Mustaqil ishi Mavzu: Tekshirdi: Andijon 2022-yil

   _n

n 1
n 1
n 1

Bu yerdan ko‘rinadiki (4) qator uzoqlashuvchi, chunki u garmonik qatorni ikkiga ko‘paytirishdan hosil bo‘lgan.
Ishorasi o‘zgaruvchi qatorlar. Endi ishorasi navbatlanuvchi sonli qatorlarni xususiy hol sifatida o‘z ichiga oluvchi ishorasi o‘zgaruvchi qatorlarni qaraymiz.
2-ta’rif: Agar sonli qatorning hadlari orasida musbat qiymatlilari ham, manfiy qiymatlilari ham bo‘lsa, u ishorasi o‘zgaruvchi qator dеb ataladi.
Ishorasi o‘zgaruvchi sonli qatorlarni

u₁ 
u₂   u_n


_u_k
k 1
(7)

ko‘rinishda yozsak, unda u_n (n=1,2,3, ∙ ∙ ∙ ) ishoralari ixtiyoriy bo‘lishini yana bir marta ta’kidlab o‘tamiz.
Masalan,
1  ¹  ¹  ¹  ¹  ¹  ¹  ¹   ,
2 3 4 5 6 7 8

_{sin 1 } sin 2 _ sin 3 _{  } sin n _{ }
2 3 n
ishorasi o‘zgaruvchi sonli qatorlar bo‘ladi.
Ishorasi o‘zgaruvchi (7) sonli qator yaqinlashuvini tekshirish uchun uning hadlarini absolut qiymatlaridan tuzilgan

u₁ 
u₂  
u_n  

_ u_k
k 1
(8)

musbat hadli sonli qatorni qaraymiz. Bu holda (7) sonli qator yaqinlashuvining yetarli sharti ushbu teorema orqali ifodalanadi.

2. 
   teorema: Agar (8) qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda (7) qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.
   

n

n

S
Isbot: S_nva||S_n|| orqali mos ravishda (7) va (8) sonli qatorlarning n-xususiy

yig’indilarinibelgilaymiz.Bundan tashqari
^{S } va

• 
  orqali mos ravishda S_n xususiy
  

n

n

S
yig’indiga kiruvchi musbat ishorali hadlar va manfiy ishorali hadlarning absolut

qiymatlari yig’indilarini belgilaymiz.
^{S } va

• 
  (n=1,2,3, ∙ ∙ ∙ ) musbat qiymatli va
  

monoton o‘suvchi sonli ketma-ketliklarni tashkil etadi. Teorema shartiga ko‘ra

^{lim S  A} mavjud va chekli. Bu yerdan, ^{Sn  S   S }
tenglikka asosan,

n ^{n n n}

monoton o‘suvchi ^{S } va ^{S }
(n=1,2,3, ∙ ∙ ∙ ) ketma-ketliklar yuqoridan A musbat son

n n

n

n
bilan chegaralangan ekanligi kelib chiqadi. Bu xulosadan o‘z navbatida

lim
n 
S ^  S ^ ,
lim
n 
S ^  S ^
limitlar mavjud va chekli ekanligini ko‘ramiz. Va

nihoyat,
^{Sn  S   S } ekanligidan hamda limit xossalaridan foydalanib,

n n
lim S_n 
lim (S ^  S ^ )  lim S ^ 
lim S ^  S ^  S ^

n 
n  ^{n n} n  ⁿ
n  ⁿ

natijani olamiz. Bundan, ta’rifga asosan, ishorasi o‘zgaruvchi (7) sonli qator yaqinlashuvchi ekanligiga ishonch hosil etamiz. Teorema isboti yakunlandi.
Misol sifatida

_{cos } cos2
₂3

• 
  cos3
  

₃3
_ cosn _
n3
(0     )
(9)

ishorasi o‘zgaruvchi sonli qatorning yaqinlashuvini tekshiramiz. Buning uchun uning hadlari absolut qiymatlaridan tuzilgan

cos  
₂3 ₃3
  
_n3
  (0     )
(10)

sonli qatorni qaraymiz. Bu qatorda |cosnα|≤1ekanligidan uning uchun

1  ¹
₂3
 ¹   ¹  
₃3 _n3

majoranta qator bo‘ladi. Bu qator parametri p=3>1 bo‘lgan umumlashgan garmonik qator sifatida yaqinlashuvchi. Demak (10) qator yaqinlashuvchi va shu sababli (9) qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Absolut va shartli yaqinlashuvchi qatorlar. Yuqorida ko‘rib o‘tilgan 2- teoremadagi shart ishorasi o‘zgaruvchi (7) sonli qator yaqinlashuvi uchun yetarli,

ammo zaruriy bo‘lmaydi. Demak (7) qator yaqinlashuvchi ekanligidan (8) qatorning yaqinlashuvchiligi har doim ham kelib chiqmaydi. Masalan,

1   
  (1)^{n1 1
 }(11)

ishorasi navbatlanuvchi (demak ishorasi o‘zgaruvchi ) sonli qator Leybnits alomatiga ko‘ra yaqinlashuvchi. Ammo uning hadlarining absolut qiymatlaridan tuzilgan

1   
  ¹  

sonli qator parametri p=0.5<1 bo‘lgan umumlashgan garmonik qator sifatida uzoqlashuvchi bo‘ladi.

