Nazariy fizika kursi

2.2 
Erkin  m od d iy  nuqtaning 
energiya  va  im pulsi
M a’lumki,  Lagranj  funksiyasidan  tezlik  kom ponentalari  b o ‘yicha 
olingan  hosila  im pulsning  mos  kom ponentalariga  teng  bodadi. 
Shu 
qoidaga  ko‘ra  (2 .8)  dan  tegishli  hosilalarni  olib,  relyativistik  zarracha- 
ning  impulsini  topam iz:
m vx 
m vv 
mvy 
. 
x
V , =  
<-----—, 
P»  =   - 7= = .  
№  =   - 7= = -  
(2  9)
A 7 ?  
n
A3 ?
43

---

yoki  vektor  ko'rinishida
m v
(2.10)
№
Lagranj  funksiyasi  (2.8)  va impuls ifodasidan foydalanib erkin  m od ­
diy  nuqtaning  energiyasini  aniqlaymiz:
„  
_ 
rnv2 
n 
v 2 
m e2 
£   =   p v   -   С  —  —j = ........+  т с  \  1 ------- -   =   —= = = .  
(2.11)
v 
c2
Bu  munosabat  juda  muhim  b o'lib ,  relyativistik  zarrachaning  tezligi 
nolga  teng  bo'lgan da  ham  uning  energiyasi  noldan  farqli  va  musbat 
bo'lishini  ko'rsatadi,  y a ’ni
£0  =   rnc2. 
( 2.12)
Bu  kattalik  zarrachaning  tinch  holatdagi  energiyasi  deyiladi  va  fun­
damental  m a’noga  ega.  Demak,  (2.11)  zarrachaning  tinch  holatdagi 
va  harakat  bilan  b og 'liq   bo'lgan  kinetik  energiyalaridan  tashkil  topgan 
ekan.
Sistemaning harakat  qonunlarini  o'rganishda  Lagranj  funksiyasi  bi­
lan  bir qatorda  G am ilton  funksiyasidan ham  foydalaniladi.  Konservativ 
sistemalar  uchun  Gam ilton  funksiyasi  energiyaga  teng.  O datda,  Gamil­
ton  funksiyasi  impuls  orqali  yoziladi.  Shuning  uchun  (2.9)  yoki  (2.10) 
ifodalardan  tezlikni  impuls  orqali  ifodalaym iz:
i’2 = —
r.  
(2.13)
m 2c 2  +  p 2
Bu  ifodani  (2.11)  ga  q o'y ib   Gam ilton  funksiyasi  uchun  quyidagi  ifodani 
topam iz:
'H  =   \Jp2c 2  +   m 2c4. 
(2.14)
Zarrachaning  tezligi  yorug'lik tezligidan ju d a kichik b o'lga n d a   (2.10)  va 
( 2 .11)  klassik  mexanikadagi  impuls  va  energiya  ifodasiga  o'tishi  kerak. 
H aqiqatan  ham  с  —>  oc  da bu  ifodalar  quyidagi  ko'rinishni  qabul  qiladi:
p   =   m v
, 
(
2
.
1 5
)
9 
m v 2
£   =   rnc  -I-----— . 
(2.16)
44

---

Bu  yerda  (2.15)  klassik  zarrachaning  im pulsiga  teng,  (2.16)  esa  klassik 
zarrachaning  kinetik  energiyasidan  m e 2  bilan  farq  qiladi.  Bu  yana  bir 
m arta  relyativistik  zarrachaning  energiyasi  ikki  qismdan  iborat  ekanli­
gini  k o‘rsatadi.
Shu  vaqtgacha  bitta  zarrachani  k o:rish  bilan  chegaralanib  keldik. 
A m m o  uning elementarligi  (ichki tuzilishi)  to ‘g'risida gapirganirniz y o ‘q. 
Sim  sababli  yuqoridagi  barcha  gaplar  zarrachalar  sistemasi  uchun  ham 
o ‘rinli b o ia d i.  Faqat bu holda  tezlik zarrachalar sistemasining bir butun 
harakat  tezligi  va  massasi  esa  t o iiq   massaga  teng  deb  olishiiniz  kerak. 
Nisbiylik  nazariyasida  erkin  jism   energiyasi,  klassik  fizikadagidan  farqli 
ravishda aniq qiym atga ega va musbat  b o ia d i.  Klassik fizikada energiya 
uchun  hisob  boshi  ixtiyoriy  b o ig a n lig i  sababli  u  musbat  yoki  manfiy 
b o iish i  mumkin  edi.
Relyativistik  erkin  zarracha  impulsi  va  energiyasi  orasidagi  b o g ia ­
nishni  (2.10)--(2.11)  ifodalarga  asosan  quyidagi  ko‘rinishda  yoziladi:
£ v
 
