N. I. Asqarov R. A. Mullajonov

4-lemma. Agar _{ } funksiyalar (6) tengliklar bilan aniqlansa, u holda

_{ } (7)

Isboti. Faraz qilaylik (7) determinant nolga teng bo’lsin. U holda bu determinantning satrlari orasida

_{ } (8)

_{ }

chiziqli bog’liqlik mavjud, bu yerda _{ } koeffisiyentlarning barchasi bir vaqtda nolga teng emas.

_{ }

differensial operatorni qaraymiz. Bu operatorga darajasi _{ } dan ortmagan

_{ }

xarakteristik ko’phad mos keladi.

_{ } bo’lsin, u holda (8) munosabatni

_{ }

yoki

_{ }

ko’rinishda yozishimiz mumkin.

3-lemmaga ko’ra _{ } soni _{ } xarakteristik ko’phadning karraligi _{ } dan kichik bo’lmagan ildizi bo’ladi. Xuddi shu kabi _{ } ko’rinishda tanlab _{ } soni _{ } xarakteristik ko’phadning karraligi _{ } dan kichik bo’lmagan ildizi bo’lishini va hakozo _{ } soni _{ } xarakteristik ko’phadning karraligi _{ } dan kichik bo’lmagan ildizi bo’lishini isbotlashimiz mumkin. Shuning uchun har bir ildizni karraligi bilan hisoblab _{ } xarakteristik ko’phadning ildizlari soni _{ } ga teng bo’ladi degan xulosaga kelamiz. Ammo bu mumkin emas, chunki _{ } xarakteristik ko’phadning darajasi _{ } dan ortmaydi. Hosil bo’lgan ziddiyat lemmani isbotlaydi.