Nazariy fizika kursi

lansa


00
1
= arccos -
a
mv^p
2 a
m v ~ r
1
+
a
>n vZ p
(3.8 0)
ek an ligi topiladi (/* 
u ch u n ( 3 .3 8 ) form ulan i bu pun ktda q o'lla n ilg a n
terminlarda yozib olish kerak). Bu yerdan p  ni topish qiyin em as (ikkinchi
tenglikka o'tishda (3.73) dan foydalandik):
P' =
i
v
a
v 
/
tg~

K esim (3.5 2) b o ‘yicha topiladi:
(3.81)
d a = к
a
л2 cos
v"lU" У
. 
,0
Sin “Г
2
d e .
(3 .8 2)
Bu formulani fazoviy burchak tilida ham ifodalab olaylik:
72

---

d a  =
^ 
V 
i
a
an
2mvz
. 4 в  
(3.83)
sm -
Olingan formula 
Rezerford formulasi
deyiladi.
3 . 5 .5 - m i s o l . Cheksizlikda tezligi и bo'igan elektron q o 'zg 'o lm a sd a n
turgan ikkinchi elektronga p  nishon masofasi bilan tushdi. Ikkala elektron-
ning to'qnashishdan keyingi tezliklarini toping.
(3.71) va (3.72) formulalar bo'yicha m ~  w , = m holda
в 
0
u = cos — I». ib = s in — и 
(3.8 4)
' 
2 ' ' 
2
bo'Iadi. (3.68) bo'yicha esa
2
 
2
ga ega bo'linadi. K o ’rinib turibdiki, zarrachalar orasidagi uchib ketish bur­
chagi (/-sistemada) 
л/2
ga teng.
Burchak 0it bilan masalaning parametrlari (3.81) formula orqali bog'-
linadi:
, 6>n 
4 E 2 p 2
c t g ^ = ----- f -
(3.85)
2 
a~
/-sistemadagi burchaklar uchun esa quyidagilarni topish qiyin emas:
(3-86)
2 E p
To'qnashishdan keyingi tezliklar quyidagicha aniqlanadi:
2E p v
, 
a v
U, --?=========, 
и
7
- - р = = = = = = .
(3
87)
yja + 4 E 2p 2 
y j a 2 + 4F.2p 2
Agar E[ = m v '2l2 
va 
E2 = m v 22/2 larni hisoblab ularning yig'indisini
olinsa bo'lishi kerak bo'igan munosabat topiladi:
me2
-i T 
rj2 ~
E[ + E'2 = —
 = E .  
(3.88)
3.5 .6 - m is o l. 
U = - ^ , [ ) > 0  m aydon da sochilish kesimini toping.
r
73

---

Berilgan potensialni yana (3.50) formulaga qo'yiiadi va natijada quyidagi
topiladi:
_ л
p
_ n - 6
2 l p 2 + ~ ^
2 
(3.89)
(3.90)
mK.
p  ni (9 orqali ifodalab, differensial kesim darhol topiladi:
, 
P 
6 -
k
d a - Ал- - Ч г —------------ d6.
nivz, в~ (в - 2 л )
3 .5 .7 - m is o l. 
U -
> 0 maydonda markazga tushish kesim.ini toping.
Г
Markazga tushish uchun (3.34) shart bajarilishi kerak. Bizning holim izda
« 
. • 
a
,m ~ 
’
P > 
, 
y o k i ,
P > ——- p -
2m 
2
bo'lishi kerak. Boshlang'ich 
tezligi berilgan bo'lganda nishon masofasi
2P
P та \
. I
>
dan oshmagan zarrachagina markazga tushishi mum kin. Markazga tushish
to'liq kesimi
2 
27Г
p
я - к Р п ш х - — г
(3.91)
m vrri 
'
ga teng bo'ldi. Shu yerda kesimning m a ’nosiga yana bir qaytaylik: markaz
atrofidagi p mjx radiusli yuzani nishonga ololgan zarracha markazga tushadi,
shu yuzali m aydon ch aga tushmagam zarracha markazga tushmaydi.
3 . 5 .8 - m i s o l . Radiusi R va nassasi M  bo'lgan s h a m in g ustiga massasi
w « M bo'lgan va shu jism bilan N y u t o n qonu ni b o 'y ic h a o 'z a r o t a ’sir
qiladigan zarrachaning tushish kesimini toping.
Ikkala jism orasidagi potensial
GMm
r
k o'rin ish ga ega. Ik kin ch i jism b irin chi jism n in g ustiga s h u n d a tushgan
bo'ladiki, qachonki rmjit < R bo'lsa, bu yerda rmjn ~  kichik zarracha trayek-
toriyasi va katta jism nin g markazi orasidagi minimal masofa. rmin ni topish
sharti o'sha eskicha: E = Uelf(rmJ .  Bu yerdan topilgan rmm ni R ga tenglash-
tirishi kerak, 
p  
ni beradi:
7 ~ max
74

