|
10-misol
. Ikki о‘lchovli tasodifiy miqdor
D
y
x
агар
D
y
x
агар
xy
y
x
f
,
,
0
,
,
2
1
,
zichlik funksiya bilan berilgan, bu yerda,
0
,
2
,
:
,
x
y
x
y
y
x
D
.
1)
Tashkil etuvchilarning ehtimolliklari taqsimot qonunlarini toping;
2)
X
va
Y
larni bog‘liqligini kо‘rsating.
Yechish
: 1) Avvalo tashkil etuvchilarning zichlik funksiyalarini topamiz:
0
,
2
,
4
4
1
2
2
2
1
2
1
,
2
2
2
1
x
x
x
x
y
x
dy
xy
dy
y
x
f
x
f
x
2
,
0
,
4
0
2
2
1
2
1
,
2
0
2
2
y
y
y
x
y
dx
xy
dx
y
x
f
y
f
y
U holda,
D
y
x
y
x
y
xy
y
x
,
,
2
4
2
1
2
,
D
y
x
x
y
x
x
xy
x
y
,
,
4
2
4
4
1
2
1
2
2
2) agar
X
va
Y
tashkil etuvchilar bog‘liqsiz bо‘lsa, u holda
71
x
f
y
f
y
f
x
f
y
f
y
x
f
y
x
1
2
2
1
2
,
va
y
f
x
f
y
f
x
f
x
f
y
x
f
x
y
2
1
2
1
1
,
.
Ammo,
0
,
2
,
4
4
1
,
,
,
2
2
1
x
x
x
x
f
D
y
x
y
x
y
x
funksiyalar bir-biridan farqli bо‘lganligi uchun
X
va
Y
tashkil etuvchilar
bog‘liq.
9.7. Ikki о‘lchovli tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari.
Korrelyatsiya momenti. Korrelyatsiya koeffitsenti
Ikki о‘lchovli
Y
X
,
tasodifiy miqdorni tavsiflash uchun tashkil
etuvchilarning matematik kutilmalari va dispersiyalaridan tashqari boshqa
xarakteristikalar,
jumladan
korrelyatsiya
momenti
va
korrelyatsiya
koeffitsentidan foydalaniladi.
X
va
Y
tasodifiy miqdorlarning
xy
korrelyatsiya momenti
deb, bu
miqdorlar chetlanishlari kо‘paytmasining matematik kutilmasiga aytiladi:
Y
M
Y
Х
М
Х
М
xy
(9.19)
Diskret tasodifiy miqdorlar korrelyatsiya momentlarini hisoblash uchun
n
j
m
i
ij
i
i
xy
p
Y
M
y
X
M
x
1
1
(9.20)
formuladan, uzluksiz miqdorlar uchun esa
dxdy
y
x
f
Y
M
y
X
M
x
xy
,
(9.21)
formuladan foydalaniladi.
Korrelyatsiya momenti
X
va
Y
miqdorlar orasida bog‘lanishni tavsiflash
uchun xizmat qiladi.
Korrelyatsiya momenti(kovariatsiya)ning ba’zi xossalarini keltiramiz.
1.Agar
X
va
Y
miqdorlar bog’liqsiz bо‘lsa, u holda korrelyatsiya momenti
nolga teng. Haqiqatdan,
X
va
Y
bog’liqsiz tasodifiy miqdorlar bо‘lgani uchun
ularning
X
M
X
va
Y
M
Y
chetlanishlari ham bog’liqsizdir. Matematik
kutilma va chetlanishning xossalaridan foydalanib quyidagini hosil qilamiz:
0
Y
M
Y
M
X
M
X
M
Y
M
Y
X
M
X
M
xy
Agar korrelyatsiya momenti noldan farqli bо‘lsa, u holda,
X
va
Y
lar
bog‘liq tasodifiy miqdorlar bо‘ladi.
2. Ikki
X
va
Y
tasodifiy miqdor korrelyatsiya momenti ular kо‘paytmasining
matematik kutilmasidan matematik kutilmalari kо‘paytmasini ayrilganiga teng,
ya’ni
Y
M
X
M
XY
М
xy
.
Haqiqatdan, matematik kutilmaning xossalaridan,
72
.
Y
M
X
M
XY
M
Y
M
X
M
Y
M
X
M
Y
M
X
M
XY
M
Y
M
X
M
Y
X
M
Y
XM
XY
M
Y
M
Y
Х
М
Х
М
xy
3. Ikki о‘lchovli
Y
X
,
tasodifiy miqdorning korrelyatsiya momenti absolyut
qiymati bо‘yicha ularning о‘rtacha kvadratik chetlanishlari kо‘paytmasidan
oshmaydi, ya’ni
y
x
xy
(9.22)
Haqiqatdan, avvaldan ma’lum
0
2
y
x
Y
M
Y
X
M
X
М
tengsizlikni qaraymiz. Bundan, qavslarni ochib
,
0
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y
x
xy
y
y
x
xy
x
y
y
x
x
y
y
x
x
Y
D
X
D
Y
M
Y
M
Y
M
Y
X
M
X
M
X
M
X
M
Y
M
Y
Y
M
Y
X
M
X
X
M
X
М
Bundan, (9.22) kelib chiqadi, bu yerda,
Y
D
X
D
y
x
2
2
,
11-misol
. Ikki о‘lchovli (
X Y
) tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi
quyidagicha berilgan bо‘lsin:
0
1
4
9
x
6
1
1
4
9
,
2
2
2
2
да
y
да
y
x
y
x
f
X
va
Y
miqdorlar bog‘liq ekanligini kо‘rsating.
