N. E. Avezov, Sh. K. Ismailov, B. G’. Samandarov, “Elektronika va sxemalar 1” fanidan O’quv qo’llanma

Differentsial tenglamalar. Kommutatsiya qonunlari
O’tkinchi jarayonlarni hisoblaganda zanjirning asosiy differentsial tenglamalarini asos qilib olish zarur. Ularni yechishda esa faqatgina barqarorlik jarayoni uchun hos bo’lgan tenglamalarning hususiy yechimlari bilan cheklanmasdan, ularning to’liq yechimlarini aniqlash zarur. Masalan L, R, C elementlari ketma-ket ulangan zanjirni u(t) kuchlanishli manbaga ulanganda quyidagi tenglamani yechish zarur:

(14.1)

Tarmoqlangan zanjirlarni hisoblashda tugun va konturlar uchun Kirxgof qonunlari asosida tuzilgan birnecha tenglamalar tizimini hisoblash zarur bo’ladi. Shuni ta’kidlash kerakki, chiziqli zanjir bo’lganda zanjirning barcha differentsial tenglamalari chiziqli bo’ladi.

Differentsial tenglamalarni yechishda u yoki bu holatda berilgan boshlang’ich shartlardan foydalanish zarurdir. Boshlang’ich shartlar haqidagi batafsil axborotni bilish differentsial tenglamalarni aniqlashda juda muhim bo’lgan zaruratdir. Darhaqiqat, bir zanjirni bir xil kommutatsiyada, ammo har xil boshlang’ich shartli ishlatish natijasida o’tkinchi jarayonlar har xil bo’lishi aniqdir.

Masalan, zanjirdagi o’tkinchi jarayonning boshlanishiga sabab bo’lgan kommutatsiya t=0 vaqtda bir onda zanjirni o’zgartirdi deb qabul qilamiz. Bu holda u yoki bu funktsiya f(t) ning kommutatsiyadan oldingi f(-0) va kommutatsiyadan keyingi f(+0) onlaridagi qiymatlari haqida fikrlash mumkin. Bu qiymatlarni farqlash uchun argument t da birinchi holatda 0- deb, ikkinchi xolatda esa 0+ deb belgilanadi. Bu belgilash quyidagicha talqinlanadi:

(14.2)

Boshqacha qilib aytganda, - bu f(t) funktsiyaning a nuqtadan o’ngroqdagi kiymati, - bu f(t) funktsiyaning a nuqtadan chaproqdagi qiymati bo’ladi.

Funktsiyaning uzilishlari bo’lmasa, yoki masalan, «faqat t>a (≥a emas, aynan >a) bo’lgandagi f(t) funktsiyasi haqida bormoqda» degan qo’shimcha talab qo’yilmaganda f(a) yoki a=0+ bo’lganda f(0) deb yozish mumkin.

Kommutatsiya onida ba’zi qiymatlar sakrab (keskin) o’zgarishi mumkin, bunday xolatda

(14.3)

bo’ladi.

Boshqa qiymatlar, aksincha, faqat uzluksiz o’zgarishi mumkin, unda quyidagicha yoziladi:

(14.4)

Agar zanjirning ba’zi elementlari orasida quvvat almashinuvi cheklangan (ya’ni u∙i ko’paytma chekli) bo’lsa, unda zanjir elementlaridagi energiyani aniqlaydigan barcha qiymatlar uzluksiz o’zgaradilar.

Masalan, o’zgarmas S sig’imli kondensator elektr maydoni energiyasining qiymatini uning kuchlanishi aniqlasa:

,

unda uzatilayotgan quvvat bo’ladi. Shuning uchun quvvat chekli bo’lib, u_s∙i chekli bo’lganda, kondensator kuchlanishi uzluksiz o’zgaradi ( chekli) va, demak

. (14.5)

Shunga o’xshash, L induktivlik elementi bo’lgan elektr zanjirining magnit maydoni energiyasi induktivlikdan oqib o’tayotgan tok bilan aniqlanadi:

.

Shuning uchun quvvatning qiymati chekli bo’lganda induktivlikdagi tok uzluksiz oqib o’tadi:

(14.6)

(14.5) va (14.6) tengliklar cheklangan quvvatli elektr zanjirlari kommutatsiya qonunlarini ifodalab, kommutatsiyagacha aniqlangan barcha induktivliklardan oqayotgan toklar va barcha sig’imlardagi aniqlangan kuchlanishlar yordamida zarur bo’lgan barcha boshlang’ich shartlarni izlab topish uchun etarlidir.

Chiziqli differentsial tenglamalarni, masalan (14.1)ni, aksariyat, ikki funktsiya yig’indisi sifatida tasavvur qilish qulaydir (superpozitsiya usuli):
(14.7)

Ulardan birinchi funktsiya – berilgan differentsial tenglamaning xususiyechiminiifodalaydi:

(14.8)

ikkinchisi esa ushbu tenglamaning o’ng tomonini nolga tenglashtirib, hosil bo’lgan xarakteristik tenglama:

(14.9)

ning (umumiy) echimini ifodalaydi.

Tenglamalar chiziqli bo’lganligi uchun (14.8) va (14.9) ni hadma-had qo’shib (14.10) tenglamani xosil qilamiz va (14.7) echimning to’g’riligini tasdiqlaymiz.

Kommutatsiya qonunlarini differentsial tenglamaning to’la echimi qoniqtirishi zarur. Buni birinchi galda o’zlashtirib olish darkor.

Elektr zanjirlari tenglamalarining o’ng tomoni, aksariyat, manbaning kuchlanishi yoki tokini ifodalaydi, yoki umumlashtirib aytganda, tashqi ta’sir kuchidir. Xarakteristik tenglama, masalan (14.9), zanjirning tashqi ta’sir kuchi bo’lmagan yoki erkin rejimini tasvirlaydi; shuning uchun xarakteristik tenglamani qoniqtiruvchi tok va kuchlanishlar erkin deb ataladi.

O’ng tomoni o’zgarmas yoki davriy funktsiyadan iborat bo’lgan tenglamaning xususiy echimini zanjirning barqarorlashgan rejimi bilan o’xshatish mumkin; uni yana majburlangan rejimning echimi, mazkur tok yoki kuchlanishlarni esa majburlangan tok yoki kuchlanish deyiladi.

Tenglama (14.10) ning haqiqiy (to’la) echimi bunda majburlangan va erkin tashkil etuvchilarning yig’indisidan iborat deb faraz qilinadi:

(14.10)