Noparametrik muvofiqlik alomatlari Reja: I. Kirish II. Asosiy qism

2.4. Noparametrik muvofiqlik alomatlari. Pirsonning xi-kvadrat muvofiqlik alomati.
Faraz qilaylik, lar bog'liqsiz ta tajriba natijasida t.m.ning olingan kutilmalari bo'lsin. t.m.ning taqsimoti noma'lum funksiyadan iborat bo'lsin. Noparametrik asosiy gipotezaga ko'ra . Mana shu statistik gipotezani tekshirish talab etilsin.
1. A. Kolmogorovning muvofiqlik alomati
kuzatilmalar asosida empirik taqsimot funksiyasini tuzamiz. Faraz qilamiz, uzluksiz taqsimot funksiyasi bo‘lsin. Quyidagi statistikani kiritamiz

Glivenko teoremasiga ko'ra n yetarli katta bo'lganda kichik qiymat qabul qiladi. Demak, agar asosiy gipoteza o'rinli bo’lsa statistika kichik bo’lishi kerak. Kolmogorovning muvofiqlik alomati statistikaning shu xossasiga asoslangandir.
Teorema(Kolmogorov). Ixtiyoriy uzluksiz taqsimot funksiyasi va uchun

bo’ladi.
statistikaga asoslangan statistik alomat kritik to'plami quyidagicha aniqlanadi

Bu yerdan - alomatning qiymatdorlik darajasi.
Kolmogorov teoremasidan quyidagi xulosalar kelib chiqadi:
a) statistikaning gipoteza to'g'ri bo'lgandagi taqsimoti bog 'liq emas;
b) Amaliy nuqtayi nazardan bo 'lgandayoq teoremadagi yaqinlashish juda yaxshi natija beradi, ya'ni ni bilan almashtirishdan yo'l qo'yiladigan xatolik yetarlicha kichikdir.
Bu xulosalardan kelib chiqadiki, bo'lsa kritik chegara ni ga teng deb olish mumkin. Bu yerda tenglamaning ildizlaridan iborat. Haqiqatan ham berilgan uchun

Shunday qilib Kolmogorov alomati quyidagicha aniqlanadi;

1. 
   Berilgan a orqali tenglama yechimi jadval yordamida topiladi.
   

2) berilgan tajriba natijalari larga ko'ra qiymati hisoblanadi,
3) va solishtiriladi, agar bo’lsa asosiy gipoteza rad etiladi, aks holda tajriba ni tasdiqlaydi.
2. K. Pirsonning xi-kvadrat muvofiqlik alomati
Amaliyotda Kolmogorov statistikasini hisoblash ancha murakkab va undan tashqari Kolmogorov alomatini qo'llash faqat taqsimot funksiya uzluksiz bo'lgandagina mumkindir. Shuning uchun, amaliyotda ko'p hollarda Pirsonning xi - kvadrat alomati qo'llaniladi. Bu alomat universal xarakterga ega bo‘lib, kuzatilmalarni guruhlash usuliga asoslangandir.
Faraz qilaylik, - kuzatilayotgan va taqsimot funksiyasi noma'lum bo'lgan t.m.ning qiymatlari to'plami bo'lsin. ni ta kesishmaydigan oraliqlarga ajratamiz:

Takrorlanishlar vektori deb ataladigan vektorni olaylik. Bu vektorning koordinatasi kuzatilmalardan tasi oraliqqa tushganligini anglatadi. Ko'rinib turibdiki, takrorlanishlar vektori tanlanma orqali
bir qiymatli aniqlanadi va . Asosiy gipoteza tog'ri, bo’lgandagi kuzatilmaning oraliqqa tushish, ehtimolligini bilan belgilaylik:

Quyidagi statistikani kiritamiz

va asosiy gipotezani to'g'riligini tekshiramiz.
Kuchaytirilgan katta sonlar qonuniga asosan nisbiy chastota bir ehtimollik bilan nazariy ehtimollik ga intiladi. Demak, agar gipoteza o’rinli bo'lsa, u holda statistikaning qiymati yetarli darajada kichik bo’lishi kerak. Demak, Pirsonning mezoni statistikaning katta qiymatlarida asosiy gipoteza ni rad etadi, ya'ni alomatning kritik sohasi ko’rinishda bo'ladi. Asosiy gipoteza to 'g'ri bo 'lganida statistikaning aniq taqsimotini hisoblash ancha murakkab, bu esa o'z navbatida alomatning kritik chegarasi ni topishda qiyinchilik tug'diradi. Ammo, n yetarli katta bo'lsa gipoteza to'g'ri bo’lganida statistikaning taqsimotini limit taqsimot bilan almashtirish mumkin.
Teorema(Pirson). Agar . bo'lsa, u holda

Bu yerda erkinlik darajasi k-1 bo 'lgan xi - kvadrat taqsimotiga ega bo'lgan t.m.dir:

- Gamma funksiya.
Amaliyotda bu teorema natijasidan . bo'lganda foydalanish mumkin. Bu holda tenglamadan topiladi.