin. Bu elementlarni, x₁, x₂, … , x_n bilan belgilaymiz. Bu holdaξ ning limit nuqta emasligini kursatamiz. nuqtalar orasida ξ ga eng yaqin nuqta bitta yoki ko`pi bilan ikkita bulishi mumkin. ξ dan ulargacha bо‘lgan eng yaqin masofani b bilan belgilaymiz u holda(ξ-, ξ+) oraliq ξ dan boshka (agar ξ YE bо‘lsa) YE tо‘plamga kiradigan birorta nuqtani ham о‘z ichiga olmaydi. Demak ξ nuqta limit nuqta bula olmaydi. Ziddiyat
c) agar bо‘lib, ξ nuqta tо‘plamning limit nuqtasi bо‘lsa u holda ξ nuqta tо‘plamning ham limit nuqtasi bо‘ladi.
d) Chekli tо‘plam birorta ham limit nuqtaga ega emas, uning har bir nuqtasi yakkalangan nuqta bо‘ladi.
1–teorema. Ixtiyoriy segmentning limit nuqtalari tо‘plami shu segmentning о‘ziga teng.
Isbot. segmentning  ξ nuqtasi shu segment uchun limit nuqta ekanligi bevosita ta’rifdan ko`rinadi. Endi segment tashqarisida limit nuqtasi yo`qligini ko`rsatamiz. Haqiqatan ξ nuqta segmentning limit nuqtasi bо‘lib, unga kirmasin va aniqlik uchun dan chapda bо‘lsin. U holda ξ nuqtaning atrofi ning birorta ham nuqtasini о‘z ichiga olmaydi. Bu esa ξ ning limit nuqtalariga zid.
1-misol. bо‘lsin. Bu to`plamning birorta ham limit nuqtasi yo`q.
2-misol. to`plam bitta ξ=0 limit nuqtaga ega. .
3-misol. tо‘plamning limit nuqtalari tо‘plami .
4-misol. ning limit nuqtalari tо‘plami - .
5-misol. dagi barcha ratsional sonlar tо‘plami bо‘lsin. Limit nuqta tо‘plami ning barcha nuqtalaridan iborat.
tо‘plamning barcha limit nuqtalaridan iborat bо‘lgan tо‘plam tо‘plamning hosila tо‘plami deyiladi. Uni bilan belgilaymiz.
2–ta’rif. Agar ning hamma limit nuqtalari о‘ziga tegishli bо‘lsa, u holda tо‘plam yopiq tо‘plam deyiladi.
Agar bо‘lsa u holda mukammal tо‘plam deyiladi. - tо‘plamning yopilmasi deyiladi.
3–ta’rif. Biror segment ichiga joylashtirilishi mumkin bо‘lgan tо‘plam chegaralangan tо‘plam deyiladi.
2–teorema (Bolsana- Veyershtrass ) har qanday chegaralangan cheksiz tо‘plam hech bo`lmaganda bitta limit nuqtaga ega.
4–ta’rif. Agar nuqtani о‘z ichiga olgan va tо‘plamga butunlay kirgan oraliq mavjud bо‘lsa , nuqta tо‘plamning ichki nuqtasi deyiladi.
5–ta’rif. agar tо‘plamning hamma nuqtalari ichki nuqtalardan iborat bо‘lsa u holda tо‘plam ochiq tо‘plam deyiladi. Bo`sh tо‘plamni ham ochiq tо‘plam deb hisoblaymiz
3–teorema. Soni ixtiyoriy bо‘lgan ochiq tо‘plamlarning yig`indisi ham ochiq tо‘plamdir.
4–teorema. Soni chekli ochiq tо‘plamlar ko`paytmasi ochiq tо‘plamdir.
5–teorema. Agar tо‘plam ochiq bо‘lsa, u holda to`ldiruvchi yopiq tо‘plam bо‘ladi.
6-misol. Har qanday oraliq ochiq tо‘plamdir.
Haqiqatdan, bо‘lsin .Ushbu belgilashni kiritamiz . U holda nuqtaning atrofi oraliqda butunlay yotadi. Bu esa ning oraliq uchun ichki nuqta ekanini ko`rsatadi. ning ixtiyoriyligidan oraliqning ochiq tо‘plam ekanligi kelib chiqadi.
7-misol. Hamma haqiqiy sonlar tо‘plami ochiq tо‘plam hosil qiladi.
8-misol. segment ochiq tо‘plam hosil qilmaydi. Haqiqatan nuqtani olib , uning ixtiyoriy atrofini olsak, bu atrofning dan chapdagi nuqtalari segmentga kirmaydi. Demak, nuqta segmentda bo`la turib, uning uchun ichki nuqta bo`la olmaydi .


Mustaqil yechish uchun misollar.

1. - ko`rinishdagi sonlar to`plami. yopiq to`plam bo`lishi mumkinmi? Uning hosilaviy to`plami qanday bo`ladi.

2. Har qanday to`plamning hosilaviy to`plami yopiq to`plam ekanligini isbotlang.
3. Quyidagi tasdiq o`rinlimi: Ikkita va to`plamlar kesishmasining hosilaviy to`plami bu to`plamlar hosilaviy to`plamlarining kesishmasiga teng.
4. Agar limit nuqta to`plamga tegishli bo`lmasa, u holda bu nuqta to`plamning chegaraviy nuqtasi bo`lishini isbotlang.
5. Ikkita to`plam birlashmasining yopilmasi bu to`plamlar yopilmalari birlashmasiga teng ekanligini isbotlang.
6. Har qanday to`plamning yopilmasi yopiq to`plam ekanligini isbotlang.
7. Shunday yopiq to`plamlar ketma-ketligini qurish kerakki, ularning birlashmasi yopiq to`plam bo`lmasin.