Mustaqil ishi Mavzu: Tekshirdi: Andijon 2022-yil

l< 1 bo‘lganda qator yaqinlashuvchi;

l> 1 bo‘lganda qator uzoqlashuvchi:

l = 1 bo‘lganda qator yaqinlashuvchi ham uzoqlashuvchi ham bo‘lishi mumkin.(Bu holda boshqa alomatlar bilan tekshiriladi.)

Isbot. 1) ^{l  1}bo‘lsin. ^{l  q  1} ni qanoatlantiruvchi q ni tanlab olamiz. U holda

(3) ga asosan birorta N dan boshlab
^un1 _{ q} u_n
o‘rinli bo‘ladi. Yani

Quyidagi va

u_{N 1}  qu_N

u  qu  q u
2
N 2 N 1 N

u  qu  q u  q u
2 3
N 3 N 2 N 1 N


u₁  u₂  u₃  ...  u_N  u_{N 1}  u_{N 2}  ...
(4)

n n n
u  qu  q²u  ... (5)
qator hadlarini taqqoslab, (5) qatorning hadlari maxraji q<1 gеomеtrik progrеssiya ekanini ko‘ramiz. Demak, (5) qator yaqinlashuvchidir. (4) ning hadlari biror N nomerdan boshlab (5) qatorning mos hadlaridan kichik. Bundan (4) qatorning yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.

2). l>1 bo‘lsa, (3) dan
^un1  1 _ u  u


hosil bo‘ladi. Bu tеngsizlik barcha

u
n1 n
n
n>N lar uchun bajariladi va dеmak, qatorning umumiy hadi 0 (nol)ga intilmaydi.

3-misol. ^{1  1  1  1  ...  1  ...}
qator yaqinlashuvchilikka tekshirilsin.

2! 3! 4! n!

Yechish.

u  ¹ , u 


¹ , lim ^un1

 lim ¹

^{ 0  1} . Dеmak, qator

n

yaqinlashuvchidir.

_n! n1
n  1!
n _un
n _{n  1}

4. 
   n
   misol.

2 _ 2² _ 2³ _ 2⁴ _
...  ²
 ...
qator yaqinlashuvchi ekanini ko‘rsating.

1 2 3
₂n
4 n
₂n1

Yechish. u_n 
n ^{, un1 } n  1 ^,

_lim ^un1
 lim
₂n1  _n
 2 lim ⁿ
 2 lim^1 
^{1 }  2  1_.

n _un
^n n  1 2ⁿ
n _{n  1}
n_{ n }




Demak, qator uzoqlashadi.

4. misol.

¹  ²  ³  ... 

ⁿ  ...
qator yaqinlashuvchilikka tekshirilsin.

2 3 4
n  1

Yechish. ^un

_ n n  1
u
^{, u}n1
_ n  1 _.
n  2
n  1
n  1
n²  2n  1

_lim n1
 lim   lim

 1 _.

n _un
^n n  2 n
n
n ²  2n

^un1
u_n

• 
  1  u
  

n1

• 
  ^un .
  

Bundan qator uzoqlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.

Koshi alomati. Agar (1)sonli qator uchun


n
chekli limit mavjud bo‘lsa, u holda:

1. 
   l<1 bo‘lganda qator yeqinlashuvchi;
   
2. 
   l>1 bo‘lganda qator uzoqlashuvchi:
   

(4)

3. l=1 bo‘lganda qator yaqinlashuvchi ham uzoqlashuvchi ham bo‘lishi mumkin.(Bu holda boshqa alomatlar bilan tekshiriladi.)

 ¹ 1 
¹ 2
 ¹ n

^Misol. _{1  12} 
^{ }1  2^{2 
 ... } _{1  n2} 

• 
  ^... qatorni yaqinlashishga tеkshiring.
  

     


Yechish. Bu yеrda

 ¹ n
^{un } _{1  n2}  ^.

Koshi alomatiga ko‘ra

l  lim ⁿ u_n

 lim ^{n }




¹ n
₂ 

 lim


¹  0 .

n
n
_1  n _
n _{1  n}


l<1. Dеmak, bеrilgan qator yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Intеgral alomati. (1) sonli qator hadlari uchun
u₁  u₂  u₃  ...  u_n  ...

bo‘lib,

bo‘lganda

f (1)  u₁ ,


f ( 2 )  u₂ , f ( 3 )  u₃ , ...,


f n  u_n , ...

