Mustaqil ta’lim uchun Reja

Aim.Uz

Mustaqil ta’lim uchun

Reja:

1. 
   Stoks formulasi.
   

2. Ostrogradskiy formulasi

Stoks formulasi

Stoks formulasi sirt integrali va egri chiziqli integral o’rtasidagi bog’liqlikni ifodalaydi.

Faraz qilaylik S sirt z=z (x,y) tenglama bilan berilgan bo’lib y vа xususiy hosilalari S ning Оху dagi proyeksiyasi D dа uzluksiz bo’lsin. L- S ni chegaralovchi chiziq, ℓ -esa D ni chegaralovchi chiziq.

Теоrema. Аgar P(x,y,z) funktsiya o’zining 1-tartibli xususiy hosilalari bilan S-da uzluksiz bo’lsa, quyidagi formula o’rinli bo’ladi.

(1)

bu yerda lar S-sirtga o’tkazilgan normalning yo’naltiruvchi kosinuslari. L- dа yo’nalish «+» deb olinadi.

Misol Stoks formulasi yordamida

integralni tenglama bilan berilgan aylana va S: x²+y²+z²=1 sferaning yuqori yarmi (z>0) bo’yicha hisoblang.

Echish

Stoks formulasi

Mаvzu bo’yicha takrorlash savollari

1. 
   Ostrogradskiy formulasini bilasizmi?
   
2. 
   Ostrogradskiy formulasi haqidagi teoremani bilasizmi?
   
3. 
   Stoks formulasini bilasizmi?
   
4. 
   Stoks teoremasini keltiring
   

Оstrogradskiy formulasi

Оstrogradskiy formulasi yopiq sirt bo’yicha olingan sirt integrali va shu sirt bilan chegaralangan fazoviy soha bo’yicha olingan uch o’lchovli integral orasidagi bog’liqlikni ifodalaydi. Оstrogradskiy formulasi matematik analiz va uning tadbiqlarida keng qo’llaniladi.

Bu formulani yopiq fazoviy soha uchun isbotlaymiz. Uning chegarasi koordinata o’qlariga parallel to’g’ri chiziq bilan ko’pi bilan ikkita nuqtasida kesadi. Bunday sohani oddiy soha deyiladi. Bunda ushbu sohani chegaralovchi sirt tashqi tomonini qaraymiz. Sirt silliq yoki bo’lakli silliq deb qaraladi.

Теоrema. Faraz qilaylik V- оddiy yopiq, S-sirt bilan chegaralangan soha vа funktsiyalar o’zlarining birinchi tartibli xususiy hosilalari bilan berilgan sohada uzluksiz bo’lsin. U holda quyidagi, Оstrogradskiy formulasi deb ataluvchi

formula o’rinli bo’ladi.

Мisol. integralni piramida sirti bo’yicha hisoblang.

Yechish. Ushbu integralni (1) formula yordamida hisoblaymiz, bo’lgani uchun bo’ladi, yuqoridagilarni (1) formulaga qo’yamiz

=







Gamil’ton operatori va uning ba’zi bir tadbiqlari

Biror bir u(x,y,z) funktsiya berilgan bo’lsin, u biror D sohaning har bir nuqtasida aniqlangan va differentsiallanuvchi bo’lsa u holda bu funktsiya gradiyenti

(1) kabi aniqlanadi.

Gradiyentni (2) ko’rinishda ham belgilanadi, - belgi “nabla” deb o’qiladi.

1. 
   (2) tenglikni ko’rinishda yozamiz, bu yerda (3) “simvolik vector” deyiladi. (3) ga Gamil’ton operatori yoki “nabla” operatori deyiladi.
   
2. 
   va vectorlar skalyar ko’paytmasini ko’raylik
   

(4)

Demak, bo’lar ekan

3. va vektorlarning vector ko’paytmasini hisoblaylik.

= (5)

4. vector maydon potenyial vector maydon deyiladi, agar bo’lsa, ya’ni u biror u(x,y,z) skalyar funktsiyaning gradiyenti bo’lsa , bu holda vektorning proyeksiyalari

bo’ladi.

Ba’zi tadbiqlarda “ikkinchi” tartibli deb ataluvchi amallar, ya’ni yuqorida ko’rsatilgan uchta amalni “juft-juft” olingan ko’p qo’llaniladi.

1⁰ . haqiqatdan ham

bu yerda uch vektorning aralash ko’paytmasi, ulardan 2 tasi bir xil bo’lgani uchun ularning aralash ko’paytmasi 0 ga teng bo’ladi.

2⁰ .

3⁰. bu yerda Laplas operatori deyiladi.

,

tenglama Laplas tenglamasi deyiladi.