Muxammadjonova muhlisa qizi O’quvchilarni irrasional tengsizliklar yechishga o’rgatish

2-§. IRRATSIONAL TENGSIZLIKLARNI YECHISH USULLARI

Irratsional tengsizliklarni yechishning asosiy usuli - bu berilgan tengsizlikni unga teng kuchli bo`lgan ratsional tengsizliklar yoki bunday tengsizliklar birlashmasiga keltirishdan iboratdir.

Irratsional tengsizliklarni yechishda hatolikga yo`l qo`ymaslik uchun o`zgaruvchi x ning shunday qiymatlari ko`rilishi kerakki, unda tengsizlik tarkibiga kiruvchi funksiyalar aniqlangan bo`lishi kerak, ya’ni bu tengsizlikning aniqlanish sohasi topilib, aniqlanish sohasida yoki uning qismida teng kuchli o`tishni asoslangan holda amalga oshirish talab etiladi.
1-misol. Tengsizlikni yeching
Yechish. Berilgan tengsizlikning aniqlanish sohasi oraliqdan iborat bo’ladi. Bu oraliqni ikkita va to’plamga ajratib ularning har birida berilgan tengsizlikni alohida yechamiz.

1. 
   bo’lsin. Bu oraliqning barcha qiymatlarida berilgan tengsizlikning chap qismi nomanfiy, o’ng qismi esa manfiy bo’ladi. Demak bu oraliq to’laligiga berilgan tengsizliklarning yechimlari to’plamiga kiradi.
   
2. 
   bo’lsin. U holda berilgan tengsizlikning ikkala qismi bu to’plamda nomanfiy va demak berilgan tengsizlik quyidagi tengsizlikga teng kuchli bo’ladi yoki . Ohirgi tengsizlikning yechimlari to’plami oraliq bo’ladi. intervalga tegishli oralig’i saqlanadi. Demak, oraliqda berilgan tengsizlikning yechimlari to’plami bo’ladi.
   

va oraliqlarda topilgan yechimlarni birlashtirib, berilgan tengsizlikning yechimlari to’plami dan iborat ekanligini topamiz.
Javob.
2-misol. Tengsizliklni yeching .
Yechish. Berilgan tengsizlikning aniqlanish sohasi quyidagi tengsizliklar sistemasi bilan aniqlanadi

ya’ni aniqlanish sohasi kesmadan iborat
Aniqlanish sohasida berilgan tengsizlikning ikkala qismi manfiy emas, shuning uchun u quyidagi sistemaga teng kuchli bo’ladi

yoki sistemaga teng kuchli bo’ladi.
tengsizlik ihtiyoriy larda bajarilgani uchun berilgan tengsizlikning yechimlari kesmaga tegishli barcha sonlar bo’ladi.
Javob.
ko’rinishdagi tengsizlik
sistemaga teng kuchli bo’ladi.
ko’rinishdagi tengsizlik esa
tengsizlikka teng kuchli bo’ladi.
3-misol. Tengsizlikni yeching
. (1)
Yechish. Berilgan tengsizlik
(2)
tengsizliklar sistemasiga teng kuchli bo’ladi. Bu sistema birinchi tengsizligini yechimlari , shart bajariladigan barcha lardan iborat bo’ladi, ya’ni kesmaga tegishli barcha sonlar bo’ladi.
, tengsizlikning yechimlari, ya’ni , tengsizlikni yechimlari ikkita va oraliqlardan iborat bo’ladi.
Bundan esa (2) sistemaning yechimi va demak, berilgan sistemaning yechimi
oraliqga tegishli barcha sonlar bo’ladi.
Javob.
4-misol. Tengsizlikni yeching