_ f (x)dx
1
(5)

xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda (1) qator yaqinlashuvchi bo‘ladi, agar (5) uzoqlashuvchi bo‘lsa, u holda (1) qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Yuqorida barcha hadlari musbat bo‘lgan sonli qatorlar qaralgan edi. Bu yerda hadlari ham musbat, ham manfiy ishorali bo‘lgan sonli qatorlarning yaqinlashuvini aniqlash masalasini qaraymiz.
Ishorasi almashinuvchi sonli qatorlar. Dastlab hadlarining ishoralari turlicha bo‘lgan sonli qatorlarning maxsus bir holini ko‘rib chiqamiz.
1-ta’rif: Barcha hadlari musbat bo‘lgan u₁, u₂ , ∙ ∙ ∙, u_n , ∙ ∙ ∙ sonli ketma- kеtlikdan tuzilgan



k
^ (1)^{k 1}u
k 1
 u₁

• 
  u₂
  

• 
  u₃
  

• 
  u₄
  

 (1)^n1u_n 
(u_n

• 
  0)
  

(1)

ko‘rinishdagi qator ishorasi almaashinuvchi qator dеb ataladi.
Masalan,

1  ¹  ¹  ¹    (1)^{n1 1}  
, (2)

2 3 4 n

1  ¹  ¹  ¹    (1)^{n1 1}
  , (3)

3 5 7
  ¹ 
3  1

1
3  1

2n  1
 


^ (4)

ishorasi almashinuvchi qatorlar bo‘ladi. Bunday qatorlar yaqinlashuvini quyidagi teorema yordamida tekshirish mumkin.
1-teorema (Leybnits alomati): Ishorasi almashinuvchi (1) qatorning hadlari absolut qiymatlari bo‘yicha monoton kamayuvchi va nolga intiluvchi, ya’ni
u₁ >u₂ >u₃ > ∙ ∙ ∙ >u_n> ∙ ∙ ∙ (5)

va
lim u_n  0
n

(6)

shartlarni qanoatlantirsin. Unda bu qator yaqinlashuvchi va uning yig’indisi S uchun 0u₁ qo‘sh tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.

Isbot: (1) qatorning dastlabki n=2m ta (m=1,2,3, ∙ ∙ ∙) hadidan hosil qilingan
S_2m xususiy yig’indilar ketma-ketligini qaraymiz:
^{S2m  (u1  u2)  (u3  u4)  (u2m1  u2m)} .
Teoremadagi (5) shartga asosan bu yig’indida har bir qavs ichidagi ifoda musbatdir. Bu yerdan S_2m>0 va monoton o‘suvchi ekanligi kelib chiqadi. Endi S_2m xususiy yig’indini quyidagi ko‘rinishda ifodalaymiz:
^{S2m  u1  (u2  u3)  (u4  u5)  (u2m2  u2m1)  u2m} .
Bunda, (5) shartga ko‘ra, har bir qavs ichidagi ifoda musbat va shu sababli
S_2m<u₁ bo‘ladi. Shunday qilib, S_2m xususiy yig’indilar ketma-ketligi monoton

o‘suvchi va yuqoridan u₁ soni bilan chegaralangan. Bundan
lim
m
S_2m  S
limit

mavjud va 0<S≤u₁ ekanligi kelib chiqadi. Bu bilan teorema tasdig’i faqat n=2m hol uchun isbotlandi. Agar n=2m+1 bo‘lsa, unda teoremadagi (6) shart va oldingi natijadan foydalanib, ushbu tenglikka ega bo‘lamiz:

^S2m 1 ^{ S}2m ^{ u}2m 1 ^
lim
n
^S2m 1 ^
lim
n
S_2m 
lim
n
u_{2m 1}  S  0  S .

Demak,
lim
n
S_n  S
limit mavjud, ya’ni ishorasi almashinuvchi (1) sonli qator

yaqinlashuvchi va uning yig’indisi 0<S≤u₁ bo‘ladi. Teorema isboti yakunlandi.
Masalan, yuqorida keltirilgan (2) va (3) ishorasi almashinuvchi qatorlar Leybnits alomatidagi ikkala shartni ham qanoatlantiradi va shu sababli ular yaqinlashuvchi bo‘lib, ularning yig’indilari u₁=1 sonidan katta bo‘lmaydi. Kelgusida [§5, (22) ga qarang] (2) qator yig’indisi S=ln2 , (3) qator yig’indisi esa [§6, (7) ga qarang] S=π/4 ekanligini ko‘ramiz. Ishorasi almashinuvchi (4) qator uchun Leybnits alomatining (6) sharti bajariladi, ammo bu qator hadlari monoton kamayuvchi emas, ya’ni (5) shart bajarilmaydi. Shu sababli bu qator uchun Leybnits alomatini qo‘llab bo‘lmaydi. Bu qatorni tekshirish uchun uni quyidagi ko‘rinishda yozamiz:

(
 
(  )  (
n  1  1)  (
 1) _{ 2} ^ 1 _.