Muxtor sistema m uxtor sistema traektoriyasining muhim xossasi

Misollar. 1. Avval x^’ = x tenglamani olaylik. Unda f (x) = x bo’lib, f '(0) = 1 > 0. Demak, yuqoridagi teoremaga ko’ra x = 0 nuqta notug’un. Agar x^’ = -x tenglamani olsak, unda f (x) = -x va
f '(0) = -1 < 0.Bu holda x = 0 nuqta turg’un bo’ladi. Endi x^’ = p(x -1)(x +1)(x + 2), 0 p = const tenglamani ko’raylik. Unda f( x ) = p ( x -1)( x +1)( x + 2) bo’lib, x₁ = 1, x₂ = -1, x ₃ = -2 nuqtalar muvozanat nuqtalaridan iborat. Hosilalarni isbotlaymiz:
f '(x) = p[(x +1)(x + 2) + (x -1)(x + 2) + (x -1)(x +1)]

4-chizma
Ko’rinib turibdiki, f '(1) = 6p, f'(-1) = -2p, f '(-2) = 3p va p 0 bo’lgani uchun bu hosilalar noldan farqli. Biz 2s +1 = 1 bo’lgan holga egamiz. p > 0 bo’lsa, 6p > 0 va x₁ = 1 nuqta noturg’un; - 2p > 0 va
x₂ = -1 nuqta turg’un; 3 p < 0 va x₃ = -2 nuqta noturg’un bo’ladi ( 4-chizma).
2. Ushbu x = sin x tenglama uchun muvozanat nuqtalari sin x = 0 tenglamaning ildizlaridan iborat. Ildizlar x = n (n - butun son) ko’rinishda yoziladi. Bu holda f'(x) = (sin x)' = cos x bo’lib:

Yuqoridagi teoremaga ko’ra, x = 2k ko’rinishdagi nuqtalar noturg’un, x = (2k +1) ko’rinishdagi nuqtalar esa turg’un bo’ladi. Qayd qilib o’tamizki, berilgan tenglamaning muvozanat nuqtalari sanoqli bo’lib, limit nuqtaga ega emas.