Нуқта ҳаракатининг берилиш усуллари

Нуқта ҳаракатининг берилиш усуллари
Режа:

1. 
   Нуқта ҳаракатининг берилиш усуллари
   
2. 
   Нуқтанинг тезлик вектори.
   
3. 
   Нуқтанинг тезланиш вектори.
   

Нуқта ҳаракатининг берилиш усуллари
Нуқта ҳаракатини берилишида, асосан, учта усулдан фойдаланилади: 1)вектор, 2) координата, 3) табиий; усуллар.
1. Нуқта ҳаракатини вектор усулида берилиши. Фараз қилайлик, ихтиёрий М нуқта бирорта Оxyz ҳисоб системасига нисбатан ҳаракатланаётган бўлсин. Агар координата боши О нуқтадан ҳаракатланаётган М нуқтагача радиус - вектор -ўтказилса, у орқали шу ҳаракатланаётган нуқтанинг ихтиёрий вақт моменти учун ҳолатини (ўрнини) аниқлаш мумкин бўлади (114 шакл).
М нуқтанинг ҳаракатида вектор - вақтга боғлиқ равишда ҳам йўналиши бўйича, ҳам модули бўйича ўзгариб боради. Демак, - ўзгарувчан вектор (вектор - функция) бўлиб, у t -вақтга (t -аргументга) боғлиқ бўлади, яъни
(1)


114 шакл.
(1) вектор тенглик (формула) нуқтанинг ҳаракат қонунини вектор шаклда белгилайди. Ушбу тенглама орқали нуқтанинг ихтиёрий вақт учун - векторни шаклда тасвирлаб беради ва коорданата ўқларидаги ўрнини аниқлаб беради.
Радиус вектор -нинг охирини бирлаштирувчи эгри чизиқ годограф деб аталади ва ҳаракатланаётган нуқтанинг траекториясини белгилайди.
Ҳаракат аналитик усулда берилганда, унинг қонунияти радиус векторнинг координата ўқларидаги проекциялари орқали ифодаланади. Тўғри бурчакли декарт координаталарида радиус вектор , ўзининг шу ўқлардаги проекциялари орқали берилади, бу ерда x,y,z - лар нуқтанинг декарт ўқларидаги координаталари. Агар ўқлар бўйлаб йўналган бирлик вектор (орт) , , - лар ўтказсак, радиус вектор , қуйидагича ифодаланади,
=x +y +z (2)
Демак, агар нуктанинг x,y,z координаталари t -вақтнинг функцияси сифатида берилса, радиус вектор - нинг ҳолати маҳлум бўлар экан. Ҳаракат қонунини бундай (яъни координата) усулда берилишини кейинроқ кўриб ўтамиз. Радиус вектор , бошқача кўринишда ҳам берилиши мумкин, масалан модули ва координата ўқлари билан ҳосил қилган бурчаклари орқали берилиши мумкин. Векторни қандай кўринишда берилишидан қатҳий назар, (1) формула орқали берилгандаги кўринишдан келиб чиқадиган формулаларни келтириб чиқарамиз.
2. Ҳаракатни координаталар усулида берилиши. Агар нуқтанинг ҳаракатини унинг x,y,z координаталари вақтнинг функцияси сифатида берилган бўлса, унинг ҳолатини улар ёрдамида бевосита аниқлаш мумкин. Нуқтанинг ҳаракат қонунини, яъни ихтиёрий олинган вақт учун унинг фазодаги ҳолатини аниқлаш учун, қуйидаги тенгламалар берилиши шарт,
, , (3)
(3) тенгламалар системаси нуқта ҳаракатининг тўғри бурчакли декарт координата ўқларидаги тенгламалари деб аталади. Улар ҳаракатни координата усулда берилгандаги ҳаракат қонунлари ҳисобланади¹.
Агар нуқтанинг ҳаракати ҳар доим бирорта текислик устида содир бўлса, бу текисликни Оху деб ҳисобласак, у ҳолда нуқтанинг ҳаракат қонуни иккита тенгламадан иборат бўлади,
, (4)
Агар нуқта фақат тўғри чизиқ бўйлаб ҳаракат қилаётган бўлса, бу чизиқни Ох координата ўқи деб ҳисобласак, нуқтанинг ҳаракат қонуни битта тенгламадан иборат бўлади,
, (5)
(3) ва (4) тенгламалар системаси, бир вақтни ўзида нуқта ҳаракати траекториясининг параметрик кўринишдаги тенгламалари ҳисобланади, ва параметр сифатида t -вақт ишлатилмоқда. Ушбу тенгламлар системасидан t -вақтни йўқотиб, траекториянинг тенгламасини олиш мумкин, яъни траектория координаталарнинг ўзаро функцияси сифатида ифодаланади.
Мисол. Нуқтанинг Оху текислигидаги ҳаракати,
x=2t, y=12t­² (а)
қонун орқали­берилган бўлсин. Бу ерда x,y - лар сантиметрда, t - секундларда ўлчанади.
Ушбу тенгламалар орқали t=0 c да нуқта М(0,0) ҳолатда, яъни координата бошида эканлигини аниқлаймиз. t=1 c да нуқта М(2,12) ҳолатда эканлигигини ва ҳ.. Демак, (а) тенгламалар орқали нуқтанинг ихтиёрий олинган вақтдаги ҳолатини аниқлашимиз мумкин экан. Вақт t - га турли қийматларни бера бориб, нуқтанинг ҳар бир сониядаги ҳолатини аниқлаб, сўнгра бу нуқталарни бир бирлари билан бирлаштирсак, шаклда нуқтанинг траекторияси тасвирланади.


