Natural son va nol tushunchasining vujudga ke

Mavzu: Natural son va nol tushunchasining vujudga kelishi haqida Reja:
1.Natural son tushunchasi
2.Nol tushunchasi
3.Natural son va nol tushunchasining nazariy to’plam ma’nosi
Foydalanilgan adabiyotlar
Naturalson v
nol tushunchasining vujudga kelishi haqida qisqacha tarixiy ma'lumot. Natural son tushunchasi matematikaning asosiy tushunchalaridan biridir. U butun matematika fani singari kishilar amaliy faoliyatlaridagi ehtiyojlar natijasida vujudga 58 kelgan. Turli-tuman chekli to'plamlarni bir-biri bilan taqqoslash zarurati ham natural sonlarning vujudga kelishiga sabab bo'ldi. O'zining rivojlanish davrida natural sonlar tushunchasi bir nechta bosqichni o'tdi. Juda qadim zamonlarda chekli to'plamlarni taqqoslash uchun berilgan to'plamlar orasida yoki to'plamlardan biri bilan ikkinchi to'plamning qism to'plami orasida o'zaro bir qiymatli moslik o'rnatishgan, ya'ni bu bosqichda kishilar buyumlar to'plamining sanog'ini ularni sanamasdan idrok qilganlar. Vaqt o'tishi bilan odamlar faqat sonlarni atashni emas, balki ularni belgilashni, shuningdek, ular ustida amallar bajarishni o'rganib oldilar. Qadimgi Hindistonda sonlarni yozishning o'nli sistemasi va nol tushunchasi yaratildi. Asta-sekin natural sonlarning cheksizligi haqidagi tasavvurlar hosil bo'la boshladi. Natural son tushunchasi shakllangandan so'ng sonlar mustaqil obyektlar bo'lib qoldi va ularni matematik obyektlar sifatida o'rganish imkoniyati vujudga keldi. Sonni va sonlar ustida amallarni o'rgana boshlagan fan «Arifmetika» nomini oldi. Arifmetika qadimgi Sharq mamlakatlari: Vavilon, Xitoy, Hindiston, Misrda vujudga keldi. Bu mamlakatlarda to'plangan matematik bilimlar qadimgi Gretsiyada rivojlantirildi va davom ettirildi. Arifmetikaning rivojlanishiga o'rta asrlarda Hind, Arab dunyosi mamlakatlari va O'rta Osiyo matematiklari, XVIII asrdan boshlab esa Yevropalik olimlar katta hissa qO'shdilar. «Natural son» atamasini birinchi bo'lib rimlik olim A. A. Boetsiy qo'lladi.
Nomanfiy butun sonlar to'plamini to'plamlar nazariyasi asosida qurish XIX asrda
G. Kantor tomonidan to'plamlar nazariyasi yaratilgandan so'ng
mumkin bo'ldi. Bu nazariya asosida chekli to'plam va o'zaro bir
qiymatli moslik tushunchalari yotadi.
1 -t a ’ r i f. Agar A va В to ‘plamlar orasida о ‘zaro bir qiymatli
moslik o ‘rnatish mumkin bo'lsa, bu to'plamlar teng quvvatli deyiladi. A ~ В ко ‘rinishda yoziladi.
«Teng quwatlilik» munosabati refleksiv va tranzitiv bo'lgani
uchun u ekvivalentlik munosabati bo'ladi va barcha chekli
to'plamlarni ekvivalentlik sinflariga ajratadi. Har bir sinfda turli
elementli to'plamlar yig'ilgan bo'lib, ularning umumiy xossasi
teng quvvatli ekanligidir.
2-t a ’ r i f. Natural son deb, bo ‘sh bo ‘Imagan chekli teng quvvatli
to ‘plamlar sinfining umumiy xossasiga aytiladi.
Har bir ekvivalentlik sinfming umumiy xossasini uning biror
to‘plami to'la ifodalaydi. Har bir sinf xossasini ifodalovchi natural
son alohida belgi bilan belgilanadi. A to‘plam bilan aniqlanadigan
a son shu to‘plamning quvvati deyiladi va a = n(A) deb yoziladi.
Masalan, 3 soni uch elementli to'plamlar sinfming umumiy
xossasini bildiradi va u bu sinfning istalgan to‘plami bilan
aniqlanadi. 3 natural sonini ekvivalent to‘plamlar sinfming^ = {a;
b\ 5}, B = {qizil, sariq, yashil}, C = {□; V; 0} kabi vakillarini
ko‘rsatish bilan aniqlash mumkin.
