Nazariy fizika kursi

8.8. Yopishqoq suyuqlik
Ideal suyuqlikning ichida suyuqlik qatlamlari bir-biriga ishqalan- 
rnasdan oqadi, ular orasida o‘zaro impuls almashinish bo‘lmaydi. 
Impuls faqatgina mexanik harakat natijasidagina bir nuqtadan ikkin- 
chisiga uzatiladi. Haqiqiy suyiiqliklarda albatta, bunday emas — 
uiarning bir-biriga nisbatan harakat qilayotgan qatlamlari orasidagi 
ishqalanish natijasida impuls qiymati baland nuqtadan qiymati past 
nuqtaga uzatiladi. Bunday jarayonlar lizikada dissipativ jarayonlar 
deyiladi.
Ideal suyuqlik uchun olingan tenglamalarni ishqalanish bo'igan 
holga moslab o‘zgartiray!ik. Ideal va yopishqoq suyuqliklar orasidagi 
katta farq chegaraviy s'nartlarda namoyon bo‘ladi — qattiq jism bilan 
chegarada ideal suyuqlik tezligining norma! komponentasi vn nolga 
tenglashtirishi kerak. Tezlikning tangensiai (sirtga parallel) kompo- 
nemasiga hech qanday shart qo'yiimaydi — suyuqlik ideal ekan u 
sirtga ishqalanmasdan, unga yopishmasdan harakat qilishi kerak. Eyler 
tenglamasidan ham chegaraviy shart bitta bo'Iishi kerakligi kelib chiqadi
— tenglama birinchi tartibga ega.
Yopishqoq suyuqliklarga o‘tish uchun quyidagi fundamental tajri- 
baviy dalilga asoslanishimiz kerak — haqiqiy suyuqlik qattiq jism sirtiga 
yopishish xossasiga ega. Ya’ni, chegaraviy shartlar bu holda ikkita 
bo‘lishi kerak — tezlikning normal va tangensiai komponentalari qattiq 
jism sirtida nolga teng bo‘lishi kerak: un=
0
, i>,=
0
.
Suyuqlik qattiq jism sirtiga yopishar ekan boshida qo‘zg‘almasdan 
turgan qattiq jism harakatlana boshlasa (tashqi kuch ta’sirida) suyuq­
likning shu sirtga yopishgan qatlami ham shu jismning tezligi bilan 
harakat qila boshlashi kerak. 
0
‘zaro ishqalanish oqibatida suyuqlikning 
qo‘shni qatlamlariga ham impuls uzatila boshlanadi va ular ham 
harakatga keladi 8.4-rasmga qaraylik. Bu rasmda ikkita parallel 
plastinalar orasidagi oqim ko‘rsatilgan. Pastgi plastina qo‘zg‘a!masdan 
turibdi, yuqoridagi plastinaga (.v-oqi yo'naiishida) A fkuch qo'yilgan, 
shu kuch ta’sirida plastina 
Avx.
tezlik bilan harakat qilayapti, .suyuq­
likning eng >itqori qatlami esa ishqalanish natijasida shu sirtga ergaslub 
aynnn o‘sha tezlik bilan harakat qiladi.
л /'qancha katta bo'lsa Auv ham shunclia katta bo'ladi, ya'ni ular 
o'zaro proporsionaldir. Ikkinchi tomondan, plastinalar orasidagi masofa 
Ay qancha katta boisa, plastina o‘zgarmas tezlik bilan harakat qilishi 
uchun shuncha kam kuch kerak bo'ladi, ya'ni AF va Ay o'zaro teskari
262

---

AF
8.4-msm.
Ikki parallel plastina orasidagi oqim.
proporsionaldir. Undan tashqari, plastina sirti AS qancha katta bo‘lsa 
plastinani berilgan tezlik bilan harakatlantirishga shuncha ko'p kuch 
kerak. Shularning hammasini hisobga olib, quyidagi munosabatga 
kelamiz:
Bunda pay do boMgan proporsionallik koeffisiventi rj — ishqalanish 
koeffisiyenti deyiladi. Chap tomondagi kattalik kuchning sirt zichligi. 
Cheksiz kichiklarga o'tib ko‘rilayotgan holda
ekanligini topamiz.
Endi shu natijani umumlashtiraylik. Asosiy xulosa shundan iborat 
bo‘ldiki, ishqalanish kuchi tezliklarning gradiyentlariga proporsional 
ekan, agar misoldagi plastinalarni x, у va 
z
o‘qlariga nisbatan har xil 
qilib joylashtirilsa (8.52) dagi hosilani
larning kombinatsiyasiga almashtirish kerak bo‘ladi. Qidirayotgan 
kattalik kuch zichligi sifatida impuls oqimi zichligi tenzori (8.47) ga 
qo‘shilishi kerak. Unga kiruvchi tezliklarning hosilalaridan tuzilgan 
kombinatsiya quyidagi ko‘rinishda tanlab olinadi:
AF _ Av, 
AS 
Av
(8.51)
k u c h n in g sirt z ic h lig i ~ 
i]
— - 
dv
(8.52)
Эи, dVj 
dxJ 
dx‘
(8.53)
263