2. 
   ta’rif: Agar (8) qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda ishorasi o‘zgaruvchi (7) sonli qator absolut yaqinlashuvchi dеyiladi. Agar (8) qator uzoqlashuvchi bo‘lib, ishorasi o‘zgaruvchi (7) sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda (7) shartli yaqinlashuvchi qator dеb ataladi.
   

Masalan, (9) qator absolut , (11) qator esa shartli yaqinlashuvchidir.


^{Absolut yaqinlashuvchi} ^u_k
k 1
sonli qatorlar chekli
n
^u_k ^{yig’indilarga}
k 1

o‘xshash xususiyatlarga ega bo‘ladi. Masalan, ularni o‘zaro qo‘shganda, ayirganda yoki ko‘paytirganda yana absolut yaqinlashuvchi sonli qatorlar hosil bo‘ladi. Bundan tashqari ular uchun quyidagi teorema ham o‘rinlidir.


3. 
   teorema:
   

_u_k
k 1
qator absolut yaqinlashuvchi va uning yig’indisi S bo‘lsin.

Unda bu qator hadlarining o‘rinlarini ixtiyoriy ravishda almashtirishdan hosil

bo‘lgan
 _u~
sonli qator hamabsolut yaqinlashuvchi va uning yig’indisi ham S

bo‘ladi.
 _k k 1

Bu teoremani isbotsiz qabul etamiz.
Ammo shartli yaqinlashuvchi sonli qatorlar uchun yuqoridagi teorema tasdig’i o‘rinli bo‘lmaydi. Bu mashhur olmon matematigi G.Riman (1826–1866 y.) tomonidan isbotlangan ushbu teoremadan kelib chiqadi.


3. 
   ^teorema: ^u_k
   

k 1
qator shartli yaqinlashuvchi va uning yig’indisi S bo‘lsin.

Unda bu qator hadlarining o‘rinlarini shunday almashtirish mumkinki, natijada hosil

bo‘lgan
 _u~
sonli qator yig’indisi oldindan berilgan ixtiyoriy S ≠S soniga teng

^{ k 0}
k 1

bo‘ladi. Bundan tashqari
 _u~
sonli qator uzoqlashuvchi bo‘lishiga ham erishish

mumkin.
 _k k 1

Bu teoremaning isboti ancha murakkab bo‘lgani uchun buni ham isbotsiz qabul etib, undagi tasdiqni ushbu misol orqali ko‘rsatish bilan chegaralanamiz. Bizga ma’lumki, oldin ko‘rib o‘tilgan (2) sonli qator

1  ¹  ¹  ¹    (1)^{n1 1}  
2 3 4 n
shartli yaqinlashuvchi va uning yig’indisi S=ln2. Bu qator hadlarining joylarini shunday almashtiramizki, bitta musbat haddan keyin ikkita manfiy had kelsin:

1  ¹  ¹  ¹  ¹  ¹  ¹  ¹  ¹
   ¹  ¹  ¹  

2 4 3 6 8 5 10 12
2k  1 4k  2 4k

Berilgan va hosil etilgan sonli qatorlarning n-xususiy yig’indilarini mos
~
ravishda S_n va ^Sn kabi belgilaymiz. Bu holda quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz:

~ ^{1 1}
1 1 1
1 1 1
1 1 1

S_3n  (1  ₂  ₄)  (₃  ₆
 )  ( 
8 5 10
 )    ( 12
2n  1 ^
4n  2 ^ 4n^{) }

 (¹  ¹)  (¹  ¹)  ( ¹  ¹ )    ( ¹
 ¹ ) 

2 4 6 8 10 12
4n  2 4n

^{ 1 (1  1  1  1  1  1  1  1 )  1 S} .

2 2 3 4 5 6
2(n 1) 2n
₂ 2n

Bu yerdan quyidagi natijalar kelib chiqadi:

~
lim S_3n 
1 1

1
lim S_2n  S  ln 2 ,

n
~ ~ ^1
n 2 2 2
~ ^{1 1 1}

lim
n
~
^S3n1 ^
lim (S_3n 
n
~
) 
2n  1
1
lim
n
S_3n 
~
lim 
^n 2n  1
1
ln 2  0 
2
1
ln 2 ,
2
1

lim
n
^S3n  2 ^
~
lim (S_{3n 1} 
n
1
4n  2^{) }
lim
n
^S3n 1 ^
lim 
^n 4n  2
ln 2  0 
2
ln 2
2

.Demak,
lim S_n 
n
₂ ^{ln 2} , ya’ni hosil qilingan qator yaqinlashuvchi va uning

yig’indisi berilgan qator yig’indisining yarmiga teng.

Tayanch iboralar

Ishoralari almashinuvchi qatorlar – hadlarining ishoralari navbatma- navbat almashinuvchi qatorlar.
O‘zgaruvchan ishorali qatorlar – hadlarining ichida manfiylari ham musbatlari ham mavjud bo‘lgan qatorlar.
Abel teoremasi – ishoralari almashinuvchi qatorlar uchun teorema.
Absolyut yaqinlashuvchi qatorlar – ishoralari almashinuvchi va o‘zgaruvchan ishorali qatorlarning absolyut qiymatlaridan tuzilgan qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, berilgan qator absolyut yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Shartli yaqinlashuvchi qatorlar – ishoralari almashinuvchi va o‘zgaruvchan ishorali qatorlarning absolyut qiymatlaridan tuzilgan qator uzoqlashuvchi bo‘lsa, berilgan qator shartli yaqinlashuvchi bo‘ladi.