Yechish. Berilgan tengsizlik
,
tengsizlikga teng kuchli bo’ladi. Bu tengsizlikni umumiy maxrajga keltirib, quyidagi ko’rinishda yozish mumkin
,
ya’ni tengsizlik
,
tengsizlikga teng kuchli bo’ladi. Ohirgi tengsizlikni intervallar usuli bilan yechib, berilgan tengsizlikning yechimlari
oraliqqa tegishli barcha sonlar bo’lishini topamiz.
Javob.
ko’rinishdagi tengsizlik
sistemaga teng kuchli bo’ladi,
ko’rinishdagi tengsizlik
tengsizlikka teng kuchli bo’ladi.
5-misol. Tengsizlikni yeching ,
Yechish. Berilgan tengsizlik
sistemaga teng kuchli bo’ladi.
Bu sistemaning dastlabki ikkita tengsizligidan , ekanligini topamiz. , kvadrat tengsizlikni yechib, ya’ni , tengsizlikni yechib, yechimlarni hosil qilamiz.
Demak berilgan tengsizlikning yechimlari oraliqga tegishli barcha sonlar bo’ladi.
Javob.
6-misol. tengsizlikni yeching
Yechish. Berilgan tengsizlik
sistemaga teng kuchli bo’ladi.
Sistema birinchi tengsizligining yechimlari va
, oraliqlarga tegishli barcha sonlar, ikkinchi tengsizligining yechimlari oraliqga tegishli barcha sonlar, uchinchi tengsizligining yechimlari esa oraliqga tegishli barcha sonlar bo’ladi.
Bulardan berilgan tengsizlikning yechimlari va
oraliqlarga tegishli barcha sonlar bo’lishini topamiz.
Javob. va .
ko’rinishdagi tengsizlik quyidagi tengsizliklar sistemasi birlashmasiga teng kuchli bo’ladi:



ko’rinishdagi tengsizlik
tengsizlikga teng kuchli bo’ladi.
7-misol. Tengsizlikni yeching
.
Yechish. kvadrat uchhad ildizlarga ega.
Shuning uchun berilgan tengsizlik quyidagi sistemalar birlashmasiga

teng kuchli bo’ladi. Birlashmaning ikkinchi sistemasidan ekanligini topamiz.
tengsizlik, ya’ni , tengsizlikni yechib, ni hosil qilamiz. ning bu qiymatlaridan
shartni oraliqga tegishli sonlar qanoatlantiradi.
Bundan berilgan tengsizlikning yechimlari to’plami va
to’plamlar birlashmasi, ya’ni oraliq bo’ladi.
Javob.
8-misol. Tengsizlikni yeching
.
Yechish. Berilgan tengsizlik quyidagi tengsizliklar sistemasi birlashmasiga teng kuchli bo’ladi:

Ularning har birini yechamiz. Birinchi sistema uchun quyidagilarga ega bo’lamiz:
,

Ohirgi tengsizliklar sistemasi quyidagi sistemalar birlashmasiga teng kuchli bo’ladi.

Birinchi sistemadan yechimni hosil qilamiz. Ikkinchi sistema esa yechimga ega emas.
Birlashmaning ikkinchi sistemasi quyidagi sistemaga teng kuchli bo’ladi.
.
Demak berilgan tengsizlikning yechimlari to’plami va oraliqlarga tegishli barcha sonlar bo’ladi.
Javob.
9-misol. Tengsizlikni yeching.
Yechish. ni bilan belgilab, quyidagi kvadrat tengsizlikni olamiz.
,
Uning yechimlari to’plami interval bo’ladi. U holda berilgan tengsizlik quyidagi qo’sh tengsizlikga teng kuchli
,
bo’lib, undan esa quyidagi qo’sh tengsizlikni hosil qilamiz .
Hosil qilingan qo’sh tengsizlikni quyidagi tengsizliklar sistemasi ko’rinishida yozib olamiz.

Bu sistemaning aniqlanish sohasi va ikkita oraliqdan iborat bo’ladi. Sistemasining birinchi tengsizligi uning aniqlanish sohasiga tegishli barcha lar uchun bajariladi. Ikkinchi tengsizligining ikkala qismi nomanfiy bo’lgani uchun, u quyidagi tengsizlikga teng kuchli bo’lib,
. Uning yechimi intervaldan iborat bo’ladi. Demak tengsizliklar sistemasining yechimi, va demak, berilgan tengsizlikning yechimi quyidagi ikkita va oraliqlardan iborat bo’ladi.
Javob.
10-misol. Tengsizlikni yeching

Yechish. Berilgan tengsizlikning aniqlanish sohasi
dan aniqlanib,
kesmadan iborat bo’ladi.
Aniqlanish sohasida berilgan tengsizlikning ikkala qismi manfiy emas, shuning uchun u quyidagi sistemaga teng kuchli bo’ladi.

