Muxammadjonova muhlisa qizi O’quvchilarni irrasional tengsizliklar yechishga o’rgatish

1.Irratsional tengsizliklarni teng kuchli o‘tish usuli bilan yechish.
Ikkita va (1) tengsizliklarning barcha yechimlar to’plami ustma-ust tushsa, bu tengsizliklar teng kuchli deyiladi. Boshqacha aytganda birinchi tengsizlikning barcha yechimlari to‘plami ikkinchi tengsizlikning ham yechimlari to‘plami bo’lsa va ikkinchi tengsizlikning barcha yechimlari to‘plami birinchi tengsizlikning yechimlari to‘plami bo’lsa, bu ikkala tengsizlik teng kuchli deyiladi. Bundan tashqari agar ikkala tengsizlik yechimga ega bo’lmasa, ular ham teng kuchli deb hisoblanadi.
Bundan esa berilgan tengsizlikni yechish o‘rniga, unga teng kuchli bo‘lgan tengsizlikni yechish mumkin ekanligi kelib chiqadi. Berilgan tengsizlikni unga teng kuchli bo‘lgan tengsizlik bilan almashtirish teng kuchli o‘tish deb ataladi.
Ikkita tengsizlikning M to’plamga tegishli barcha yechimlari ustma-ust tushsa, bu tengsizliklar M to’plamda teng kuchli deyiladi. Bundan esa biror to’plamda, masalan, barcha haqiqiy sonlar to’plamida, ikkita tengsizlik teng kuchli bo’lmagani holda boshqa qandaydir to’plamda teng kuchli bo’lishi mumkinligi kelib chiqadi.
Masalan: tengsizliklar barcha haqiqiy sonlar to’plamida teng kuchli emas, lekin musbat haqiqiy sonlar to’plamida teng kuchli bo’ladi.
Tengsizlikning M to‘plamga tegishli barcha yechimlari shu to‘plamda tengsizliklar birlashmasining barcha yechimlari bilan ustma-ust tushsa, berilgan tengsizlik M to‘plamda tengsizliklar birlashmasiga teng kuchli deyiladi.
M to‘plamda va tengsizliklarning teng kuchliligi quyidagicha belgilanadi.

Yuqoridagi teoremalar va ularning natijalaridan tengsizliklarning teng kuchliligi haqida quyidagi tasdiqlar o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.

1. 
   va tengsizliklar teng kuchlidir.
   
2. 
   va tengsizliklar teng kuchlidir.
   