---

Uning bunday simmetrik ko‘rinishi quyudagi misol bilan asoslanadi — 
o'zgarmas «в burchak tezlik bilan aylanayotgan silindrik formadagi suv 
massivini olaylik. Uni silindrik qatlamlarga bo‘lib chiqilsa bu qatlam- 
lar bir-biriga nisbatan harakat qilmaydi. Demak, bu qatlamlar orasida 
ishqalanish bo‘lmaydi. Yuqoridagi simmetrik forma huddi shu xossaga 
mos keladi. Buni ko‘rish uchun ш burchak tezlikli silindirdagi r nuqta 
tezligi uchun
v = [cor] 
(8.54)
formuladan foydalanib yuqoridagi kombinatsiyani hisoblaylik:
dv 
dv
'- + -r-^- = £
CO + £ CO -  
0.
i 
- 
(8-55)
Эл 
ox 
j ,k k 
'Jk k
Hosil bo'lgan simmetrik tenzorni quyidagi ko'rinishga keltirib oiinadi:
a
dv
P
dv
+ - 4
dx'
— 8
divv
3 a
+ £<5 divv.
(8.56)
Bu ifodaning birinchi qismining izi nolga teng:
<) u,
dr'
dV: „
+ — --- - 
(\
».Si\\
Sx‘
= 
2
divv - 
2
d iw = 
0
.
Simmetrik tenzorning izsiz va birlik tenzor ko'rinishidagi qismlari 
koordinat almashtirishlarida faqat o‘z- o‘zi orqaligina almashingani 
uchun ularni har xil koeffisiyemiai bilan oldik. Odatda, q — (birinchi) 
ishqalanish koeffisiyenti. С esa — ikkinchi ishqalanish koeffisiyenti 
deyiladi. Keltirib chiqarish bo'yicha bu koeffisiyentiar tezlikiarga bog'liq 
ernas. Ammo ular umumiv hoi da temperatura va bosimning funksiyalari 
bo'lishi nuimkin, Ularning ikkalasi ham musbatdir:
!]>(). 4>0. 
(8.57)
Topilgan tenzor ishqalanish orqali paydo boMacligan kuch ziohligmi 
ifodalaydi, shu sababli uni kuch zichligi uinumiy tenzori П ga qo'shib 
qo'yiladi f (8.49) tenglamaning o‘ng tomoniga П„ minus isliora bilan
kirgani uchun o'. ning ham ishorasi minus bilan olingan):
1 1
, " 
p д.. - pVji> -a',
- 
-a.-; -r pv,v,
(8.58)
Oxirgi (pnglikdan keyingi itoda orqaii kuchhmganiik ten/ormi ikki

---

qismga bo‘lindi — bosim va ishqalanish orqali suyuqlik ichidagi paydo 
boiadigan impuls oqimi
va impuls zichliqi oqimining suyuqlikning zarralari bilan birga ko‘cha- 
digan qismiga bo'lindi.
Siqilmaydigan yopishqoq suyuqliklar uchun kuchlanganlik tenzori
ko‘rinishga ega bo‘ladi. Bunday suyuqliklar ko‘pincha Nyuton suyuq- 
liklari deyiladi. Deyarli hamma suyuqliklar uchun bu qonun o‘rinlidir, 
bu qonunga bo‘ysunmaydigan suyuqliklar uchun kuch tenzorini topish 
murakkab masala hisoblanadi.
Yopishqoq suyuqlik harakat tenglamasini keltirib chiqarish uchun 
umumiy ko‘rinishdagi harakat tenglamasi (8.49) ga (8.58) ni qo'yamiz 
(rj va £ koeffisiyentlarini o‘zgarmas deb qaraymiz) va uzliksizlik 
tenglamasi hisobga olamiz:
Bu tenglamaning nomi Naviye—Stoks tenglamasi. Agar siqilmay­
digan suyuqlik haqida gap ketayotgan bo'lsa oxirgi hadni tashlab 
yuborish mumkin:
Bu yerda kinematikyopishqoqlik deyiladigan v = ц/p kattalik kiritildi. 
Agar tashqi gravitatsion maydonni hisobga olish kerak bo‘lsa NS 
tenglamasming o‘ng tomoni quyidagicha o'zgaradi:
Tenglama vaqt bo'yicha birinchi tartibli tenglama, demak, tezlikning 
boshlang‘ich qiymati berilgan bo‘lishi kerak (statsionar hollardan 
tashqari). Chegaraviy shartlarni muhokama qilaylik. Chegara ikki xil 
bo'lishi mumkin — qattiq jism sirti va boshqa suyuqlik (yoki gaz) bilan
°ij =-р8у +
(8.59)
pvpj
(8.60)
(8.61)
(8.62)
dv 
_
Vw
---h (v • V )v = ---
+vAv.
dt 
p
(8.63)
— +(v-V)v 
dt
(8.64)
P
265

---

chegara. Qattiq jism sirtida yopishqoq suyuqlikning shu sirtga yopishib 
qolishini ifodalaydigan shart
v|
5
=0. 
(8.65)
Bu — eksperimental fakt, hammamiz ko‘p marta ko‘rganmizki, qattiq 
jism sirtiga yopishgan changning juda kichik zarralarini havo oqimi 
bilan shu sirtdan uchirib yuborish mumkin emas. Faqat yetarli 
darajada katta zarralargina havo oqimi ta’sirida uchib lcetadi. Bu 
hodisaning sababi — havo oqimining sirt ustidagi tezligining nolga 
tengligidir.
Vektorining komponentasi uchta bo‘lishiga qaramay bu shartlarning 
soni ikkita — tezlikning sirtga normal va sirtga urinma komponentalarini 
nolga tenglashtirish kerak — vn = 
0
, и = 
0
. F:azoviv hosilalar bo'yicha 
tenglamaning ikkinchi tartibli ekanligi bunga mos keladi.
Agar qattiq sirt harakatda bo'lsa, suyuqlikning shu sirt ustidagi
tezligi sirtning tezligiga teng bo‘lishi kerak v|s ^ vv„..,.