Ni algebraik usulda hisoblash

Mavzu: sin18⁰ ni hisoblash
Reja
a) sin18⁰ ni algebraik usulda hisoblash
b) sin18⁰ ni geometrik usulda hisoblash
Biz matematiklar uchun trigonometrik funksiyalar doimo qiziq bo'lib kelgan. Siz o'quvchilar uchun bu mavzuni oson tushunib olishlaringiz uchun juda ko'p olimlar yillar davomida tinimsiz izlanishlar olib borganlar. Biz mavzumizning asosiy qismiga o'tishdan oldin quyidagilarni eslab o'tamiz. sin30⁰ cos30⁰ sin45⁰ cos45⁰sin60⁰cos60⁰ va hakazolarni hisoblasah haqida.

R

Ushbu rasmda radiusi R ga teng bo'lgan aylana berilgan bo'lsin. Uning radiusi OX o'qiga nisbatan 30⁰ ga ochilgan bo'lsin. Biz quyi sinflarda to'g'ri burchakli uchburchakda 30⁰li burchak qarshisidagi tomon gipotenuza yarmiga tengligini bilamiz. Demak bu uchburchakning gipotenuzasi R ga, 30⁰li burchak qarshisidagi tomon R/2 ga teng .

Burchak sinusining ta'rifiga ko'ra o'tkir burchak qarshisidagi katetning gipotenuzaga nisbati burchak sinusini beradi.
sin30⁰=(R/2):R=1/2. Endi sin45⁰ ni hisoblaymiz. Burchak 45⁰ga ochilgan bo'lsa, gipotenuza R ga katetlar esa teng bo'ladi.
Agar katetlarni X bilan belgilasak, Pifagor teoremasiga asosan

R²=X²+X² hosil bo'ladi.

R²=2X²
R= X

X= =

Yuqoridagi rasmda to'gri burchakli teng yonli uchburchak tasvirlangan. Unga ko'ra burchaklari 45⁰ , 45⁰ va 90^0..
Radiusi R va bu gipotenuzaga teng. Teoremaga ko'ra

sin45⁰= =

Shu tariqa sin60⁰ni ham hisoblab chiqamiz.

R R

Sin60⁰= =

Endi mavzumizning asosiy qismiga o'tamiz, undan oldin ba'zi bir trigonometrik formulalarni eslab o'tamiz.
sin =sin +cos
cos( )=cos cos -sin sin
sin3 =sin(2 =2sin (cos² -sin² sin
sin3 =2sin cos² +(1-2sin² )sin
sin3 =2sin (1-sin² )+sin - 2sin³
sin3 =2sin -2sin³ +sin -2sin³
sin3 =3sin -4sin³
Kosinuslar uchun ushbu formulani hisoblasak cos( )=cos cos -sin sin formuladan foydalangan holda
cos3 =cos(2 )=cos2 cos - sin2 sin
cos2 =cos² -sin² ni ham eslatib o'tamiz.
Shu formulalarga asosan cos3 =(cos² -sin² )cos - 2sin cos sin
Shundan cos3 =(cos² -(1-cos² ))cos - 2sin²cos ni hosil qilamiz
cos3 =(cos² -(1-cos² ))cos - 2(1-cos² cos
cos3 =(2cos² -1)cos - 2cos +2cos³
cos3 =2cos³ -cos - 2cos +2cos³
Demak cos3 =4cos³ - 3cos
Biz kerakli natijalarni keltirib oldik bular sin3 =3sin -4sin³ va cos3 =4cos³ - 3cos
Demak ishning asosiy qismiga ko'chamiz. sin1⁰=cos89⁰ va sin2⁰= cos88⁰ ....
sin36⁰=cos54⁰
sin2(18⁰)=cos3(18⁰)
2sin18⁰cos18⁰=4cos³18⁰-3cos18⁰ tenglikning ikikala qismini ham cos18⁰ ga bo'lamiz
2sin18⁰=4cos²18⁰-3 ga ega bo'lamiz va bu tenglikni 2sin18⁰=4(1-sin²18⁰)-3 ko'rinishida yozib olamiz.
Qavslarni ochib 2sin18⁰=4-4sin²18⁰ -3 ifodani soddalashtiramiz.
4sin²18⁰ +2sin18⁰-1=0 bu tenglikda sin18⁰=t deb belgilasak
4t²+2t-1=0 hosil bo'ladi. Bu tenglikni yechib ga ega bo'lamiz.
t= sinus birinchi chorakda musbat bo'lgani uchun
t= = Yuqorida biz sin18⁰ ni t bilan belgilab olgandik, demak natija sin1818⁰ ning qiymatidir.
Bundan sin18⁰= .

b) Biz algebraik usulda sin18⁰ ni hisobladik endi geometrik usulni qaraymiz. bu usul 9-sinf geometriya kursida mavjud lekin ko'pchillik bunga unchalik e'tibor bermaydi.

Qadimgi yunonlar “Oltin uchburchak” deb asosidagi burchaklari 72⁰ dan va uchidagi burchagi 36⁰ bo'lgan teng yonli uchburchakka aytishgan. Bu uchburchakning o'ziga xosligi agar uning 72⁰ga teng bo'lgan burchagidan asosiga bissiktrisasi yon tomonga tushirilsa uning ichida huddi o'ziga o'xshagan uchburchak hosil qiladi. Quyidagi rasmni qaraymiz: bizga yon tomonlari 1 ga asosi “a” ga teng bo'lgan uchburchak berilgan bo'lsin.

Bu holatda katta uchburchakning yon tomoni 1 ga asosi “a” ga, unga o'xshash uchburchakning tomoni “a” ga

asosi (1-a)ga teng bo'ladi. O'xshashlik ta'rifiga ko'ra
= ga ega bo'lamiz. Tenglikni hisoblab ² ga, bu tenglikni soddalshtirib ²+ ga ega bo'lamiz.
²+ bu tenglikni hisoblasak ga ega bo'lamiz.
Uchburchakning tomonlari faqat musbat son qabul qilishidan = . Demak bu uchburchak uchun topdik. Endi birinchi katta uchburchakka qaytamiz uning uchidagi burchagi 36⁰ edi undan asosga bissiktrisa tushursak uni 18⁰ ga teng ikkita burchakka ajratadi.

O'tkir burchak sinusi ta'rifidan foydalansak, bissiktrisa asosni 2ga bo'ldi va hosil bo'lishini hisobga olsak bunda yon tomon gipotenuza va u 1 ga teng 18⁰ qarshisidagi tomon va ning qiymati ekanidan .

Demak sin18⁰ = .
Bundan ma'lumki ikki usulda ham natija bir hil chiqmoqda sin18⁰ =