3.Agar funksiya tengsizlikning aniqlanish sohasida aniqlangan bo’lsa, va tengsizliklar teng kuchli bo’ladi.
Xususiy holda, agar ixtiyoriy haqiqiy son bo’lsa, va tengsizliklar teng kuchli bo’ladi.
4.Agar funksiya tengsizlikning aniqlanish sohasiga tegishli x ning barcha qiymatlarida musbat bo’lsa, va tengsizliklar teng kuchli bo’ladi.
Agar funksiya tengsizlikning aniqlanish sohasiga tegishli x ning barcha qiymatlarida manfiy bo’lsa, va tengsizliklar teng kuchli bo’ladi.
Xususan, agar -musbat haqiqiy son bo’lsa, va tengsizlik teng kuchli bo’ladi.
Agar -manfiy haqiqiy son bo’lsa, va tengsizliklar teng kuchli bo’ladi.
5. va tengsizliklar teng kuchlidir.
6. bo’lganda va tengsizliklar teng kuchli bo’ladi.
7. bo‘lganda va tengsizliklar teng kuchli bo‘ladi.
8. n – natural son bo‘lib, M to‘plamga tegishli barcha x lar uchun va bo‘lsa, va tengsizliklar A to‘plamda teng kuchli bo‘ladi.
9. n – natural son bo‘lganda va tengsizliklar teng kuchli bo‘ladi.
10. n – natural son bo‘lganda va tengsizliklar teng kuchli bo‘ladi.
11. bo‘lib, M to‘plamga tegishli barcha x lar uchun va funksiyalar musbat bo‘lsa, va tengsizliklar teng kuchli bo‘ladi.
12. bo‘lib, A to‘plamga tegishli barcha x lar uchun va funksiyalar musbat bo‘lsa, va tengsizliklar teng kuchli bo‘ladi.
Bundan tashqari ixtiyoriy tengsizliklar sinflarining barchasiga, xususan, irratsional tengsizliklar sinfiga ham ularni yechishda quyidagi teng kuchli formulalar o’rinlidir.
13. ma’noga ega bo’lgan barcha lar to’plami bo’lganda, bo’ladi;
14. ma’noga ega va bo’lgan barcha lar to’plami bo’lganda, bo’ladi.
Yuqoridagi tasdiqlar faqat ( yoki ) ko‘rinishdagi qat’iy tengsizliklar uchun ko‘rib o‘tildi. Qat’iy bo‘lmagan (yoki ) tengsizliklar yechimi to‘plami ( yoki ) tengsizlik va tenglama yechimlari birlashmasidan iborat bo‘lganligi uchun, qat’iy bo‘lmagan tengsizliklarni yechish unga mos qat’iy tengsizlik va tenglamani yechishga keltiriladi.
Bu formulalarni har birini ular o‘rinli bo‘ladigan to‘plamda qo‘llagandagina berilgan tengsizlikka teng kuchli bo‘lgan tengsizlik hosil qilinadi, natijada chet yechimlar ham paydo bo‘lmaydi, yechimlar yo‘qolish hollari ham yuz bermaydi.
Ko‘p hollarda chet yechimlar berilgan tengsizlik aniqlanish sohasini kengayishi hisobiga, ya’ni berilgan tengsizlikning natijasi bo‘lmish tengsizlikka o‘tish natijasida paydo bo‘ladi.
Berilgan tengsizlikdan natijaviy tengsizlikka o‘tish esa quyidagi hollarda:
a) Yuqorida ko‘rib o‘tilgan formulalarni “chapdan – o‘ngga” har biri uchun ko‘rsatilgan to‘plamni hisobga olmagan holda qo‘llanilganda; shuningdek 13 formulani va (yoki va ) shartlarda qo‘llanilganda, ya’ni o‘xshash xadlarni ixchamlaganda;
b) Tengsizlikni maxrajdan qutqarishda;
v) Tengsizlikni darajaga ko‘tarishda;
g) Tengsizlikni potensirlaganda yuz berishi mumkin.
Masalan, 10 formula lar ma’noga ega va bo‘lgan barcha x lar to‘plami bo‘lganda o‘rinli bo‘lishligini ifodalaydi.
Agar bu formulani formal ravishda qo‘llab, tengsizlikni tengsizlikni bilan almashtirsak, berilgan tengsizlikning aniqlanish sohasi kengayishi hisobiga chet yechimlar paydo bo‘ladi.
Haqiqatan ham, tengsizlikning aniqlanish sohasi to‘plamdan iborat va u aniqlanish sohasida tengsizlikka teng kuchli bo‘ladi. Bu tengsizlikni quyidagicha yozib olamiz:
uning yechimlari ekanligini hosil qilamiz.
Bu yechimlar ichidan to‘plam (aniqlanish sohasi)ga tegishli bo‘lgan yechimlarni ajratib olib, berilgan tengsizlik yechimlari to‘plami dan iborat ekanligini topamiz.
