Nazariy mexanika fanidan yozgan

Yechish.
x-ni umumlashgan koordinata deb olamiz, ya’ni q=x Kinetik va potensial energiya , mos ravishda , ifodalari quyidagilar:
(2.4.16)
Endi kanonik tenglamalarni tuzamiz:
(2.4.17)
Masala shartiga asosan (Gamlton funksiyasi yangi koordinataga ega emas) (tashkil etib beruvchi funksiya (preobrazuyushaya funksiya) shakli quyidagicha bo’ladi:)
(2.4.18)
Bu hol uchun sistemaga doir Gamilton funksiyasi quyidagicha bo’ladi:
(2.4.19)
(2.4.20)
(2.4.21)
Bu qiymatni birinchi formula qo’yib , quyidagini yozamiz:

Yangi koordinata Gamilton funksiyasi H ga kirmagan shuning uchun siklik hisoblanadi. Qaralayotgan sistemamiz konservativ bo’lganligi uchun , H sistemaning to’la energiyasiga teng, ya’ni H=h.
Yangi impulis o’zgarmas miqdor bo’lib , siklik intyegral tarkibiga kiradi:
(2.4.22)
Yangi sistemaning kanonik tenglamasidan koordinatani
Aniqlaymiz.
(2.4.23)
Shunday qilib , harakat tenglamalarining kanonik ko’rinishi quyidagidan iborat bo’ladi:
(2.4.24)
Endi kanonik tenglamalar yechimini aniqlaymiz:
(2.4.25)


4-Misol.Gamilton-Yakobi tenglamasi yordamida M-massali nuqtaning birjinsli og’irlik kuchi maydonidagi harakatning trayektoriyasi va harakat qonuniyati vaqt funksiyasi sifatida topilsin.
Yechish.To’g’riburchakli koordinatalarni lagranj (umumlashgan) koordinatalarni sifatida qabul qilamiz.
(2.4.26)
H-funksiyada tezliklarda impulslarda bilan almashtirib hosil qilamiz:
(2.4.27)
x va y-sikllik koordinatalar,ya’ni
Gamilton funksiyasi H(q,p)=H(z,p) tarkibida t vaqt yo’q. ko’rinishdagi Gamilton-Yakobi tenglamasini tuzamiz.Quydagi almashtirishni kiritamiz:
(2.4.28)
bu holda hosil bo’ladi:
(2.4.29)
(*)dan hosil qilamiz:
(2.4.30)
H(z,p) tarkibida x,y-siklik koordinatalar mavjud emas bu (2.4.30 )ni integrallash uchun o’zgaruvchilarni ajratish lozim.
deb olamiz
(2.4.31)
(2.4.32)dan
(2.4.33)
Shunday qilib,Gomilton-Yakobi tenglamasining to’la integralidagi W funksiya quydagi shaklda bo’ladi:
(2.4.34)
Endi umumiy integralni tuzamiz:
-kinetik integral va bu yerda
-geometrik integral.
- oraliqdagi integrallar.Geometrik integrallarini oshkor ko’rinishda yozish mumkin:
(2.4.35)
bu tenglamalar silindrik sirt tenglamalarini aks ettiradilar va ularni kesishish chizig’i nuqta trayektoriyasida iborat bo’ladi.Natijada hosil bo’ladi:
,ya’ni trayektoriya OZ orqali o’tadigan vertikal tekislikda joylashgan.
Kinematik integraldan harakat qonuniyatini hosil qilish mumkin:
(2.4.36)
ya’ni birjinsli og’irlik kuchi maydonida nuqta harakati Z koordinatasi ga nisbatan proporsional ravishda o’zgaradi. –ixtioriy o’zgarmaslar boshlang’ich shartlar yordamida,ya’ni nuqta uch koordinatasi va tezligining uch proyeksiyasini berilishi bilan aniqlanadi.