Nazariy fizika kursi

-4жеЩ
г
(10.30)
va bu tenglama orqali 
boiadi:

0
=
4
^
^ 1 0 -3 1 )
|q(
(10.28) dagi birinchi integralni (10.29) bilan solishtirilsa,
T 
f e '4' 
J
> 
СеЧГ 
Л
'
;2 
т 
2
J' ~
J 
V
=
j 
r'
= q’ ’ 
4
= 
q; + q y + q;
(10.32)
304

---

natija kelib chiqadi. (10.28) dagi ikkinchi integral esa quyidagicha 
hisoblanadi:
( 1 0 3 3 )
=
J 
dv"/?(r”) ^ ~ e iqr' 
dv/ ?{ r
)ещг.
W 
|q|
Olingan (10.33) formulada integrallashni bajarish uchun qutb 
koordinatalar sistemasiga o ‘tiladi, bunda Z-o‘qini q vektor bo‘yicha 
yo‘naltiriladi. U holda,
d v = r 2 dr s i n6d6d( p,
qr 
= 
qr
cos 0
bo‘ladi va
oo 
К 
2К
| d v p ( r ) e iv
= |
p
( r y - d r \ e >qr™esin9dQ
 
J 
d(p
0 
0
0 
ni hosil qilish mumkin. 

o‘zgaruvchi bo‘yicha integrallash natijasida 
2 л
ko‘paytma hosil bo‘ladi, л' = cos0 almashtirish bajarilishi natijasida 
esa
I s i n q r
^ e ,4rmesin Q d e = \ e ullxdx = -
o 

kelib chiqadi. Demak,
г 
°r s i n( qr ) 
.
. 
, ,
j 
d v p ( r ) e ' 4
= 4 ? r j ---- -— - 
p ( r ) - r
‘ 
dr
(10.34)
о 
4 r
bo‘ladi. Hosil bo‘lgan ifodani (10.33) formulaga qo‘yilsa, 
J :
integrating natijasi kelib chiqadi. Endi 
(10.32) va 
(10.33) 
formulalami (10.28) qo'yilsa, / ( # ) uchun quyidagi natijani olish 
mumkin:
m
 =
(10.35)
J
4 
ЖТ,2 q 4
{ q r
J
Agarda
a 1
= 4 
k2sin2
__
2 
ti
2
2
л,-’ 
2
6
4
m2V2 . i в
q
= 
4k~sin
— = ---- -—
sin~
ekanligi eslansa va
305

---

F ( 6 ) = 4n\*' - ( ~ r }p
(i
r ) r 2dr
(10.36)
о 
4r
belgilash kiritilsa, quyidagi oxirgi natijani olish mumkin:
/ ' H = - ~ r { z - F ( ^ ) } c o s e c 2^ .
(10.37)
2 
mv'
2
Kiritilgan 
F(e)
kattalik 
atom formfaktori
deyiladi, uning qiymati 
esa elektron zaryadi zichligining taqsimoti bilan aniqlanadi va 
elektronlarning burchaklar bo‘yicha sochilishini aniqlab beradi. Olingan
(10.37) formula yordamida 
в
burchakka 
E
energiyali elektronlarning 
differensial effektiv kesimini topishimiz mumkin, ya’ni
d o = 
{ Z - F ( e ) f c o s e c A~ d n
(10.38)
Olingan formulani yaqqol namoyon qilish uchun, 
e p
- elektron 
dastasi zaryadining zichligi to‘g ‘risida sodda taxmin yuritamiz. Avvalo,
r
p = p Be °
deb qabul qilinadi, bu yerda 
a -
atomning radiusi. Umuman olganda, 
atom neytral bo‘lganligi sababli
J 
p d v = Z
bo‘ladi, demak
Z
P o ~ О
8
n a ~
bo‘ladi. Shunday qilib,
Z
8 
n a 3
ifoda kelib chiqadi. Endi 
F ( 6 )
atom form faktorini hisoblashga o'tilishi 
mumkin:
F ( # ) = 4 j r f p { r )  
^ ^r 2dr =  —
e 411 Sin£ • g ■ d £
y-l-
/■7J’ 
J
q r 
2 a ‘q~
Bunda 
qr = £,
belgilash kiritildi. Hosil bo‘lgan oxirgi integralni 
hisoblash qiyinchilik tug‘dirmaydi:
306

