|
9.1. Ikki о‘lchovli diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonuni
Ikki о‘lchovli
Y
X
,
diskret tasodifiy miqdorning mumkin bо‘lgan
qiymatlari, ya’ni
m
j
n
i
y
x
j
i
,
1
;
,
1
,
sonlar jufti va ularning
m
j
n
i
y
Y
x
X
P
y
x
p
p
j
i
j
i
ij
,
,
2
,
1
;
,
2
,
1
,
,
ehtimolliklari rо‘yxati bu miqdorlarning taqsimot qonuni deb ataladi.
Taqsimot qonuni odatda jadval kо‘rinishda beriladi:
Y
X
1
x
2
x
n
x
1
y
11
p
21
p
1
n
p
2
y
12
p
22
p
2
n
p
m
y
m
p
1
m
p
2
nm
p
60
m
j
n
i
y
Y
x
X
j
i
,
1
;
,
1
,
lar hodisalarning tо‘la guruhini tashkil etganligi
uchun barcha
ij
p
ehtimolliklar yig‘indisi birga teng, ya’ni
n
i
m
j
ij
p
1
1
1
(9.1)
Ikki о‘lchovli diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini bilgan holda har
bir tashkil etuvchining taqsimot qonunini yozish mumkin. Masalan, har bir
n
i
,
1
uchun
m
i
i
i
y
Y
x
X
y
Y
x
X
y
Y
x
X
,
,
,
,
,
,
2
1
hodisalar birgalikda bо‘lmaganligi uchun ehtimolliklarni qо‘shish teoremasiga
kо‘ra
im
i
i
i
x
p
p
p
x
X
P
p
i
2
1
Shunday qilib,
X
ning
i
x
qiymat qabul qilish ehtimolligi “
i
x
ustundagi”
ehtimolliklar yig‘indisiga teng. Umuman,
i
x
X
P
ehtimolni topish uchun
i
x
ustundagi ehtimolliklarni qо‘shish lozim. Shunga о‘xshash, “
j
y
satrdagi”
ehtimolliklarni qо‘shib
j
y
Y
P
ehtimolni hosil qilamiz. Demak,
m
j
ij
i
i
x
n
i
p
x
X
P
p
i
1
,
1
,
n
i
ij
j
y
m
i
p
y
Y
P
p
j
1
,
1
,
1-misol
. Quyidagi taqsimot qonuni bilan berilgan ikki о‘lchovli diskret tasodifiy
miqdorning tashkil etuvchilari taqsimot qonunlarini tuzing.
Y
X
1
x
2
x
3
x
1
Y
0,12 0,18
0,10
2
Y
0,10 0,11
0,39
Yechish:
Ehtimolliklarni ustun bо‘yicha jamlab,
X
ning mumkin bо‘lgan
qiymatlari ehtimolliklarini hosil qilamiz.
49
,
0
,
29
,
0
,
22
,
0
3
2
1
x
x
x
p
p
p
X
ning tashkil etuvchilarining taqsimot qonunini yozamiz:
X
1
x
2
x
3
x
p
0,22 0,29
0,49
Tekshirish: 0,22+0,29+0,49=1
Xuddi shuningdek, (hisoblashni о‘quvchiga qoldirami)
Y
ning tashkil
etuvchilarining taqsimot qonuni
Y
1
y
2
y
p
0,4 0,6
2-misol
. Idishda 2 ta oq, 2ta qizil va 1ta kо‘k shar bor. Tavakkaliga 2 ta shar
olindi. Olingan sharlar ichida qizil sharlar soni
X
, kо‘k sharlar soni
Y
tasodifiy
miqdor bо‘lsin.Ikki о‘lchovli
Y
X
,
tasodifiy miqdorning birgalikdagi taqsimot
qonunini tuzing.
X
va
Y
larni alohida taqsimot qonunlarini toping.
61
Yechish:
X
tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bо‘lgan qiymatlari: 0,1
va 2;
Y
ning qabul qiladigan qiymatlari: 0 va 1 mos ehtimolliklarni
hisoblaymiz:
1
,
0
10
1
0
,
0
2
5
2
2
11
C
C
Y
X
P
p
2
,
0
10
2
1
,
0
2
5
1
2
12
C
C
Y
X
P
p
4
,
0
10
4
0
,
1
2
5
1
2
1
2
21
C
C
C
Y
X
P
p
2
,
0
10
2
1
,
1
2
5
1
2
22
C
C
Y
X
P
p
1
,
0
10
1
0
,
2
2
5
2
2
31
C
C
Y
X
P
p
0
1
,
2
32
Y
X
P
p
-mumkin
bо‘lmagan hodisa.