yoki
da va bo’ladi.
Demak ohirgi sistemaning va demak, berilgan tengsizlikning yechimi
kesmaga tegishli barcha sonlar bo’ladi.
Javob.
11-misol. Tengsizlikni yeching
.
Yechish. Tengsizlikning aniqlanish sohasini
sistemadan topamiz,
u dan iborat.
Berilgan tengsizlikni quyidagi ko’rinishda yozib olamiz
. (20)
bo’lgani uchun,
tengsizlikning aniqlanish sohasini ikki qismga kesmaga va oraliqga ajratish va ularning har birida berilgan tengsizlikni yechish maqsadga muvofiqdir.
kesmada va
tengsizliklar o’rinli, shuning uchun kesmada berilgan tengsizlik yechimga ega emas.
oraliqda va tengsizliklar o’rinli, shuning uchun oraliqga tegishli ihtiyoriy (20) tengsizlikni va demak, berilgan tengsizlikning yechimi bo’ladi.
Demak, berilgan tengsizlikning barcha yechimlari to’plami oraliq bo’ladi.
Javob.
12-misol. Tengsizlikni yeching.
Yechish. a) va shartlardan berilgan tengsizlikning aniqlanish sohasi va ekanligini topamiz.
da berilgan tengsizlik tengsizlikka teng kuchli bo’ladi, bundan bo’ladi.
Ihtiyoriy manfiy uchun tengsizlik o’rinli bo’lgani uchun, darajaga ko’tarish xossasiga asosan, quyidagiga ega bo’lamiz
.
Ikkinchi tomondan ihtiyoriy manfiy uchun quyidagi tengsizlik o’rinli bo’ladi
.
Demak ihtiyoriy manfiy uchun tengsizlik o’rinli bo’ladi, shuning uchun barcha qiymatlar berilgan tengsizlikning yechimi bo’ladi.
oraliqga tegishli barcha lar uchun berilgan tengsizlik quyidagi tengsizlikga teng kuchli bo’ladi
.
Bundan

bo’lib, uni yechish uchun oraliqni ikkita: va to’plamga ajratamiz
oraliqda berilgan tengsizlikning ikkala qismi nomanfiy, shuning uchun u quyidagi tengsizlikga teng kuchlki bo’ladi,
.
Bundan
,
tengsizlikni hosil qilamiz. Bu tengsizlik yechimlari to’plami bo’lib, ulardan ko’rilayotgan oraliqga tegishli yechimlari kesmani tashkil etadi. Demak bu kesmaga tegishli barcha lar berilgan tengsizlikning yechimlari bo’ladi
oraliqda tengsizlikning chap qismi nomanfiy, o’ng qismi esa manfiydir. Shuning uchun bu oraliqga tegishli barcha sonlar uning yechimlari, va demak, berilgan tengsizlikning yechimlari bo’ladi.
Demak berilgan tengsizlikning yechimlari va oraliqlarga tegishli barcha sonlar bo’ladi.
Javob.
b) Berilgan tengsizlikni yechimini quyidagi ko’rinishda yozish mumkin.



Tengsizlik yechimini bu ko’rinishda rasmiylashtirish uchun birlashma va sistema belgisi ma’nosini chuqur tushunib, ularni to’g’ri qo’llash asosida amalga oshirish mumkin.
c) Berilgan tengsizlikni o’zgaruvchini almashtirish usuli bilan ham yechish mumkin.
almashtirish kiritamiz. U holda va bo’ladi. Berilgan tengsizlikda o’zgaruvchini almashtirish natijasida, quyidagi sistemani olamiz.




Demak berilgan tengsizlik quyidagi tengsizliklar birlashmasiga teng kuchli bo’ladi


Shunday qilib, berilgan tengsizlikning barcha yechimlari to’plami to’plamdan iborat bo’ladi.
Javob. .
13-misol. Tengsizlikni yeching.
Yechish. a) Aniqlanish sohasida berilgan tengsizlikni ikkala qismini kvadratga ko’tarib, ga nisbatan to’rtinchi darajali tengsizlikka keltirib, uni yechish murakkab masala bo’lib qoladi. Yechishni soddalashtirish uchun o’zgaruvchini almashtiramiz. almashtirish kiritib ga nisbatan quyidagi tengsizlikgi olamiz .
Bu tengsizlik quyidagi ikkita sistemalar birlashmasiga teng kuchli bo’ladi.

Birlashmaning ikkinchi sistemasidan ekanligini topamiz.
Birinchi sistemaning tengsizligi yechimlari, ya’ni tengsizlikning yechimlari oraliqqa tegishli barcha sonlar bo’lib, birinchi sistemani yechimi kesmaga tegishli barcha sonlar bo’ladi.
Demak . Quyidagi tengsizliklar birlashmasiga teng kuchli bo’ladi.
ekanligini topamiz.
o’zgaruvchiga qaytib, quyidagilarni hosil qilamiz.


