Nazariy fizika kursi

p
 =   0 va  tok zichligi 
j
 =   0 
bo‘ganligi  uchun  (4.1).  (4.2),  (4.40)  va  (4.41)  Maksvell-Lorentz  tengla­
malari  quyidagi  ko'rinishni  oladi:
_  
1 
O H  
.
 
.
rot 
E   =
--- —   , 
(7.1)
с  at
div 
H   =
  0  , 
(7.2)
rot 
H
  =  
, 
(7.3)
с 
ot
div 
E   =
  0 .  
(7.4)
Bu  tenglam alarning  notrivial  (noldan  farqli)  yechimi  bizni  qiziqtiradi. 
Agar bunday maydon inavjud  bo‘lsa,  u  qanday xossalarga ega  bo'ladi? 
V akuum da elektromagnit maydon o'zgarmas deb faraz qilamiz, ya’ni
u  vaqtda  (7.1)-(7.4)  tenglam alardan  ko'ramizki
rot 
E  =
  0, 
div 
E  =
  0. 
rot 
H  =
  0, 
div 
H  =
  0
bo'ladi.  M a ’lum ki,  birorta  vertor  m aydonning  rotori  va  divergensiyasi 
nolga teng bo'lsa,  u aynan nolga teng bo'ladi.  Demak, 
E  =
  0 va 
H  =
 0. 
Shunday  qilib,  vakuum da  vaqtga  bog'liq  bo'lm agan  maydon  inavjud 
bo'linas ekan.  V akuum da elektromagnit maydon  inavjud bo'lishi uchun 
u  albatta vaqtga bog'liq  bo'lishi  kerak.
Elektr  va  m agnit  maydon  kuchlanganliklari  uchun  o'zaro  bog'liq 
bo'lm agan  tenglamalarni  hosil  qilamiz.  B uning  uchun  (7.1)  tenglama­
ning  har  ikkala  tomoniga  rotor  operatori  bilan  ta ’sir  qilam iz  va  (7.3)
143

---

tenglamadan  foydalanib  quyidagini  hosil  qilamiz:
i 
f j
< 7 - 5 >
X u d d i  shu yo‘l  bilan 
E
 ushun  quyidagi  tenglamani  yozamiz:
=  
( M )
B u   tenglamalar bizga  m a ’lum   b o ig a n   to iq in   tenglamalardir.
Zaryad  va tok  zichligi  nolga tengligini  inobatga  olsak,  potensiallar 
uchun  olingan  (4.67)  va  (4.68)  Dalamber  tenglamalari  quyidagi  ko'ri- 
nishni  oladi:
Д 
А
-
! ^
  =   0. 
(7.7,
=  ° 
<7-8> 
B u yerda  potensiallar Lorenz sharti  (4.68)  ni  qanoatlantiradi,  ya’ni
d iv A  + - T r   =   0. 
(7.9)
с  at
Shunday  qilib,  vakuum da  elektromagnit  maydon  kuchlanganlik- 
lari  va  potensiallar  to iq in   tenglama  bilan  aniqlanishini  topdik.  Bu 
tenglamalarning  yechimlari  to iq in d a n   iborat  b o ig an lig i  uchun  vaku­
u m da  elektromagnit  maydon  ham   to iq in d a n  iborat  b o ia d i.
Agar 
E,
 
if, 
A
  vektorlarning  dekart  koordinata  o'qlariga  tashkil 
etuvchilaridan ixtiyoriy  birini yoki  skalyar potensial  tp ni  /   bilan  bclgi- 
lasak, ular uchun to iq in  tenglamani um um iy korinishda yozish m umkin:
1  d 2f
A f ~ s w   =
 °- 
<7 1 0 >
144

---

7.2  Yassi  elektromagnit  to ‘lqinlar
U m um iylikga putir yetkazmagan holda masalani soddalashtiramiz, 
ya’ni  elektromagnit  maydon  kattaliklari  faqat, 
x
  va 
t,
  vaqtga  bog‘liq 
bo‘lsin  deb  olamiz. 
Bu  holda  to'lqin  tenglama  quyidagi  ko'rinishni 
oladi:
<92/  
1 
d f  
d ^ ~ ^ d t
2 - 0 ' 
(7Л1) 
Bu  tenglam a “M atem atik  fizika  tenglamalari”  kursidan  m a ’lum   bo'lib. 
xususan torda to'lqin tarqalishini aniqlaydi.  To'lqin tenglam aning bun­
day  xossaga  ega  yechimini  um um iy  ko'rinishini  quyidagi  ko'rinishda 
yozish  m umkin: