|
36-mavzu. Nomanfiy butun sonlar to`plamini aksiomatik asosda qurish:
Nazariyani aksiomatik mеtod bilan qurish tushunchasi. Pеano aksiomalari. Matematik induksiya.
Key words
|
Ключевые
понятия
|
Kalit so’z
|
Axiomatic method
|
Аксиоматический метод
|
Aksiomatik metod
|
Peano axioms
|
Аксиомы Пеано
|
Peano aksiomalari
|
Method of maths induction
|
Метод математической индукции
|
Matematik induksiya metodi
|
Indefinite conceptions
|
Неопределяемые понятия
|
Ta’riflanmaydigan tushunchalar
|
Definite conceptions
|
Определяемые понятия
|
Ta’riflanadigan tushunchalar
|
Theory
|
Теория
|
Nazariya
|
Logical thought
|
Логическое мышление
|
Mantiqiy fikrlash
|
Axiomatic system model
|
Модель аксиоматических систем
|
Aksiomalar sistemasi modeli
|
Deductive statement
|
Дедуктивное высказывание
|
Deduktiv mulohaza
|
Induction statement
|
Индуктивное высказывание
|
Induktiv mulohaza
|
Nomanfiy butun sonlarni qo`shish amalining aksiomatik ta'rifi. Qo`shish qonunlari.
Ma’ruza mashg’ulotining rejasi:
Natural sonlarni qo’shish va uning xossalari.
Qo’shish jadvalini tuzish
Ma’ruza matni
Natural sonlarni qo’shish va uning xossalari. Qo’shish amalining ta’rifi German Grossman (1809—1877) tomonidan berilgan qo’shish amalining induktivlik ta’rifiga asoslanadi. Bu ta’rif ikki qismdan iborat bo’lib, quyidagicha:
1) ixtiyoriy a natural songa 1 ni qo’shish, bevosita a dan keyin keladigan sonni beradi. Ya’ni (∀a∈N) (a + 1 = a’).
2) a + b’ amali, a songa bevosita b sondan keyin keladigan b’ sonni qo’shish natijasida a + b sondan bevosita keyin keladigan natural (a + b)’ sonni beradi. Ya’ni(∀a, b∈N)[(a + b)’ = = (a + b) + 1].
Peanoning ikkinchi aksiomasidan ma’lumki, n — natural son bo’lsa, n + 1 ham albatta natural son bo’ladi. Bunda a va a + b lar natural son bo’lganda a + b’= (a + b)’ ham natural son bo’lishi kelib chiqadi. Shuningdek, a + 1 = a’ dan Peanoningaksiomasiga asosan a natural son bilan b natural sonning yig’indisi toia aniqlangan va natural sondan iborat bo’ladi.
Demak, qo’shish amali natural sonlar to’plamida hamma vaqt bajariladigan bir qiymatli amal ekan.
Natural sonlarni qo’shish ta’rifidan ko’rinadiki, har qanday natural son o’zidan oldingi natural son bilan birning yig’indisiga teng bo’lar ekan. Ya’ni
bo’ladi. Natijada biz 1 ni qo’shish jadvalini hosil qildik. Endi 2 ni qo’shish jadvalini tuzaylik:
Demak, 2 ni qo’shish jadvali:
3 ni qo’shish jadvalini tuzsak:
Xuddi shu yo’l bilan bir xonali sonlarni qo’shish jadvalini tuzishimiz mumkin. Yuqoridagilardan ko’rinadiki, agar natural sonlar qatorida a dan bevosita keyin keladigan b ta sonni sanasak, natijada oxiri sanalgan son a va b sonlarning yig’indisi bo’ladi va u a + b ko’rinishda belgilanadi. Bunda a — birinchi qo’shiluvchi, b — ikkinchi qo’shiluvchi, a + b esa yig’indi deb yuritiladi.
Qo’shish amali quyidagi xossalarga ega:
1°. Guruhlash (assotsiativlik) xossasi.
(∀a, b, c∈N)[(a + b+c) = a + (b + c)].
Bu xossani matematik induksiya metodi yordamida isbotlaylik.
Isbot. 1) c = 1 bo’lsin. U holda (a + b) + 1 = a + (b + 1) (ta’rifga asosan).
Demak, c = 1 uchun guruhlash xossasi o’rinli.
2)c = n uchun (a + b) + n = a + (b + n) o’rinli deb faraz qilaylik.