tengsizlikning aniqlanish sohasi intervallardan iborat bo‘lib, u aniqlanish sohasida tengsizlikka teng kuchli bo‘ladi. Uning yechimlari intervallardan iborat ekanligini yuqorida ko‘rib o‘tdik. Ular ichidan to‘plam (aniqlanish sohasi)ga tegishli bo‘lgan yechimlarini ajratib olib, berilgan tengsizlikning yechimlarga ega ekanligini hosil qilamiz. Demak, tengsizlikning aniqlanish sohasi kengayishi hisobiga chet yechimlar paydo bo‘ldi. Shuni qayd etish lozimki, tekshirish natijasida chet yechimlarni topish va demak berilgan tengsizlikning to‘g‘ri yechimini topish mumkin. Lekin tengsizliklarni yechishda shunday shakl almashtirishlar ham mavjudki, ularni qo‘llash natijasida tengsizlik yechimlari yo‘qolishi mumkin. Bunday shakl almashtirishlarni esa bajarish mumkin emas, chunki yo‘qotilgan yechimlarni tiklab bo‘lmaydi.
Tengsizliklarni yechish jarayonida quyidagi shakl almashtirishlarni qo‘llash natijasida:
1.Yuqorida ko‘rib o‘tilgan formulalarni har biri uchun ko‘rsatilgan to‘plamda o‘rinli bo‘lmagan holda “o‘ngdan – chapga” qo‘llanilganda, shuningdek 13 formulani va (yoki va ) shartlarda qo‘llanilganda, ya’ni o‘xshash xadlarni ixchamlaganda;
2.Tengsizlikning ikkala qismidan juft darajali ildiz chiqarish natijasida;
3.Tengsizlikning ikkala qismini logarifmlaganda uning yechimlari yo‘qolishi mumkin.
Masalan, agar yuqorida ko‘rib o‘tilgan misolda tengsizlik tengsizlik bilan almashtirilsa, berilgan tengsizlikning aniqlanish sohasi torayishi hisobiga yechimlar to‘plami yo‘qotiladi.
Haqiqatan ham tengsizlikning aniqlanish sohasi ; to‘plamlardan iborat va u o‘zining aniqlanish sohasida tengsizlikka teng kuchli bo‘lib, yechimlarga ega bo‘ladi.
Ular ichidan to‘plam (aniqlanish sohasi)ga tegishli bo‘lgan yechimlarni ajratib olib, berilgan tengsizlik yechimlari ekanligini hosil qilamiz.
tengsizlikning aniqlanish sohasi to‘plamdan iborat bo‘lib, u o‘zining aniqlanish sohasida tengsizlikka teng kuchli va va yechimga ega ekanligini yuqorida ko‘rib o‘tdik. Ular ichidan to‘plam (aniqlanish sohasi)ga tegishli bo‘lgan yechimlarni ajratib olib, berilgan tengsizlik yechimlari ekanligini hosil qilamiz.
Bundan tashqari, tengsizlikning ikkala qismini funksiyaga ko‘paytirish, shuningdek funksiyaga qisqartirish chet yechimlarni paydo bo‘lishiga ham yoki yechimlarni yo‘qolishiga ham olib kelishi mumkin.
Masalan, tengsizlikni tengsizlik bilan almashtirish (ya’ni ikkala qismini x ga ko‘paytirish) natijasida ham chet yechimlar paydo bo‘ladi, ham yechimlar yo‘qotiladi. Haqiqatan ham, tengsizlikning aniqlanish sohasi to‘plamdan iborat. Bu tengsizlikni quyidagicha yozib olamiz. va so‘ngra, , tengsizliklarni hosil qilamiz. Ohirgi tengsizlikni intervallar usuli bilan yechib, ; yechimlar to‘plamini hosil qilamiz.
tengsizlikning aniqlanish sohasi barcha haqiqiy sonlar to‘plamidan iboratdir.
Uni ko‘rinishda yozib olamiz. Intervallar usulini qo‘llab bu tengsizlik yechimlari to‘plami ; ekanligini topamiz. Demak, tengsizlikni tengsizlik bilan almashtirib “yechish” natijasida yechimlar yo‘qotiladi, shuningdek chet yechimlar paydo bo‘ladi.
Tengsizliklarni teng kuchli o‘tish yordamida yechishda teng kuchlilik qaysi sonlar to‘plamida bajarilishini albatta ko‘rsatish zarurdir, chunki tengsizliklarning konkret sinfini yechishda qo‘llanilgan formulalar natijasida hosil qilingan tengsizlik faqat ko‘rsatilgan to‘plamda berilgan tengsizlikga teng kuchli bo‘ladi.
Xususan, irratsional tenglamalarni yechishda quyidagi teng kuchli formulalar faqat ko’rsatilgan to’plamda teng kuchlilikni saqlaydi.
_1. ma’noga ega bo‘lgan barcha x lar to‘plami bo‘lganda,
a) bo‘ladi. b)