Normatov matematikatarixi

x

e^k,
k-uzunlikbirligigabog’liqdoimiy.Agarda

(x) 0₂;agarx bo’lsa,uholda (x) 0.Nihoyatumumiyperpendikulyarga

ega bo’lgan to’g’ri chiziqlar ikkala tomonda uzoqlashadi. Uchburchak ichki burchak- larining yig’indisi 2d dan kichik bo’lib, tomonlari kattalashgan sari, bu yig’indi kich- rayib boradi. Lobachevskiy geometriyasidao’xshash uchburchaklar mavjud emas. Uchburchaklar tengligi faqat uchta burchagi teng bo’`lganda.

Barcha uchburchaklarning yuzalari yuqori chegarasi c (s- o’chlov birligiga bog’liq doimiy) bo’lgan to’plam tashkil etadi.

Aylanauzunligil=(e^kr–e^-kr)gatengbo’lib,radiusrgaqaragandatezroq

k

o’sadi.

Bundankeyingirivojlanishidato’g’richiziqlardastasiuchunyaqinlashuvchi, uzoqlashuvchi va parallellik munosabatlarini kiritish kerak.

Dastaga nisbatan esa tsikl (asosiy chiziqlar) tushunchasini kiritamiz. Bu to’g’ri chiziqlar dastasining ortogonal traektoriyalaridan iborat bo’lgan nuqtalarning geo- metrik o’rnidir. Ularning vaziyati dastaning biror to’g’ri chizig’ida olingan bosh- lang’ich nuqta bilan aniqlanadi. Bu tsikllar 3 xil ko’rinishdagi dasta uchun mos ra- vishda aylana, ekvidistanta (gipertsikl), oritsikl (R da aylananing obrazi) deb ataladi.

Barcha munosabatlar uchun o’lchov birligi kiritilgan bo’lib, burchak va uzun- liklar bir-biriga bog’liq.

O’lchovbirligiqiliboritsiklyoyining

⁰ absalyutuzunligiORolingan.Buyoy

78

^R quyidagichaolinadi:tanglanganOnuqtadan

boshlab (dastaning parallelto’g’richiziqlaridan birida), oritsiklni dasta to’g’ri chizig’i bilan ke- sishgannuqtasiRgachabo’lganyoy.Ќisoblash apparati giperbolik funktsiyalar orqali bajarila- di.

8. 
   rasm Masalan:sinuslarteoremasi
   

shka
shkb

shkc^.

Shunday qilib Lobachevskiy geometriyasi Evklid geometriyasi kabi mantiqan ketma-ketlikda tuzilgan va faktlarga boy ekan. Lobachevskiy qabul qilgan usul za- mondoshlari tomonidan tushunilmadi va uning geometriyasi qabul qilinmasdan 1856 yili vafot etadi.

Lobachevskiy geometriyasini tushunish uchun ko’pdan-ko’p interpretatsiya- lar bo’ldi. Bulardan dastlabkisi o’zi tomonidan bo’ldi.

Masalan,uchburchakichkiburchaklariyig’indisi2ddankichikbo’lishini,ya’ni

farq 2d

( -burchaklaryig’indisi)

_r2(r-egrilikradiusi).Bundayfarqsezi-

lishi uchun uchburchak nihoyatda katta bo’lishi kerak. Buni tekshirishni iloji bo’lmadi.

1868 yili E.Belьtram “Noevklid geometriyani talqin qilish tajribasidan” maqo- lasida birinchi bo’lib interpritatsiya beradi.

U tekislikning ma’lum cheklangan qismi uchun Lobachevskiy geometriyasida qarama-qarshilik yo’q ekanligini isbotladi.

1871 yili F.Kleyn “Noevklid geometriya haqida” asarida Lobachevskiy geome- triyasini sferaning ichki nuqtalariga proektiv akslantirish bilan masalani to’liq hal qildi.

1882 yili A.Puankare yangi interpretatsiyasini beradi. Bunda Lobachevskiy te- kisligi doiraning ichki nuqtalariga inversion akslantiriladi.

LobachevskiyningEvklidgeometriyasidanboshqageometriyalarhammavjud degan g’oyasiXIXasrning 2-yarmigakelib o’zifodasinitopdi vako’plab geometriya- larni vujudga keltiradi.

Ikkinchifikri–geometriyaninghaqiqatligifaqattajribaorqalitekshiriladi.

Bundafazoningtabiatinoevklidbo’lishimumkin.

Uchinchi fikri – aksiomalar sistemasini o’zgartirish va umumlashtirish orqali yangi geometriyalar olish mumkin.

Natijada 1866 yili o’. o’elьmgolьts asosiy tushuncha sifatidaharakatni, o’. Kantor (1871)vaR. Dedekind (1872)–uzluksizlikaksiomasini,Pash(1882)-tartibva tegishlilik aksiomalarini kiritadi.

1899 yili D.o’ilьbert "o’eometriya asoslari" asarida to’liq va etarlicha qat’iy bo’lgan aksiomalar sistemasini bayon etadi.

Natijada XIX asr oxiriga kelib geometriyada aksiomatik metod mustahkam o’rin oldi.

79

Ikki og’iz so’z Lobachevskiy geometriyasi haqida. 1773 yili adashib I.Sakkeri isbotladim deb o’ylagan edi.

1766 yili I.Lambert ko’pgina natijalar oldi, lekin dovdirab qoldi (1786 yili e’lon qiladi).

F.Shvekart(1818)vaF.Taurinus(1825)shuyo’ldanborishgaharakatqildilar.

Venger Ya.Bolьyai (1802-1860) – 1832 yilda o’z natijalarini e’lon qiladi, ammo o’auss taqriz bermaydi. o’auss o’lgandan keyin (1855) u ham shunday natijalar olga- ni ma’lum bo’ladi.

Tekshirishsavollari:

1. 
   XIXasrgachabo’lgangeometriyaningholatiqandayedi?
   
2. 
   Noevklidgeometriyaqandaykashfqilingan?
   
3. 
   Lobachevskiygeometriyasiningvujudgakelishi.
   
4. 
   Lobachevskiyxayotivaijodihaqidanimalarbilasiz?
   
5. 
   o’eometriyaniaksiomatikqurishnima?