P  =   - j - .  
(2.17)
Zarrachaning  tezligi  v  —>  a  da  (2.10)-(2.11)  ga  asosan  uning  impulsi  va 
energiyasi  cheksizga  intiladi.  A m m o  (2.17)  b og ia n ish   bu  holda  ham 
m a’noga  ega  b o ia d i.  Masalan,  y o ru g iik   tezligi  bilan  harakatlanuvchi 
massasi  nolga  teng  b o ig a n   zarrachalar  (foton )  uchun  (2.17)  quyidagi 
koi'inishga  o ‘ tadi:
p = ~ .  
(2.18) 
С
Massasi  noldan  farqli  b o ig a n   jism   y o ru g iik   tezligiga  ju da  yaqin  tez­
lik  bilan  harakatlanayotgan  ( ultrarelyativistik)  zarrachalar  uchun  ham 
(2.18)  taqriban  t o ‘g ‘ri  b o ia d i.  Chunki,  bu  holda  uning  tinch  holatdagi 
energiyasi  harakat  bilan  b o g iiq  b o ig a n   energiyadan ju d a  kichik  b o ia d i.
Variatsion  prinsip  orqali  zarrachaning  energiya  va  impulsini  to ‘rt 
o ich o v li  koi'inishda  aniqlaymiz.  Buning  uchun  ta ’sir  integrali  (2.7)  ni
variatsiyalashda  ds  —  \/~dxi  dxj. 
S(ds)  =   —
8 (d x')  hisobga  olamiz:
as
b 
b 
b 
SS 
=   - m e  
J   -~^-8(dxl) 
— 
—7ue J  — ~~d(Sxl) 
=  
~ m   j   uLS(dxl).
a 
a 
a
(2.19)
45

---

Bu  yerda  щ  4-tezlik.  (2.19)  ni  b o ‘laklab  integrallaymiz:
b
6S  —  —гпщ бх1 
+   rn
b
J
dui
5x'  ds  =   0 .
(2.20)
a
ds
a
Eng  qisqa  ta ’sir  prinsipiga  asosan  zarraning  boshlang'ich  va  oxirgi  nuq- 
talardagi holati  o'zgarm as bo'lgan   (fix1 (a )  —  5x*(b)  —  0)  trayektoriyalar 
solishtiriladi.  Bunga asosan  (2.20)  dagi birinchi had nolga teng.  Demak, 
variatsiya  nolga  teng  bo'lishi  uchun
Bundan erkin  zarrachaning tezligi to'rt  o'lchovli ko'rinishda ham o'zgar­
mas  ekanligi  kelib  chiqdi.  (2.21)  erkin  zarrachaning  harakat  tenglam a- 
sining  to'rt  o'lchovli  ko'rinishini  beradi.
da masalan,  yuqori chegarada 6 x l  nolga teng emas deb olamiz.  Bu holda 
ta ’sir  integralining  variatsiyasi  nolga  teng  bo'lm asdan  koordinataning 
funksiyasi  b o 'lib   qoladi:
Bu yerda yuqori  chegara  o'zgaruvchi  bo'lganligi  uchun,  natija  b nuqtaga 
tegishli  ekanligini  yozish  shart  emas.
Ta’sir  integrali  singari  uning  variatsiyasi  ham  invariant  -  skalyar 
kattalik  bo'lganligi  uchun  (2.22)  ifodaning  o'n g   tom oni  ham  skalyar 
bo'lishi  kerak,  ya’ni  ikki  4-vektorning  skalyar  ko'paytm asiga  teng  b o 'li­
shi  kerak.  d x1  4-vektor  bo'lganligi  uchun
ham  to'rt  o'lchovli  vektor  bo'ladi. 
(1 .5 9 ) - ( l.62)  va  (2.11)  ifodalarni 
inobatga  olsak,  bu  vektorning  vaqt  komponentasi  energiyani  yorug'lik 
tezligiga  nisbatiga.  qolgan  uchtasi  esa  uch  o'lchovli  impulsga  teng  ekan­
ligini  aniqlaymiz.  pl  kontravariant  4-impuls  deyiladi:
(
2
.
21
)
Energiya  va  impulsni  to'rt  o'lchovli  ko'rinishda  yozish  uchun  (2.20)
\b
6S  =   — т щ 5 х * 
=   —т щ 6 х г.
(
2
.
22
)
pl  =   m u 1
(2.23)
(2.24)
46