3) c = n + 1 uchun bu xossaning to’g’riligini isbotlaylik.
(a + b) + (n +1) = [(a + b) + n] + 1 =(ta’rifga asosan).
= [a + (b + n)] + 1 = (farazga asosan)
= a + [(b + n) + 1] = (ta’rifga asosan)
a = [b + (n + 1)] (ta’rifga asosan).
Demak, (a + b) + (n + 1) = a + [b + (n + 1)].
Peanoning 4-aksiomasiga asosan, (a + b) + c = a + (b + c)ekanligi kelib chiqadi.
2°. O’rin almashtirish (kommutativlik) xossasi.
(∀a, b∈N) (a + b = b + a).
Bu xossani ham matematik induksiya metodidan foydalangan holda isbotlaymiz.
Isbot. 1) a=1bo’lsa, 1 + b = b + 1bo’lishini isbotlaylik. b = 1 bo’lsa, 1 + 1 = 1 + 1 bo’ladi. Demak, b = 1 uchun 1 + b = b + 1 tenglik to’g’ri.
b = n uchun 1 + n = n + 1 to’g’ri deb faraz qilaylik. b = n + 1 uchun 1 + (n + 1) = (n + 1) + 1 to’g’riligini isbotlaymiz.
1 + (n + 1) = (1 + n) + 1 = (ta’rifga asosan)
= (n+1)+1(farazga asosan).
Demak, 1 + (n + 1) = (n + 1) + 1 bo’ladi.
Endi yuqoridagi xossa ∨a∈N uchun o’rinli ekanligini isbotlaylik.
a = 1 uchun o’rinli ekanligini ko’rdik. a = m uchun m + b = b + m deb faraz qilaylik.
a = m + 1 uchun (m + 1) + b= b+(m+ 1) ekanligini isbotlaylik. U holda(m + 1) + b = m + (1 + b) = m + (b + 1) = (l°-xossaga asosan)
= (m + b) + 1 =(ta’rifga asosan)
= (b + m) + 1 = b + (m + 1) (farazga asosan).
Demak, a + b = b + a(4-aksiomaga asosan).
Savol va topshiriqlar:
Natural sonlarni qo’shish ta’rifini ayting.
Natural sonlarni qo’shish xossalarini ayting va asoslang.
32 + 46 = (30 + 2) + (40 + 6) =(30 + 40) + (2 + 6) = 70+8 = 78 ning yechilishini tushuntiring.
Foydalaniladigan asosiy adabiyotlar ro‘yxati
Asosiy adabiyotlar
Xamedova N.A, Ibragimova Z, Tasetov T. Matеmatika. Darslik. T.: Turon-iqbol, 2007. 363b.(73-81 betlar)
Qo‘shimcha adabiyotlar
Abdullayeva B.S., Sadikova A.V., Muxitdinova M.N., Toshpo‘latova M.I., Raximova F. Matematika. TDPU. (Boshlang‘ich ta’lim va sport-tarbiyaviy ish bakalavriyat ta’lim yo‘nalishi talabalari uchun darslik) Toshkent-2012, 284 bet (143-148 betlar)
48-amaliy mashg`ulot. Nomanfiy butun sonlarni qo`shish amalining aksiomatik ta'riflari. Qo`shish qonunlari.
Reja:
1. Nomanfiy butun sonlarni qo`shish amalining aksiomatik ta'riflari.
2. Qo`shish amalining qonunlari.
3. Misollar yechish.
Qo‘shish aksiоmalari
1) Natural sоnlar to‘plamini qo‘shish aksiоmalari asоsida qurish.
N natural sоnlar to‘plami uchun aksiоmalar sistеmasini turli usullar bilan qurish mumkin. Asоsiy tushunchalar uchun sоnlar yig‘indisi yoki tartib munоsabati yoki bir sоn kеtidan bеvоsita ikkinchi sоn kеlish munоsabati kabilarni оlish yordamida tuzish mumkin. Harbir hоl uchun asоsiy tushunchalar хоssalarini ifоdalоvchi aksiоmalarni bеrish lоzim. Biz asоsiy tushuncha dеb qo‘shish amalini оlib aksiоmalar sistеmasini bеramiz. Agar bo‘sh bo‘lmagan N to‘plamda quyidagi хоssalarga ega qo‘shish dеb ataluvchi (a;b) a+b binary algеbraik amal aniqlangan bo‘lsa, N to‘plamga natural sоnlar to‘plami dеyiladi (bunda a+b sоnni a va b sоnlarning yig‘indisi dеymiz).