Demak berilgan tengsizlikning yechimlari to’plami: va oraliqlarga tegishli barcha sonlar bo’ladi.
Javob.
b) Berilgan tengsizlikni boshqa usulda ham yechish mumkin.
almashtirish kiritamiz. U holda va bo’ladi. Berilgan tengsizlikda o’zgaruvchini alamshtirib quyidagi sistemani hosil qilamiz.
,
,
Shuning uchun berilgan tengsizlik quyidagi tengsizlikka teng kuchli bo’ladi.


Demak berilgan tengsizlikning barcha yechimlari to’plamidan iborat bo’ladi.
Javob.
Ba’zi hollarda irratsional tengsizliklarni yechish irratsional tengsizliklarga keltirib yechiladi.
14-misol. tenglamani yeching.
Yechish. belgilash kiritamiz. U holda bo’lib, bundan bo’ladi. demak berilgan tenglamani quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:
yoki
Bu tenglama quyidagi aralash sistemalar birlashmasiga teng kuchli bo’ladi.


Bu sistemalar birlashmasi yechimi bo’ladi.
Demak, (9) tenglama yechimi tengsizliklar sistemasi yechimiga keltirildi. Uning yechimi bo’ladi.
(3) tenglamani yechish jarayonida bajarilgan barcha almashtirishlar teng kuchli bo’lgani uchun to’plam berilgan tenglamaning yechimi bo’ladi.
Javob.
Ba’zi irratsional tengsizliklarni yechishda ularning grafik tasvirlaridan foydalanish maqsadga muvofiqdir.
15-misol. tengsizlikni yeching.
Yechish. almashtirishlar kiritamiz.
tengsizliklar sistemasi quyidagi yechimlarga ega bo’ladi: agar bo’lsa, bo’ladi. (A) va
agar bo’lsa, bo’ladi. (B)
(A) holda shart yoki
shart agar
va
da bajariladi. Bundan , ya’ni bo’lib, bu shartlardan ikkita va segmentlarni topamiz. Bundan tashqari yoki tengsizlik ham bajarilishi kerak bo’ladi. Tengsizlikning chap qismi va kesmalarda aniqlangan. Oldin topilgan oraliqlar bilan uning umumiy qismini olib ni hosil qilamiz. Tengsizlikni ikkala qismini kvadratga ko’tarib, shakl almashtirishlardan so’ng
.
n i hosil qilamiz.
, kvadrat uchxat kesmada manfiy bo’ladi. Demak yuqoridagi tengsizlik doimo o’rinli bo’ladi, bundan esa (A) hol yechimni beradi.
(B) holda va ga egamiz, bundan va bo’lib, tengsizlik hamda oraliqlarda yechimga ega bo’ladi. Bu sahartlarni taqqoslab (B) holda yechimni olamiz.
Demak, berilgan tengsizlik va oraliqlarda bajariladi, ularni birlashtirib yechimni hosil qilamiz.
Javob.
Parametr qatnashgan tengsizliklarni yechish o`quvchilarning matematik tafakkur qilish qobiliyatlarini rivojlantirishga katta hisa qo`shadi.
16-misol. (4) tengsizlikni yeching.
Yechish. Berilgan tengsizlikning aniqlanish sohasi
dan iborat.
(4) tengsizlikni har ikkala qismini ketma-ket ikki marta kvadratga ko`tarib, soddalashtirsak, quyidagi tengsizlik hosil bo`ladi.
(5)
(5) tengsizlikda bo`lsa, bo`ladi.
Javob: Agar bo`lsa, u holda bo`ladi;
Agar va bo`lsa, tengsizlik yechimga ega emas.
Agar bo`lsa, u holda bo`ladi.
17-misol. Tengsizlikni yeching. (1)
Yechish. Berilgan tengsizlikning aniqlanish sohasi

(6) tengsizlikni har ikkala qismini ketma-ket ikki marta kvadratga ko`tarib, soddalashtirsak, quyidagi tengsizlik hosil bo`ladi.
(7)
(7) tengsizlikda bo`lsa, bo`ladi. (1) tengsizlik aniqlanish sohasidan ma’lumki . demak, da tengsizlik yechimga ega emas.
da tengsizlik yechimi bo`ladi.
Javob: Agar bo`lsa, u holda bo`ladi;
Agar bo`lsa, tengsizlik yechimga ega emas.
Keyingi bobda umumiy o`rta ta’lim maktabi, akademik litseylar matematika kursida irratsional tengsizliklarni yechishga o`rgatishni takomillashtirish y`ollarini ko`rib o`tamiz.