---

_ 
i- 
1 
_
-
f i qa
S i n f
- £ - d £
=
— j
e~Va {eli
-
e * ) £ d £
■
^ 3 3
l a q
(l 
+ q 2a 2f
Bundan
F (0 ) =
Z
Z
(1+ g V )
kelib chiqadi. Demak,
1 + 4 k 2 a 2 sin
(10.40)
d o ( Q ) =
eteZ
2nnr
1 + 4 к 2a 2Sin2 в
2
cos ec —dQ.
2
(10.41)
ifoda hosil boiadi.
Tezliklari katta zam chalar uchun 
k a >  
1 b o ia d i va (10.41) dagi 
formulada ikkinchi hadni hisobga olmasak ham boiadi. U holda,
da(B)--
e,eZ Y 
д в
2 
mv~
cos 
ec —dQ.
(10.42)
natija olinadi.
Klassik mexanikada olingan Rezerford formulasi hosil boidi. Bu 
holda Rezerford formulasi Born yaqinlashish usuli orqali olingan. 
Qiziqarli juhati shundan iboratki, agarda mazkur masalani aniq 
yozganimizda, xuddi shu natijani olgan b o ia r edik. Darvoqe, 
sochilishning effektiv kesimini aniq hisoblagan vaqtimizda olingan 
yechimda 
Ь
Plank doimiysi qatnashmaydi. Demak, klassik fizika 
hamda kvant mexanikasi tomonidan hisoblab chiqilgan natijalar bir- 
biriga mos kelishi lozim.
10.4. Bir xil zarrachalar to‘qnashuvi
Ikkita bir xil zarrachaning to‘qnashgan holini ko‘rib chiqish 
masalasi alohida ahamiyatga egadir. M aium ki, kvant mexanikasida 
zarrachalaming 
aynan 
o ‘xshashligi 
ular 
o‘rtasida 
o ‘ziga 
xos 
almashinuvchi o ‘zaro ta’siming paydo boiishiga olib keladi. Sochilish 
jarayonlarida 
yuqorida qayd etilgan o ‘zaro ta’simi hisobga olish
307

---

zarurligi ham kelib chiqadi. Spinlari 
j g a
teng boigan ikkita bir xil
zarracha, masalan, elektronlarning 
to ‘qnashuvi ko‘rib chiqiladi. U 
holda, sistemaning to‘la to iq in funksiyasini ko‘paytma ko'rinishda 
yozish mumkin, uning birinchi funksiyasi koordinata yoki orbital, 
ikkinchisi esa spin funksiyasi deb ataladi. Shredinger tenglamasi faqat 
koordinata funksiyasinigina aniqlaydi, shu tufayli ikkita bir xil 
zarrachalardan tashkil topgan sistema uchun zarrachalaming o'mini 
almashtirishga nisbatan orbital to ‘lqin funksiyasi simmetrik yoki 
antisimmetrik bo‘lishi kerak. Agarda sistemaning to ia spini 5=0 bo‘lsa, 
u holda orbital to ‘lqin funksiya simmetrik boiadi, agarda 5=1 b o lsa u 
holda - antisimmetrik b oiishi kerak. Og‘irlik markazi bilan bogiangan 
sanoq sistemasida zarrachalaming o‘mini almashtirish radius-vektor 
yo‘nalishini teskarisiga o‘zgartirishga olib keladi, ya’ni r,= -r2. Lekin, 
inersiya markazi tinch turgan koordinatalar sistemasida