---

Shunday  qilib,  relyativistik  mexanikada  zarrachaning  energiyasi  va 
impulsi  bitta  4-vektorning  komponentalari  ekan. 
T o ‘rt  o'lchovli  ta- 
zoda  aniqlangan  har  qanday  4-vektor  uchun  yozilgan  (1.49)  Lorentz 
almashtirishlariga  asosan  energiya  va  impuls  uchun  almashtirish  for- 
mulalarini  yozamiz:
£'  +   Vp'x 
_ Р ' х   +   \
_  
/ 
_  
/
- J i - t P '  
p’ ~  
PU~ P 'J’ 
p
£
Erkin  zarracha  4-iinpulsining  kvadrati  p'pi  =   -5   —  p 2  =   m 2c2  invariant
с
kattalikdir.
Kuchning  oddiy  ta ’rifiga  o ‘xshash  4-kuch  vektorini  kiritamiz:
Г   =   M -   =   m —
  =   m w\ 
(2.26)
dr 
dr
Bu  yerda  w l  4 -tezlanish  vektori. 
(1.65)  -  (1.68)  form ulalardan  foy­
dalanib  4-kuch  vektorining  komponentalarini  yozamiz:
=
 
— 7
=
- f   =   ” 7 = = f   - 
(2-27)
F l 
=  
= - j £ i =   , 
(2.28)
T *
 
=  
=   - 7 = 5 =   . 
(2-29)
F 3 
=  
- 1-------- j g i   =  
. 
(2.30)
Bu  vektorning  vaqt  kom ponentasi  (2.27)  kuchning  bajargan  ishi  bilan 
bog'liq.  F   =   d p / d t  odd iy  uch  o'lchovli  kuch.  4-kuchning  kom ponen­
talarini  birlashtirib  yozish  mimkin:
Я =   f  
(2.31)
K uch  masalasi  ustida  yana  to'xtalib  o'tam iz.  Relyativistik  impuls 
ifodasi  (2.10)  tezlikning  m oduliga  va  yo'nalishiga  b o g 'liq   bo'lganligi
47

---

uchun  kuch  ham  ikki  qismdan  iborat  b o ia d i.  Tezlik  faqat  y o cnalishi 
b o ‘yicha  o :zgaradi  deb  faraz  qilamiz.  Bu  holda  kuch
dp 
m 
dv
(2.32)
Tezlikning  faqat  kattaligi  o'zgarayotgan  b o isa .  kuch
d/n 
m 
dv
m 
dv
(2.33)
dt 
з  dt
з  d t '
Agar  tezlikning  ham  y o ‘nalishi,  ham  kattaligi  vaqtga  b o g iiq   b o is a . 
kuch  quyidagicha  aniqlanadi:
Bu  yerda  (2.11)  va  (2.27)  ifodalarni  inobatga  oldik.  (2.34)  ifodadan 
foydalanib  klassik  m a'nodagi  tczlanish  a = d v / d t   ni  kuch  orqali  ifo- 
dalasli  mumkin:
Shu  vaqtga  qadar  bitta  zarracha  masalasini  k o ;rib  chiqish  bilan 
cheklandik. 
0 ‘zaro  ta ’sirlashuvchi  elementar  zarrachalardan  tashkil 
topgan  relyativistik  sistema uchun  mexanika  qonunlarini  o ig a n ish  juda 
murakkabdir.  A m m o,  b a ’zi  sodda  hollarda  zarrachalar  sistemasi  uchun 
bir  qator  umumiy  qonunlarni  aniqlash  mumkin.
/
d 
inv
m  
dv 
v  d 
m e2
+
771
 
dv 
v  d£
a  =
dv 
1
dt 
rri
(2.35)
A gar  v  с.  b o is a ,  / ,   =   f 2  —  F  =   dp/dt.  a  =   F/m .