115 шакл.
Траекторияни бошқа усулда, яъни (а) тенгламалардан вақт t -ни йўқотиш орқали ҳам аниқлаш мумкин. Бунинг учун биринчи тенгламадан t -ни аниқлаб (t=x/2) иккинчи тенгламага қўямиз, у ҳолда y=3x² бўлади. Демак, нуқтанинг траекторияси координата ўқларининг марказидан бошланган Оу ўқига параллел йўналган параболадан иборат эканлиги анқланди. Траекторияни аниқлашга оид бошқа мисолларни §41 да кўриб ўтамиз.
3. Нуқта ҳаракатини табиий усулда берилиши. Нуқта ҳаракатининг табиий (ёки траектория орқали) усулда берилиши, асосан унинг траекторияси олдиндан маҳлум бўлган ҳоллардагина улардан фойдаланилади. Фараз қилайлик, М нуқта АВ траектория бўйлаб, Оxyz ҳисоб системасига нисбатан ҳаракатда бўлсин (115 шакл). Ушбу траекторияда қўзғалмас бўлган ихтиёрий О нуқтани танлаб оламиз ва уни табиий ўқларнинг координата боши қилиб белгилаймиз ва ўқнинг мусбат ёки манфий томонларини (оддий координата ўқларидаги каби) белгилаб оламиз.
У ҳолда М нуқтанинг шу траекториядаги ўрнини, яъни О’ нуқтадан М нуқтагача бўлган масофани, шу эгри чизиқли траекториядаги s - координата орқали унинг тегишли ишорасига боғлиқ равишда аниқлашимиз мумкин. М нуқта шу траектория бўйлаб ҳаракатланганда М₁, М₂,...,М_n ва ҳоказо ҳолатларда бўлади, демак s - координата ҳам вақт давомида ўзгариб боради. М нуқтанинг ихтиёрий вақт учун шу траекториядаги ўрнини аниқлаш учун,
s=f(t) (6)
қонуният берилиши керак бўлади.
(6) тенглама М нуқтанинг траектория бўйлаб ҳаракат қонуни деб аталади.
Демак, нуқта ҳаракатини табиий ўқларда берилиши учун: 1) нуқтанинг траекторияси; 2) шу траекториядаги ҳисоб бошининг О’ нуқтаси ва табиий ўқнинг мусбат ва манфий йўналишини белгиланиши; 3) нуқтанинг шу траектория бўйлаб s=f(t) кўринишдаги ҳаракат қонуни; берилиши шарт.
Шуни эслатиб ўтиш лозимки (6) тенгламадаги s - нуқтанинг траекториядаги ўрнини белгилайди холос, яъни унинг босиб ўтган масофасини белгиламайди. Масалан, нуқта О’ нуқтадан ҳаракатни бошлаб М₁ нуқтага келсин (115 шакл), сўнгра орқа томонга қайтиб М ҳолатни эгаллаган бўлса, у ҳолда нуқтанинг координатаси s=О’M бўлади. Умумий босиб ўтилган йўл эса, О’M+M₁M га тенг бўлади, яъни s - га тенг бўлмайди, агар нуқта фақат бир томонга ҳаракат қилган хусусий ҳолдагина улар бир бирларига тенг бўлишлари мумкин.