Yechish
.
X
va
Y
tashkil etuvchilarning zichlik funksiyalarini topamiz.
3
,
9
9
2
3
1
6
1
,
2
9
1
2
0
9
1
2
3
1
2
1
2
2
2
x
x
dy
dy
dy
y
x
f
x
f
x
x
x
Shunga о‘xshash,
2
,
4
2
1
,
2
2
y
y
dx
y
x
f
y
f
Shunday qilib, berilgan ellipsning ichida
2
2
2
1
4
2
1
,
9
9
2
y
y
f
x
x
f
,
uning tashqarisida esa
0
,
0
2
1
y
f
x
f
va kо‘rinib turibdiki
y
f
x
f
y
x
f
2
1
,
.
73
Demak,
X
va
Y
bog‘liq miqdorlardir.
Korrelyatsiya momenti ta’rifidan, uning kattaligi (о‘lchami) tasodifiy
miqdorlar о‘lcham birliklariga bog‘liq. Bu bog‘liqliklarni bartaraf etish
maqsadida yangi sonli xarakteristika-korrelyatsiya koeffitsenti kiritiladi.
X
va
Y
tasodifiy miqdorlarning
xy
r
korrelyatsiya koeffitsenti
deb,
korrelyatsiya momentining bu miqdorlar о‘rtacha kvadrat chetlanishlari
kо‘paytmasi nisbatiga aytiladi:
y
x
xy
xy
r
(9.23)
Bog’liqsiz tasodifiy miqdorlarni korrelyatsiya koeffitsenti nolga teng
0
xy
r
(chunki
0
xy
)
Agar
X
va
Y
tasodifiy miqdorlarning korrelyatsiya koeffitsenti (yoki
korrelyatsiya momenti) noldan farqli bо‘lsa, ular korrelyatsiyalangan deyiladi:
agarda korrelyatsiya koeffitsenti nolga teng bо‘lsa, ular korrelyatsiyalanmagan
deyiladi.
Ikkita korrelyatsiyalangan miqdor, shuningdek, bog‘liq hamdir. Darhaqiqat,
teskarisini faraz qilsak, ya’ni ular bog’liqsiz desak,
0
xy
r
degan xulosaga
kelamiz, bu esa shartga zid, chunki korrelyatsiyalangan miqdor uchun
0
xy
r
(chunki
0
xy
)
Bunga teskari mulohaza har doim ham о‘rinli bо‘lavermaydi, ya’ni agar
ikkita
miqdor
bog‘liq
bо‘lsa,
ular
korrelyatsiyalangan
ham,
korrelyatsiyalanmagan bо‘lishi ham mumkin. Boshqacha aytganda, ikkita
bog‘liq miqdorning korrelyatsiya momenti nolga teng bо‘lib qolishi mumkin.
Bunga ishonch hosil qilish uchun misol keltiramiz.
12-misol
. Yuqoridagi misolda
X
va
Y
tasodifiy miqdorlar bog‘liq ekanligini
kо‘rsatdik.Ularning korrelyatsiyalanmaganligini kо‘rsatish uchun
0
xy
ekanligiga ishonch hosil qilish yetarli. Korrelyatsiya momentini (9.21)
formuladan foydalanib topamiz:
dxdy
y
x
f
Y
M
y
X
M
x
xy
,
x
f
1
zichlik funksiya
OY
о‘qqa nisbatan simmetrik,
y
f
2
funksiya
OX
о‘qqa nisbatan simmetrik bо‘lgani uchun mos ravishda
0
,
0
Y
M
X
M
.
U holda,
dxdy
y
x
f
xy
xy
,
.
y
x
f
,
zichlik funksiya о‘zgarmas ekanligidan,
3
3
9
1
2
9
1
2
2
2
6
1
ydy
xdx
x
x
xy
.
Ichki integral nolga teng, chunki integral ostidagi funksiya toq va integrallash
chegaralari koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik.
74
Demak,
0
xy
(shuningdek
0
xy
r
), ya’ni
X
va
Y
tasodifiy miqdorlar
korrelyatsiyalanmagan.
Shunday qilib, ikkita tasodifiy miqdorning korrelyatsiyalanganligidan
ularning bog‘liqligi kelib chiqadi, ammo bu miqdorlarning bog‘liqligidan
hamma vaqt ularning korrelyatsiyalanganligi kelib chiqavermas ekan.
Do'stlaringiz bilan baham: |
