Nazariy fizika kursi

7Р .Х .М ал л ин  М айдон  назариясн,  Т .:- У
1
р
1
тувчи ,  19G3.
8Yozishni  soddalashtirish  m aqsadida  takrorlanuvchi  -  s  о  q  о  v  indekslar  ishtirok 
rlgam la  yig‘ indi  belgisini  yozinaymiz,  lekin  ular  bo'yicha  yig‘ indi  olinadi.
31

---

formula  b o'y ich a   almashtirilsa,  shu  N   ta  kattaliklar  t o ‘plami  kovari­
ant  vektor  deyiladi,  kattaliklarning  o ‘zi  esa  uning  komponentalari  deb 
ataladi. 
N   o ich o v li  fazoda  aniqlangan  skalyar  funksiyaning  xususiy 
hosilalarining to ‘plami  а,-  =   d
  (skalyar funksiyaning gradienti)  ko- 
variant  vektorga  misol  bo'ladi.  Tegishli  almashtirishni  bajarib,  bunga 
ishonch  hosil  qilamiz:
'  _   ®x% 
_   Ox’  d p   _   dtp  j 
dtp 
1 
d x'i  J 
d x'i  d x i 
d x ,J  J 
dx'i
A gar  { z 1,  x 2,  • • •. x N }  sistemasida  N   ta  { a 1,  a2,  •
  • •, a N}   kattalik­
lar  berilgan  b o ‘lsin,  koordinatalarni  (1-43)  formula  b o ‘yieha  almashti- 
rilganda  bu  kattaliklar  { a n ,  a'2,  • • •, a'N }  kattaliklarga
d x f *
a ' l  =   — ^a>  =   \ 1^  
(1.47)
dxJ 
3 
v 
’
formula b o ‘yicha  almashtirilsa, shu  N   ta kattaliklar t o ‘plami  kontravari- 
ant  vektor  deyiladi,  kattaliklarning  o ‘zi  esa  uning  komponentalari  deb 
ataladi.  (1.44)  va  (1.47)  dan  ko‘ramizki,  koordinatalarning  differensial- 
lari  qanday  almashtirish  qonuniga  b o ‘ysunsa,  kontravariant  vektorning 
kom ponentalari  ham  o ‘sha  almashtirish  qonuniga  bo'ysunadi.  Demak, 
koordinatalarning  differensiallari  kontravariant  vektor  b o ia r   ekan.  X u ­
susiy  holda  sistema  koordinatalarini  almashtirish  formulalari  chiziqli 
b o ‘lganda  koordinatalar  t o ‘plami  ularning  differensiallarining  t o ;plami 
kabi  kontravariant  vektorni  tashkil  qiladi.
Kovariant  va  kontravariant  vektorlarni  bir  -   biridan  indekslarni 
yozish  usuli  bilan farqlaymiz.  Kovariant  vektor  indekslari  o ‘ng yonining 
pastiga  yoziladi  (masalan  au  bi  va  hokazo),  kontravariant  vektor  indek­
slari  esa  o ‘ng yonining tepasiga yoziladi  (masalan  a?,  bl  va hokazo).  Uch 
o ic h o v li  (Evklid)  fazoda  dekart  koordinatalari  sistemasida  kontravari­
ant  va  kovariant  vektorlar  orasida  farq  y o ;q.
Agar  { c t,  x ,  y.  z }  kattaliklarni  t o ‘rt  o ich o v li  sistemada  nuqtaning 
(dunyo  nuqtasi)  koordinatalari  deb  qarasak,  ularning to'plam i  yuqorida 
vektorlarga  berilgan  ta'riflarga  asosan  (Lorentz  almashtirishlari  chiziqli 
b o iga n lig i  uchun)  kontravariant  vektor  b o ia d i.  Uning  kom ponentala- 
rini
G 
1 
2 
Я
X  
=   ct, 
X  
=  
X ,  
X  
=   у. 
X
 
—  
2
k oi'inishda  belgilanadi. 
Bu  kattaliklar  t o :plami  4-radius-vektor  deb 
ataladi.  K oordinata  boshida  va  (x °,  x 1,  x 2,  x 3)  dunyo  nuqtasida  sodir
32

---

b oiga n   ikki  voqea  orasidagi  interval
(x 1) 2  =   (x 0) 2  -   ( x 1) 2  -   ( x 2) 2  -   (x 3) 2
(1.48)
invariant  b o iib ,  t o ;rt  o ich o v li  koordinatalar sistemasining ixtiyoriy chi- 
/.i(|li 
burishlarida,  xususan  Lorentz  almashtirishlarida,  o'zgarm aydi.
Berilgan  t o ‘rtta  kattalik  (Л 0,  A 1,  A 2.  A 3)  koordinatalar  sistemasi 
almashtirilganda  4-radius-vektor  kabi  almashtirilsa,  bu  kattaliklar  t o ‘p- 
lami  t o ‘rt  o ic h o v li  kontravariant  vektor  yoki  qisqacha  kontravariant  4- 
vektor  deyiladi.  Kattaliklar  esa  uning  kom ponentalarini  tashkil  qiladi 
va  ular  uchun  Lorentz  almashtirishlari  quyidagi  k o ‘rinishda  yoziladi:
Bu  qoida  b o ‘yicha  almashinadigan  vektor  -  Lorentz  almashtirishlariga 
nisbatan  vektordir.  4-vektorning  kvadrati  (1-48)  singari  quyidagicha 
aniqlanadi:
{ A 1. A 2, A 3}   4-vektorning  fazoviy  (ucli  o ic h o v li)  kom ponentalari  deyi­
ladi  va  uch  o ich o v li  fazoda  koordinata  o ‘qlarini  burishga.  nisbatan  3- 
vektordir.  A 0  esa  vaqt  kom ponentasi  b o i ib ,  yuqoridagi  burishlarga nis­
batan  3-skalyardir.  Shu  m a’noda  4-vektorni  (Л 0,  A )   k o:rinishda  yozish 
mumkin.
Kontravariant  vektor  bilan  bir  qatorda  kom ponentalari  4-skalyar
(1.50)  ning  hosilalari  (A j  —  d (A l ) 2/dA>)  bilan  aniqlangan  kovariant 
vektor  kiritamiz.  Bu  vektorning  kom ponentalari  kontravariant  vektor- 
niug  kom ponentalari  bilan  quyidagicha  b og ia n ga n :
llu  kattalik  interval  singari  musbat  (vaqtsim on),  m anfiy  (fazosim on)  va 
nolga  teng  (yorugiiksim on )  b o iis h i  mumkin.
Shuning  uchun  (1.48)  ni  4-radius-vektor  kvadratining  ta ’rifi  deb  qabil 
<|ilingan.
A 2  =   A '2. 
A 3  =   A 13.
(1.49)
( A 1) 2  =   (Л 0) 2  -   ( A 1) 2  -   ( A 2)2  -   (A 3) 2. 
(1.50)
A 0  =   A ° , 
A i  =   - A 1, 
A 2  =   - A 2, 
A :i  =   - A 3.
(1.51)
I iu  belgilashlarda  4-vektorning  kvadrati
A iA i  =   A ° A
q
  +   A 1 Ay  +   A 2A2  +   A 3A 3.
(1.52)