1) qo‘shish kоmmutativ, ya’ni a N va b N bo‘lsa, u hоlda a+b=b+a;
2) qo‘shish assоtsiativ; ya’ni a N, b N, c N bo‘lsa, u hоlda a+(b+c)=(a+b)+c;
3) iхtiyoriy ikki a va b natural sоnlari uchun a+b yig‘indi a sоnidan farqli a+b a;
4) N to‘plamning bo‘sh bo‘lmagan iхtiyoriy A to‘plam оstida shunday a sоni mavjudki, a sоnidan farqli barcha х A sоnini х=a+b shaklida yozish mumkin, bunda b N;
1– 4 aksiоmalar sistеmasi, natural sоnlar arifmеtikasini qurish uchun yеtarli.
№1. O‘rin almashtirish va gruppalash qonunlaridan foydalanib, ushbu sonlarning yig‘indisini toping:
1) 27+39+13+11 2) 38+94+12+16
3) 49+29+87+31+51+13 4) 18+39+27+12+23
5) 54+28+13+12+16 6)116+37+14+43
7) 357+89+43+111 8) 254+87+46+53
9) 1528+457+272+543 10) 244+97+25+156+103
№2. O‘rin almashtirish va gruppalash qonunlaridan foydalanib, quyidagi misollarni eng qulay yo‘l bilan yeching:
2608+529+392+271
1016+704+250+884+296
10556+8074+ 9444+926+1000
1720+863+280+137
1927+798+465+202+473+135
13075+931+1064+2069+10025+2036
№3. Quyidagi yig‘indilarini ikki usul bilan toping:
4098+(1765+7902)
7505+(12078+9067)
15713+(4987+3751+7399)
10087+(3445+5684+7889)
№4. Quyidagilarni qo‘shing:
1+1 1+0
270+1 1+1473+0+830
0+1 0+1+0+2+0
0+0+0 5386+0+714+0
1+102 7806+(0+894)
№5. 1) O‘rin almashtirish va gruppalash qonunlaridan foydalanib, 13+27+40 dan iborat yig‘indini turli usullar bilan (turli ko‘rinishlarda) yozing.
O‘rin almashtirish va gruppalash qonunlaridan foydalanib, a+b+c yig‘indisini turli usullar bilan yozing.
№6. Quyidagi misollarni yeching va nima uchun bunday natija chiqishini tushintirib bering:
(86+44)+ (86-44)
(86+44)- (86-44)
(86+20)+(86-20)
(86+20)-(86-20)
(100+44)+(100-44)
(100+44)-(100-44)
№7. O`rin almashtirish va gruppalash qonunlaridan foydalanib, ushbu sonlarning yig`indisini toping:
27+39+13+11 38+94+12+16
49+29+87+31+51+13 18+39+27+12+23
54+28+13+12+16 116+37+14+43
357+89+43+111 254+87+46+53
1 528+457+272+543 244+97+25+156+103
367+89+13+321 254+87+46+53
244+97+25+156+103
1-variant.
Aksiomatik yondoshuv asosida 4va5 ni taqqoslang.
Yig`indining aksiomatik ta’rifi asosida 4+5 ni son o`qida tushuntiring.
Yig`indining aksiomatik ta’rifi asosida 4 ga qo`shish jadvalini tuzing.
2-variant.
Aksiomatik yondoshuv asosida 6va5 ni taqqoslang.
Yig`indining aksiomatik ta’rifi asosida 6+5 ni son o`qida tushuntiring.
Yig`indining aksiomatik ta’rifi asosida 6 ga qo`shish jadvalini tuzing.
3-variant.
Aksiomatik yondoshuv asosida 4va7 ni taqqoslang.
Yig`indining aksiomatik ta’rifi asosida 7+4 ni son o`qida tushuntiring.
Yig`indining aksiomatik ta’rifi asosida 7 ga qo`shish jadvalini tuzing.
4-variant.
Aksiomatik yondoshuv asosida 8va5 ni taqqoslang.
Yig`indining aksiomatik ta’rifi asosida 8+5 ni son o`qida tushuntiring.
Yig`indining aksiomatik ta’rifi asosida 8 ga qo`shish jadvalini tuzing.
37-mavzu Nomanfiy butun sonlarni qo`shish amalining aksiomatik ta'rifi. Qo`shish qonunlari.
Do'stlaringiz bilan baham: |
