Normatov matematikatarixi

д_,д

дхду
belgilashlarniLejandr(1786)kiritdi.
71

Xulosa shuki, XVIII asr differentsial hisobi hozirgi zamon darajasiga etgan. Funktsiyani qatorga yoyish bo’yicha kuchli apparatga etarli darajdada rivojlangan analitik apparatga ega edi.

b)Integralhisobi.

Dastlab integral hisobi tarkibiga funktsiyalarni integrallash, differentsial ten- glamalar nazariyasi va boshqalar kirgan. XVIII asrning o’rtalariga kelib I.Bernulli (1742 y), L.Eyler (1768-70 y) integral hisobining sistemali kurslarini yozganlaridan so’ng bu bo’limlar mustaqil va sistemaga kelgan holda namoyon bo’ladi.

Eylerning uch tomlik ushbu asarining: 1-tomi funktsiyalarni integrallash va differentsial tenglamalar; 2-tomi differentsial tenglamalar davomi; 3-tomi xususiy 8 xildagi differentsial tenglamalar va variatsion hisobi kiritilgan. Bu asar etarlicha mu- kammal bo’lib, hozirgi zamon darsliklari uning bayon etilishi uslubi va tiliga o’zgartirish bera olgan. Bu asar integral hisobining bunlan keyingi rivoji va uning simvolikasini mazmuniga mos kelishi borasida keng yo’l ochib beradi.

Eylersimvoli atala boshlandi.

_Pdxadx a

adx b
b

1979yiliLaplastaklifigako’raaniqintegraldeb

Furьe1818-22yillar

f(x)dxbelgisinikiritadi.

a

Klero1743yiliegrichiziqliintegralnikiritadi, olingan integral.

Pdx

Qdy

egrichiziqbo’ylab

Eyler1770yilikarraliintegralni,Lagranj1772yiliuchqavatliintegralnikiritadi.

Ba’zi ko’rinishdagi integrallarni hisoblash natijasi asr boshida maxsus funktsiyalar nazariyasiga asos soldi. Jumladan: 1729-31 yillarda

1

V(a;b)=x

0

¹(1

x)^b1dxbetta-funktsiya,

Г(a)

е^xx

0

¹dx-gamma-funktsiya.

o’ammafunktsiyanibo’laklabintegrallashnatijasidao’(a+1)=ao’(a),a>0va a∈Nbo’lgandao’(a+1)=ao’(a)=...=a!o’(1)=a!BundanfoydalanibEylerfaktorialning

umumlashgan ta’rifini
n! е^xxⁿ¹dx; 0

a, b∈N bo’lgandabetafunktsiyauchun

B(a,b) binomialimkoniniberadi.
v)Differentsialtenglamalar.

Dastlab differentsial tenglamalarni integrallash umumiy masala-cheksiz ki- chiklar tahlili masalasiga teskari masala sifatida qarala boshlandi. Turli ko’rinishdagi birinchi darajali tenglamalarni echish ishlari algebraik va elementar transtsendent funktsiyalar ko’rinishda qulay tanlab olingan usullar orqali qidirilgan. Natijada tarix- an birinchi bo’lgan usul differentsial tenglamalarda o’zgaruvchilarni ajratish usuli paydo bo’ladi.

72

1692 yilda I.Bernulli integrallovchi ko’paytuvchini qo’llash usulini topadi. Keyinchalik bu usul M(x,u)dx+N(x,y)dy=0 ko’rinishdagi tenglamalarni echishning umumiy usuliga aylanadi.

1693 yili Leybnits keyin esa I.Bernulli u=xt almashtirish orqali bir jinsli birinchi tartibli tenglamalarni echadilar. Bernulli tenglamasi deb ataluvchiady=ypdx+byⁿqdx (a=const, b=const, p=p(x), q=q(x)) tenglama

y^1-n=v almashtirish yordamida 1693 yili Leybnits 1697 yili I.Bernulli tomonidan birin- chi tartibli chiziqli differentsial tenglamaga keltiriladi.

1700yiliI.Bernullix^rko’rinishdagiintegrallovchiko’paytuvchinikiritishvaun-

_kd^ky

ingyordamidaketma-kettartibnipasaytirishorqali

n-tartiblichiziqlidifferentsialtenglamaniechadi.

x

dx^k

y 0ko’rinishdagi

Turli-tuman tadbiqiy masalalarni echish keng ko’lamdagi differentsial ten- glamalarniechishni talabqilaredi,shungako’raendirivojlanibkelayotganbubo’lim o’zining mustahkam metodologiyasiga muhtojligi sezilib qoldi. 20-yillarga kelib bu borada sezilarli natijalar olina boshlandi.

1724 yili italiyalik matematik Ya.Rikkati

dy _ay2

dx

bx(

,a,b- const)

ko’rinishdagichiziqlibo’lmagandifferentsialtenglamaniatroflichatekshiradi.1724

yiliD.Bernulli =-2yoki (k-butunson)bo’lgandaelementarfunktsiya-
larga integrallanishini topadi. 1738 yili Eyler bu tenglamani echishga qatorlarni tad- biq etadi.

1743yiliEylerchiziqlibirjinslidifferentsialtenglamani(doimiykoeffitsientli,

istalgantartibli)ko’rsatgichlifunktsiya(y

echishalgoritminiberadi.

_еkx₎

yordamidadarajasinipasaytirib

1766 yili Dalamber bir jinsli bo’lgan chiziqli differentsial tenglamaning umu- miy echimi uning qandaydir xususiy echimi bilan unga mos keluvchi bir jinsli ten- glamaning umumiy echimi yig’indilariga teng bo’lishini topadi.

1774-76 yillarda Lagranj maxsus echimlarni topishning qat’iy usulini beradi: yoki bevosita tenglamaning o’zidan, yoki umumiy echimni o’zgarmaslar bo’yicha differentsiallash bilan topishni beradi. Shu bilan birga u maxsus echimlarning geo- metrik talqinini ham beradi (egiluvchi integral egri chiziqlar oilasi ko’rinishida). Yu- qoridagi ishlarni umumlashtirib u 1801 yili “Funktsiyalarni hisoblashlarga doir lekt- siyalar” asarida chop etadi.

1768, 1769, 1770 yillarda chop etilgan uch tomlik “Integral hisobi” Eylerning ishlarini va ungacha bo’lgan barcha turdagi va tipdagi tenglamalarni sinflarga ajra- tib, batafsil echish usullarini beradi.

U bilan bir qatorda Dalamber, Laplas, Monj, Sharpi, K.Yakobi, Pfaff va bosh- qalar differentsial tenglamalar nazariyasini yaratishda munosib hissa qo’shdilar.