Ning Ikki o’zgaruvchili funksiyaning grafigi

Uzluksiz funksiyalar xossalari. To`plamda uzluksizlik. Nuqtada uzluksiz funksiyalar quyidagi xossalar bilan xarakterlаnadi:
1. f (M) va g(M) funksiyalar M₀ nuqtada uzluksiz bo`lsa, u holda M<sub>0</sub> nuqtada quyidagi funksiyalar ham uzluksiz bo`ladi:
a) f (M) + g(M); b) k f (M) (k – o`zgarmas); c) f (M) · g(M);
d) (g(M₀) ≠ 0).
2. Agar f (M) funksiya V to`plamda aniqlangan bo`lib, M₀ є V nuqtada uzluksiz va f (M₀) > 0 (f (M₀) < 0) bo`lsa, u holda M<sub>0</sub> nuqtaning shunday bir δ atrofi S<sub>δ</sub>(M<sub>0</sub>) mavjudki, barcha M є S<sub>δ</sub>(M<sub>0</sub>) ∩ V nuqtalar uchun f (M) > 0 (f (M) < 0) tengsizlik o`rinli bo`ladi.
To`plamning har bir nuqtasida uzluksiz funksiyaga to`plamda uzluksiz funksiya deyiladi.
To`plamda uzluksiz funksiyalar esa quyidagi xossalarga ega:
1. Agar f (M) funksiya ixcham (chegaralangan va yopiq) V to`plamda uzluksiz bo`lsa, u holda f (M) funksiya V to`plamda chegaralangandir.
2. Agar f (M) funksiya ixcham V to`plamda uzluksiz bo`lsa, u holda f (M) funksiya V to`plamda o`zining eng katta va eng kichik qiymatlariga erishadi. Bir o`zgaruvchili funksiya uchun yuqorida qayd qilingan xossalardan tashqari, qo`shimcha quyidagi xossa o`rinli:
3. Agar f (x) funksiya [a; b] kesmada uzluksiz va kesmaning chetki nuqtalarida turli ishorali qiymatlarga erishsa (f (a) · f (b) < 0), u holda (a; b) intervalga tegishli kamida bitta c nuqta topiladiki, f (c) = 0 tenglik bajariladi (1-rasm).

1-rasm.

II BOB. IKKI O’ZGARUVCHILI FUNKSIYA EKSTREMUMLARI VA UNING GRAFIGI

2.1. Ikki o’zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari va uning differensiallari

funksiya to’plamda aniqlangan va uzluksiz bo‘lib, , , va nuqtalar to‘plamga tegishli bolsin, bu yerda argumentlarning orttirmalari.
va
ayirmalarga funksiyaning nuqtadagi va o‘zgaruvchilar bo‘yicha xususiy orttirmalari deyiladi.
ayirmaga
funksiyaning nuqtadagi to‘liq orttirmasi deyiladi.
Misol. funksiyaning nuqtadagi xususiy va to‘liq orttirmalarini va lar uchun topamiz:






1-ta’rif. Agar nisbatining dagi limiti mavjud bo‘lsa, bu limitga funksiyaning nuqtadagi o‘zgaruvchi bo‘yicha xususiy hosilasi deyiladi va ko‘rinishlarda belgilanadi.
Demak,
.
funksiyaning nuqtadagi o‘zgaruvchi bo‘yicha xususiy hosilasi shu kabi ta’riflanadi:
.
( ) o‘zgaruvchi funksiyasining xususiy hosilalari ham funksiyaning xususiy hosilalari kabi ta’riflanadi va belgilanadi.
Misollar. 1. funksiyaning birinchi tartibli xususiy hosilalarini topamiz:


2. funksiyaning birinchi tartibli xususiy hosilalarini topamiz:

funksiya xususiy hosilalarining geometrik ma’nolarini aniqlaymiz.