Nazariy fizika kursi

Уы
(0 .


. ; (/ 7 7 , ® 2/ \ 1^ >" 
Ы 6 V “".
(2 .8 1 )
47Г (, / I 
m
1
Bunda w -butun son b o iib , quyidagi qiymatlami qabul qiladi:
m =
0,±1,±2,... ± / 
(2.82)
79

---

va hammasi bo ‘Iib (2/ + l)ta qiymatga ega b o ‘ladi. 
P,"'(cosO)
funksiya um umlashgan Lejandr polinomi deyiladi va u quyidagi ifodaga 
teng:
m' 
,m-
^ ( c o s e ) = ( l - S 2) T 4 - , ^ ( ^
t, = c o s 0
(2.83)
dq
Bu y e rd a
P,{S,)
Lejandr polinomi deyiladi va u
p ,^
= 2 h \ %  
(2.84)
ko‘rinishga ega b o ‘ladi. (2.81) formuladagi 
P,"’
(cos6>) 
oldidagi 
ko ‘paytm a shunday tanlab olinadiki, 
У
1
т(в,<р)
funksiyalar ortogonal 
b o iis h i bilan bir qatorda ular sfera sirtida birga normalashgan b o iis h i 
kerak, y a ’ni
к In
J j
Yr ,J lm
sin6 
dQ cl(p -
8
r,
8
m,m
(2.85)
0 0
Yuqorida olingan natijalarni k o ‘rilayotgan masala uchun qollaniladi. 
Avval qayd etilganidek, (2.79) tenglama yechimining chekli, bir 
qiymatli va uzluksiz b o iis h i uchun A = /(/ + l) shartni qanoatlantirishi 
kerak. (2.78) va (2.80) formulalardan impuls momenti kvadrati 
operatoming xususiy qiymatlari
M f = frl(l +
1) / = 0, 1, 2, 3,... 
(2.86)
ga teng b o iis h i kerak. Bu qiymatlarga tegishli b o ig a n xususiy 
funksiyalar esa,
w = 0, ±1, ±2, ±3, ...,±/ 
(2.87)
ga teng. Yuqoridagi (2.86) va (2.87) ifodadan impuls momentining 
kvadrati (2/; +1) karrali ayniganligi ko ‘rinib turibdi. Bu aynishining 
mohiyatini tushuntirish oson. M 2 operatoming xususiy funksiyalarini 
bir vaqtning o ‘zida 
M z
operatoming ham xususiy funksiyasidir, y a ’ni
Й ,у / = М :у
(2.88)
M z
ning qiymatini (2.71) formuladan (2.88) formulaga q o ‘yilsa
(2.89)

---

tenglam a hosil qilinadi va 
y ,m
funksiyani 
em
ga proporsionalligini 
hisobga olinsa,
ifodaga kelinadi, y a’ni 
y/tm
funksiya (2.89) tenglamani qanoatlantiradi 
va 
M ,
operatom ing xususiy qiymatlari
m =
0,±1,±2,... ± / 
(2.90)
ga teng b o ‘ladi, y a ’ni hammasi b o ‘lib (2/ + l) ta har xil qiymatga ega 
b o ‘ladi.
Shunday qilib, 
I
holatga to ‘gri kelgan impuls m omentga mos b o ‘lgan 
energiya sathi (2/ + l) karrali aynigan b o ‘lib, bu aynishni, odatda, 
moment y o ‘nalishlari b o ‘yicha aynish deb ataladi, boshqacha aytganda, 
impuls m om enti tanlangan z y o ‘nalish b o ‘yicha (2/ + l) ta xususiy 
qiymatga ega b o ‘lar ekan. (2.86) va (2.90) tengliklar mos holda impuls 
momenti 
kvadratining 
va 
impuls 
m omentining 
z 
o ‘qiga 
proyeksiyasining xususiy qiymatlarining kvantlangan qiymatlarga ega 
ekanligini k o ‘rsatadi.
Biror tanlangan holatlarda M 2 va 
M z
lar aniq qiymatlami qabul 
qilsa, 
Mx
va 
My
proeksiyalari shu holatlarda aniq qiymatlarga ega emas. 
Haqiqatan ham, (2.81) to ‘Iqin funksiyalari 
M x
va 
M y
operatorlarning 
xususiy fuksiyalari b o ‘la olmaydi. Bu natija, ikkinchi tomondan, 
M X,M V,M Z
operatorlarning o ‘z-o‘ziga kom mutativ emasligidan ham 
kelib chiqadi.