Har bir chekli to‘plamga unga tegishli boimagan biror elementni q o ‘shib, berilgan to ‘plamga ekvivalent boim agan
2.to'plamni hosil qilamiz. Bu jarayonni davom ettirib, o ‘zaro
ekvivalent boimagan to'plamlaming cheksiz ketma-ketligini va
shu to'plamlar bilan aniqlanadigan 1, 2, 3, ..., n, ... ko'rinishda
belgilangan natural sonlar ketma-ketligini hosil qilamiz. Barcha
natural sonlar to'plamini A^= {1; 2; 3; ...} ko'rinishda yozishga
kelishamiz.
3-t a ’ r i f. Bo 'sh to ‘plamlar sinfming umumiy xossasiga esa son
0 soni deyiladi, 0 = «(0).
0 soni va barcha natural sonlar birgalikda nomanfiy butun
sonlar to'plamini tashkil qiladi. Bu to'plam N 0 ko'rinishida belgilanadi. N q - {0}v N. Bu yerda, N — barcha natural sonlar
uvi. 0 ‘nlik sanoq sistemasida xona birliklari o‘n, yuz, ming, o‘n ming, yuz ming va hokazolar boiib, ular 1 0 , 102, 1 03, 104, ... ko'rinishda ifodalanadi va unda har bir xonaning bitta birligi ikkinchi xonadan boshlab o‘zidan oldingi xonaning o‘nta birligiga teng boiadi, ya’ni qo'shni
xona birliklari nisbati sanoq sistemasining asosi — 10 ga teng.
Sonlar 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan iborat 10 ta belgi yordamida
yoziladi va bu belgilar raqamlar deb ataladi. Son yozuvida har
bir raqam ma’lum xona birliklari sonini bildiradi.
Demak, a natural sonning o‘nlik sanoq sistemasidagi yozuvideb quydagi yig'indiga aytiladi.
а = а • 10" + а • 10""1 + ... + • 102 4- а • 10 + ап, п п — I 1 I I)7
bu yerda: ап, ..., о, — 0 dan 9 gacha bo'lgan raqamlar. an * 0
deb kelishiladi. Son yozuvini 0 lardan boshlash faqat ma’lum
sondagi raqamlardan iborat nomerlashda qo'llanadi, masalan:
lotoreya, pasport, avtomobil nomerlarida.
N = a *10" + a ,10"_l + ... + a, • 102 + a, • 10 + onson beril- n n- 1 2 1 0
gan bo'lsa, uni N - anan_x ...a,a0 ko'rinishda yozish mumkin. Son
yozuvidagi chiziq uni harfiy ko'paytmadan farqlash uchun
chiziladi. Son yozuvidagi o'ngdan birinchi uchta xona birlar
sinfini tashkil qiladi va unga birlar, o'nlar, yuzlar deb ataluvchi
xona birliklari kiradi. Keyingi uchlik minglar sinfini tashkil qilib,
xona birliklari minglar, o'n minglar va yuz minglar deb ataladi.
6-, 7-, 8-raqamlar millionlar sinfini tashkil qilib, xona birliklari millionlar, o'n millionlar va yuz millionlardan iborat bo'ladi.
Keyingi uch xona milliardlar, undan keyin billionlar va hokazo
sinflardan iborat bo'ladi. Sonni o'qishda chapdan o'ngga qarab
har bir raqam yoniga xona birligi nomi qo'shib aytiladi, shuni
aytish kerakki, o'zbek tilida o'nliklarni atash uchun maxsus
so'zlar: yigirma, o'ttiz, qirq, ellik, oltmish, yetmish, sakson va
to'qson qo'llanadi. O'nli sanoq sistemasida sonlarni yozish uchun
10 ta belgi, atash yoki o'qish uchun esa, masalan, milliongacha
bo'lgan sonlar uchun 20 ta atama kerak bo'ladi, bu raqamlar va
o'nliklar nomlari, yuz, ming kabi atamalardir. Ko'p xonali
sonlarni o'qishda million, milliard, billion kabi sinflar nomlari
ishlatiladi.
Bo'sh xona birliklari aytilmaydi, yozuvda 0 lar bilan to'ldiriladi.
Masalan:
412 = 4-102+ 1*10 + 2 (to'rt yuz o'n ikki).
4.4. 0 ‘nlik sanoq sistemasida sonlarni taqqoslash. O'nlik sanoq sistemasida sonlarni taqqoslash quyidagicha amalga oshiriladi.
a = anlO" + an l10n_l + ... + o,10 + aQ(an Ф 0) va
b = bk10*+ Z>A._110A_I + ... + 6,10 + b0(bk * 0) sonlar berilgan
3. Butun nomanfiy sonlarning yig’indisini topish ta’rifidan foydalanib , quydagini isbotlang.

2 + 3 = 2 +(2 + 1) = (2+ 2)+ 1 = 4 + 1 = 5.