N. P. Rasulov, I. I. Safarov, R. T. Muxitdinov

Isbot: Qaralayotgan (a,b) oraliqdan ixtiyoriy ikkita x₁ va x₂ (x₁≠x₂) nuqtalarni olamiz. Unda y=Q(х) funksiya olingan [x₁, x₂] kesmada Lagranj teoremasining (VII bob,§3) barcha shartlarini qanoatlantiradi va shu sababli

Q(x₂)–Q(x₁)=Q′(x)(x₂–х₁ ) , x₁x₂ ,

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Lemma sharti bo‘yicha (a,b) oraliqning barcha nuqtalarida Q′(x)=0 bo‘lgani uchun x nuqtada ham Q′(x)=0 bo‘ladi. Bu yerdan, oldingi tenglikka asosan, Q(x₂)–Q(x₁)=0, ya’ni Q(x₂)=Q(x₁) tenglikka ega bolamiz. Bu esa Q(x)=C ekanligini ifodalaydi. Lemma isbot bo‘ldi.

Endi quyidagi teoremani qaraymiz.

1-TEOREMA: Agar F(x) vа F(х) berilgan f(х) funksiyaning ixtiyoriy ikkita boshlang‘ich funksiyalari bo‘lsa, u holda biror C o‘zgarmas sonda Ф(х)=F(x)+С tеnglik o‘rinli bo‘ladi.

Isbot: Teorema shartiga asosan F(x) vа F(х) berilgan f(x) funksiyaning boshlang‘ich funksiyalari bo‘lgani uchun F′(x)=f(х) ва Ф′(x)=f (х) tеnglik o‘rinlidir. Bu yerdan Q(x)=F(х)–F(x) funksiyaning hosilasi

Q′(x) = [F(х)–F(x)]′= Ф′(x)–F′(x)=f(х)–f(х)=0

ekanligini ko‘ramiz. Unda, oldingi lemmaga asosan, Q(x)=C natijani olamiz. Demak, Q(x)=F(х)–F(x)=C va haqiqatan ham Ф(х)=F(x)+С tеnglik o‘rinli.

Bu teoremadan ushbu muhim xulosa kelib chiqadi: agar F(x) berilgan f(x) funksiyaning birorta boshlang‘ich funksiyasi bo‘sa, uning barcha boshlang‘ich funksiyalari F(x)+С (C-ixtiyoriy o‘zgarmas son) kabi aniqlanadi. Demak, f(x) funksiyaning barcha boshlang‘ich funksiyalarini topish uchun uning birorta F(x) boshlang‘ich funksiyasini topib, unga C o‘zgarmas sonni qo‘shib qo‘yish kifoyadir. Masalan, f(x)=2x funksiyaning barcha boshlang‘ich funksiyalari x²+C ko‘rinishda bo‘ladi.

2-TA’RIF: Agar F(x) biror (a,b) oraliqda f(x) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, unda F(x)+С (С – ixtiyoriy o‘zgarmas son) funksiyalar to‘plami shu oraliqda f(x) funksiyaning aniqmas integrali deyiladi .

Berilgan f(x) funksiyaning aniqmas integrali kabi belgilanadi va, ta’rifga asosan, birorta F(x) boshlang‘ich funksiya bo‘yicha

(2)

tenglik bilan aniqlanadi. Bunda C ixtiyoriy o‘zgarmas son ekanligini yana bir marta eslatib o‘tamiz.

(2) tenglikda - integral belgisi, f(x) integral ostidagi funksiya , f(x)dx integral ostidagi ifoda, x esa integrallash o‘zgaruvchisi deyiladi. Berilgan f(x) funksiyaning aniqmas integralini topish amali bu funksiyani integrallash deb ataladi.

Izoh: Berilgan f(x) uchun qaysi shartda F(x) boshlang‘ich funksiya , demak aniqmas integral, mavjud bo‘lish masalasi kelgusida, §6 da qaraladi.

Yuqorida topilgan boshlang‘ich funksiyalar bo‘yicha quyidagi aniqmas integrallarni yozish mumkin:

, , .

Aniqmas integral ta’rifini ifodalovchi (2) tenglikdan ko‘rinadiki, aniqmas integral y=F(x)+C(C-ixtiyoriy o‘zgarmas son) funksiyalar sinfini ifodalaydi. Shu sababli, geometrik nuqtai-nazardan, aniqmas integral y=F(x) funksiya grafigini OY koordinata o‘qi bo‘ylab parallel ko‘chirishdan (VII bob,§3) hosil bo‘ladigan chiziqlar sinfidan iborat bo‘ladi (69-rasmga qarang).

69-rasm

6.