N. P. Rasulov, I. I. Safarov, R. T. Muxitdinov

ildizi deyiladi. Masalan, x=–1 soni

(10)

tenglamaning ildizi bo‘ladi, chunki P₃(–1)=(–1)³+3∙(–1)²+4∙(–1)+2≡0.

(9) tenglama uchun x=a ildiz bo‘lib, shart bajarilsa, unda x=a bu tenglamaning oddiy ildizi deyiladi. Bu holda (9) tenglamani chap tomonidagi ko‘phadni P_n(x)=(x–a)L_n–1(x) ko‘paytma ko‘rinishda ifodalab bo‘ladi. Bu tenglikda L_n–1(x) ko‘paytuvchi biror (n–1)- darajali ko‘phad bo‘lib, u L_n–1(a)≠0 shartni qanoatlantiradi.

Masalan, x=–1 soni (10) tenglamaning oddiy ildizi bo‘ladi, chunki

.

Bunda haqiqatan ham yuqorida aytilgan tasdiq o‘rinli bo‘lib,

(11)

tenglik bajarilishini va L₂(–1)=1≠0 ekanligini tekshirib ko‘rish mumkin.

2-TEOREMA: Agar x=a soni (9) tenglamaning, ya’ni R(x)=Q_m(x)/P_n(x) ratsional kasr maxrajining oddiy ildizi bo‘lsa, unda R(x) kasrning (6) yoyilmasida bitta A/(x–a) ko‘rinishdagi I tur eng sodda ratsional kasrdan iborat qo‘shiluvchi qatnashadi.

Masalan, (8) ratsional kasrning maxraji uchun x=–1 oddiy ildizi bo‘lishini yuqorida ko‘rib o‘tdik va shu sababli ratsional kasrning (8) yoyilmasida bitta –5/(x+1) qo‘shiluvchi qatnashmoqda.

Agar (9) tenglamaning x=a ildizi uchun

shartlar bajarilsa, x=a bu tenglamaning s karrali ildizi deyiladi. Bu holda (7) tenglamaning chap tomonini P_n(x)=(x–a)^sL_n–s(x) [L_n–s(a)≠0] ko‘rinishda ifodalab bo‘ladi.

Masalan, P₃(x)=x³–x²–8x+12=0 tenglama uchun x=2 ikki karrali ildiz bo‘ladi. Haqiqatan ham

va

P₃(x)= x³–x²–8x+12 =(x–2) ²(x+3) (12)

tenglik o‘rinli.

3-TEOREMA: Agar x=a soni (9) tenglamaning, ya’ni R(x)=Q_m(x)/P_n(x) ratsional kasr maxrajining s karrali ildizi bo‘lsa, unda R(x) kasrning (6) yoyilmasida

ko‘rinishdagi bitta I tur va s–1 ta II tur eng sodda ratsional kasrlardan iborat qo‘shiluvchilar qatnashadi.

Masalan, (12) tenglikdan

ratsional kasrning maxraji uchun x=2 ikki karrali va x=–3 oddiy ildiz ekanligi kelib chiqadi va bunda

yoyilma o‘rinli bo‘lishini tekshirib ko‘rish mumkin.

Agar biror x₁=a+bi kompleks son (9) algebraik tenglamaning ildizi bo‘lsa, unda x₂=a–bi qo‘shma kompleks son ham bu tenglamaning ildizi bo‘lishini isbotlash mumkin. Demak, P_n(x)=0 tenglama kompleks ildizlarga ega bo‘lsa, bu ildizlar albatta qo‘shma kompleks sonlar juftliklaridan iborat bo‘ladi.

Agar x_1,2=a±bi qo‘shma kompleks sonlar P_n(x)=0 tenglamaning oddiy ildizi bo‘lsa, unda

P_n(x)=(x–x₁)(x–x₂)L_n–2(x)=(x²+px+q)L_n–2(x) [L_n–2(x_1,2)≠0, p=–2a, q=a²+b²]

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Masalan,

P₄(x)=2x⁴–17x³+77x²–107x–75

ko‘phad uchun x_1,2=3±4i oddiy kompleks ildiz bo‘ladi. Bu holda

(x–x₁)(x–x₂)= x²–6x+25 => P₄(x)=(x²–6x+25)(2x²–5x–3) (13)

ekanligini ko‘rsatish mumkin.

4-TEOREMA: Agar R(x)=Q_m(x)/P_n(x) ratsional kasrning maxraji x_1,2=a±bi qo‘shma kompleks sonlar juftligidan iborat oddiy ildizga ega bo‘lsa, unda R(x) kasrning (4) yoyilmasida bitta

ko‘rinishdagi III tur eng sodda ratsional kasr qatnashadi.

Masalan, (13) tenglikka asosan,

ko‘rinishdagi yoyilma o‘rinli bo‘ladi.

5-TEOREMA: Agar R(x)=Q_m(x)/P_n(x) ratsional kasrning maxraji uchun x_1,2=a±bi qo‘shma kompleks sonlar s karrali ildizi bo‘lsa, unda

P_n(x)=(x²+px+q)^sL_n–2s(x) [L_n–2s(x_1,2)≠0, p=–2a, q=a²–b²]

tenglik o‘rinli bo‘ladi va R(x) ratsional kasrning chiziqli yoyilmasida

ko‘rinishdagi bitta III tur va s–1 ta IV tur eng sodda ratsional kasrlar qatnashadi.

Masalan, P₄(x)=(x²+9)³(x–5)=0 tenglama uchun x=±3i uch karrali kompleks ildiz, x=5 esa oddiy haqiqiy ildiz bo‘lgani uchun ushbu ratsional kasr quyidagi ko‘rinishdagi yoyilmaga ega bo‘ladi:

.

Demak, yuqoridagi 2–5- teoremalardan

to‘g‘ri ratsional kasrning (6) yoyilmasidagi eng sodda ratsional kasrlarning turlari va sonlari aniqlanadi. Ammo (6) yoyilmani to‘liq aniqlash uchun unga kiruvchi eng sodda ratsional kasrlarning suratlaridagi A_k , B_k koeffitsiyentlarni ham aniqlash kerak bo‘ladi. Bu masala noma’lum koeffitsiyentlar usuli deb ataluvchi usulda hal qilinishi mumkin. Bu usulning mohiyatini quyida misol orqali tushuntiramiz.

Shunday qilib, ratsional kasrning integralini hisoblash uch bosqichda amalga oshiriladi.

1. 
   Dastlab R(x) kasr maxrajning nollari orqali uning (6) yoyilmasidagi eng sodda ratsional kasrlarning turlari va sonlari 2-5 teoremalar yordamida aniqlanadi.
   
2. 
   Yoyilmadagi eng sodda ratsional kasrlarning suratlaridagi A_k va B_k qiymatlari noma’lum koeffitsiyentlar usulida topiladi.
   
3. 
   R(x) kasrning eng sodda ratsional kasrlardagi (6) chiziqli yoyilmasi to‘liq topilgach, integral bu yoyilma bo‘yicha integralning chiziqlilik xossalari (§1, (3) formula) va eng sodda ratsional kasrlarning integrallaridan foydalanilib hisoblanadi.
   

Yuqorida aytilganlarni

integralni hisoblashga tatbiq etamiz.