---

г 
—
R = 
—
m i n
GM
1
VI
- + p ;
p
2
r max
„2 
2 RGM
R + ----- J— • 
(3.92)
Shu bilan R radiusli tortish maydon i bor sh am ing ustiga tushish effektiv
kesimi
1
+
IGM
R v i
(3.93)
bo'lib chiqdi. 3.10-rasmda bu formulaga illustratsiya kelti-
rilgan — R — radiusli massiv sharga tushish effektiv kesimi
shar kesimidan bir oz kattadir.
M a s a l a n , Y er sh ari u c h u n 2 G M e /R@
1,25-10 ,
Qu yosh u ch un 2 G M rJR0 -  3,8 -10 . Agar 
sifatida
q u yid agi t e z lik n i o lin s a
= lOkm/sek = 1 ■
10f’cm/sek ,
Quyoshga tushish effektiv kesimi Quyosh kesimidan 38%
katta b o Lladi. Yer shariga tushish effektiv kesimi esa Yer
sh arin in g k e sim id a n b o r - y o ‘g ‘i 1,25 10 
ga katta
bo'ladi.
3 . 5 . 9 - m i s o l .
„
a
13
i j(r) = - - ± L .
r 
г
maydonning markaziga tushish effektiv kesimini toping.
a , [ i >  0 holdan boshlaylik. Effektiv potensialni topaylik:
3.10- rasm.
Radiusli sharga
tushish effektiv
kesim i.
(3.94)
Ud l (r) = - -
r
13
| mt>~ p~
a
r
1 3 - E p 2
Agar [3 > E p 2 bo'lsa, effektiv potensialning grafigi r0 =
2 ( { 3 - E p 2
a
(3.95)
nuqtada
4 Ц З - Е р 1) 
( 1 % )
Markazga tushish uchun zarrachaning energiyasi shu maksimal qiymatdan
katta bo'lishi kerak:
musbat maksimumga ega bo'ladi (3 .1 1 -a rasmga qarang):
->
c r
75

---

Е > ■
а
4 ( / 3 -
Е р
2 )
Bundan nishon m asofasining maksimal qiymatin i topish mumkin:
c r
2
_ P
P"„, 
- 
4 E ,
Aks holda zarracha m aydon markaziga yaqinlasha olmaydi. Effektiv kesimni
topdik:
p
o r
(3.97)
E 
4 E ‘
\
Kesirn o 'z in in g ta'rifi bo'yicha musbat son bo'lishi kerak. Buning uchun
■
)
cx~
E > ■
4
P
(3.98)
bo'lishi kerak. Bu shart bajarilmasa a =  0 bo'ladi.
Agar a  >0. (1 <0 bo'lsa, effektiv potensial faqat itarish kuchiga olib
keladi — markazga tushish ro'y bera olm aydi ( 3 .1 2-b rasmga qarang).
0 
< {j < E p 2 bo'lib a  <0 bo'lsa. markazga tushish ro'y bera olm aydi — bu
holda effektiv potensial rf) nuqtada m in im u m ga ega (bu holga 3.4-rasm mos
keladi). Agar 0 (5 > E p 2, a  < 0 bo'lsa ixtyoriy energiyali zarracha markazga
tushadi (3.1 1-rasm ga qarang).
b)
r
d)
J. 12- rasm. (3.94)-potensialga oid.
3-bobga mashq va savollar
1. 
Q u y id a g i L agran j f u n k s i y a l i sis te m a l a r uchun to ‘xtash n u qta la rin i
toping;
a) 
L = x 2 - ~ ,  
jc(0)=1. 
i ( 0 ) = V8;
. 
-> 
1
X~ —
ДГ + X
b
) 
L=z
, 
.rfO) = 1, 
i : ( 0 ) = l ;
x
76

---

с) 
L =  — — h cos x. 
х(О) = 0, 
х(О) = -
d) 
L = x 1 — ex , 
*(0) = 0, 
i(O) = 2;
e )
Е = .г2 - 1 п а \
л '( 0 ) = 1. 
i ( 0 ) =
ln
f) 
£ = — mk~ + U ()e ' /",
x(Q) = 0, 
x(0) = Vn >
2 U n
g)
L =
mx
x(0) = 2, 
x(0) = - i = :
\lm
h) L = .v2 - l g 2x, 
л(0) = 0, 
i ( 0 ) = 2;
к i 
L = i mx2 + U (lch~2kx, 
£ = - E 0 < 0.
2. Quyidagi Lagranj funksiyalari va boshlang'ich shartlar herilganda bir
о jc h a m l i h a r a k a t tenglamalarini integraUang:
a) L = л-- -
, 
.Vi,
0) = 1, 
x(0) = 0:
Л'"
b) 
L = x 2 + e \  
.v(0) = 0. 
i ( 0 ) = 1;
c) L = -------x, 
x ( 0 ) = l .
.t(0) = l;
v
d) L = — nix' + a x 4 , a > 0, 
t = 
0
da E = 0.
?
J. Quyidagi potensiallar uchun markazga eng yaqin va eng uzoq nuqtatarni
toping:
/
1
\
a
a) U{ r ) = 
a > 0; 
b) 
:
.4 ’
r~ +-
d) U( r ) = - U r
(
Л ^
r‘
4. Quyidagi potensial m aydonla rdagi h a ra k a t integrallansin:
11

---

a )
U ( r ) =
-----
т =
1; 
b )
и =
'
2г
2
!
1
I 
1
, -
|, 
т =
1.
г~ 
г
5. Kulon ( Nyuton) m aydonida quyidagi saqlanuvchan kattaliklar borligi
k o 'rsatildi: energiya E, im puls m o m e n ti M v a 3 . 3 . 1 - m iso ld a kiritilgan A
vektori. Ular m u staqil e m as b a lki u lar orasida qu yidagi ik kita m u n o sa b a t
borligini ко ‘rsating:
M • A - 0, 
A 2 = — M 2 + c r .
m
6.
Oldingi m is old agi 
A 
vektor m a r k a z d a n perig eliyga qarab y o ‘nalgan