Shunday qilib,
Y
X
,
miqdorning taqsimot qonuni
Y
X
0
1
2
0
0,1
0,4
0,1
1
0,2
0,2
0
Bu yerdan,
3
,
0
2
,
0
1
,
0
0
X
P
;
6
,
0
2
,
0
4
,
0
1
X
P
;
1
,
0
2
X
P
6
,
0
1
,
0
4
,
0
1
,
0
0
Y
P
;
4
,
0
2
,
0
2
,
0
1
Y
P
gi kelib chiqadi.
U holda,
X
va
Y
tasodifiy miqdorlarning alohida taqsimot qonunlari
quyidagi kо‘rinishga ega bо‘ladi.
9.2. Ikki о‘lchovli tasodifiy miqdor taqsimotining taqsimot funksiyasi va
uning xossalari
Ikki о‘lchovli
Y
X
,
tasodifiy miqdorni qaraymiz.
x
va
y
haqiqiy sonlar jufti
bо‘lsin.
Ikki о‘lchovli
Y
X
,
tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi deb,
x
va
y
sonlarning har bir
y
x
,
jufti uchun
X
miqdor
x
dan kichik va
Y
miqdor
y
dan kichik qiymat qabul qilish ehtimolligini aniqlaydigan
y
x
F
,
funksiyaga
aytiladi, ya’ni
y
Y
x
X
P
y
x
F
,
,
(9.2)
Geometrik nuqtai nazardan,
y
x
F
,
funksiya
Oxy
tekisligida
Y
X
,
tasodifiy
miqdorning uchi (
x
,
y
) nuqtada bо‘lib, bu uchdan chapda va pastda joylashgan
cheksiz kvadratga tushish ehtimolligidir ( 14-chizma).
Y
0
1
p
0,6 0,4
X
0
1
2
p
0,3 0,6
0,1
62
14-chizma
Ikki о‘lchovli tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasining asosiy xossalari.
1. Taqsimot funksiya chegaralangan:
1
,
0
y
x
F
2.
y
x
F
,
funksiya har qaysi argumenti bо‘yicha kamaymaydigan funksiya, ya’ni
agar
1
2
x
x
bо‘lsa,
y
x
F
y
x
F
,
,
1
2
, agar
1
2
y
y
bо‘lsa
1
2
,
,
y
x
F
y
x
F
3.Agar
y
x
F
,
funksiyaning biror argumenti
bо‘lsa (limit ma’nosida), u
holda
y
x
F
,
funksiya nolga teng:
0
,
,
,
F
x
F
y
F
4.Agar
y
x
F
,
funksiyaning bitta argumenti
bо‘lsa (limit ma’nosida),
u holda
y
F
y
F
y
F
x
F
x
F
x
F
y
x
2
1
,
;
,
5.Agar ikkala argument ham
bо‘lsa (limit ma’nosida) u holda
1
,
F
3-misol
. 2-misoldagi
Y
X
,
ikki о‘lchovli tasodifiy miqdorning hamda
X
va
Y
tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini toping.
Yechish
:
X
va
Y
ning taqsimot qonunlaridan foydalanib, ularning taqsimot
funksiyalarini topamiz,
2
,
1
2
1
0,9
1
0
,
0,3
0
,
0
1
x
agar
x
аgar
x
agar
x
agar
x
F
1
,
1
1
0
,
0,6
0
,
0
2
y
agar
y
аgar
y
аgar
y
F
Endi
Y
X
,
ikki о‘lchovli tasodifiy miqdorning
y
x
F
,
taqsimot funksiyasini
topamiz:
Y
X
0
x
1
0
x
2
1
x
2
x
0
y
0
0
0
0
1
0
y
0
0,18
0,54
0,6
1
y
0
0,3
0,9
1
4-misol
. Ikki о‘lchovli
Y
X
,
tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi ma’lum:
2
1
3
1
2
1
2
1
,
y
arctg
x
arctg
y
x
F
y
x
,
y
x
0
63
Sinov natijasida
X
tashkil etuvchi
2
1
X
qiymat qabul qilishi va bunda
Y
tashkil etuvchi
3
1
Y
qiymat qabul qilish ehtimolligini toping.
Yechish
: Ikki о‘lchovli tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasining ta’rifiga kо‘ra
y
Y
x
X
P
y
x
F
,
,
.
3
1
,
2
1
y
x
deb olib, izlanayotgan ehtimolni topamiz.
16
9
4
3
4
3
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
3
3
1
2
1
2
2
1
3
1
,
2
1
3
1
,
2
1
arctg
arctg
F
Y
x
P
.
Do'stlaringiz bilan baham: |
