Mustaqil ishi Mavzu: Ko‘phadlar qiymatlarini hisoblashda Gorner sxemasi. Toshkent 2022 Reja

1-xulosa. Agar x ning har qanday qiymatida P(x) ko’phad nolga teng bo’lsa, u xolda uning barcha koeffitsiyentlari nolga teng bo’ladi.
Isbot. Barcha x € R uchun P (x)=0 bo’lsin. Agar P(x) ning biror koeffitsiyenti nolga teng bo’lmsa, 4-teoremaga muvofiq shunday x=b soni topiladiki, unda P(b)≠0 bo’ladi. Bu esa x € R uchun P(x)=0 bo’lishlik shartiga zid. Demak, barcha koeffitsiyentlar nolga teng.
2-xulosa. Aynan teng P(x) va Q(x) ko’phadlarda x ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlari teng bo’ladi.
Isbot. P(x) ≡ Q(x) bo’lgani uchun P(x)-Q(x) ≡ 0 bo’ladi. 1-xulosaga ko’ra, bu ayirmaning barcha koeffitsiyentlari nolga teng. Bundan, P(x) va Q(x) ko’phadlarning mos koeffitsiyentlari teng bo’lishi kelib chiqadi.
Ko’phadlarning tengligini ikki xil ko’rinishda bo’ladi.

1. 
   Algebraik manoda
   
2. 
   Funksional manodagi ko’phadlar tengligi.
   

1. Agar ikkita ko’phadning nomalumlarning bir xil darajadagi oldidagi koiffitsentlari teng bo’lsa bunday ko’phadlar o’zaro algebraic teng ko’phadlar deyiladi.
2. Agar o’zgaruvchilarning biror cheksiz sohasidan olingan barcha qiymatlarida funksiyaning qiymatlari mos ravishda teng bo’lsa bunday ko’phadlar funksional manodagi ko’phadlar deyiladi.

Ko’phadlar ustida amallar. Qoldiqli bo`lish haqida teorema

Qisqa ko`paytirish formulalarini umumlashmalari . Agar ko’phadni ko’phadga ko’paytirish qoidalaridan foydalanib , zarur soddalashtirishlarni bajarsak , quyidagi formulalar hosil bo`ladi .
(x α)² =x² 2 αx+ α²
(x α)³ = x³ 3x² α +3x α² α²
(x+ α)(x- α)=x²- α²
(x+ α)( x² + αx+ α²)=x³+ α³
(x-α)( x² + αx+ α²)=x³- α³
(x+y+z)²=x²+y²+z² +2xy+2xz+2yz.
va hokazo.
Endi x+α ikkihadni m natural ko`rsatgichli darajaga ko`tarish qonuniyati bilan tanishamiz . Shu maqsadda (x+α) , (x+α)² , (x+α)³, (x+α)⁴ va hakazo darajalarga ko`paytirishni bajarib , hosil bo`lgan yoyilmaning koeffitsiyentlarini kuzataylik :
(x+α)¹=1x+1α
(x+α)²=1x²+2αx +1α²,
(x+α)³=1x³+3x²α+3xα²+1α³.
Yoyilmalardan bosh koeffitsiyentlar 1 ga tengligini ko`ramiz . Oxirigi ko`phadni x+α ga ko`paytirib ,
(x+α)<sup>4</sup>=1x<sup>4</sup>+4x<sup>3</sup> α +6x<sup>2</sup> α<sup>2</sup>+4 α <sup>3</sup>x+1 α<sup>4</sup>
ni hosil qilamiz . Shu kabi
(x+α)<sup>5</sup>=1x<sup>5</sup>+5x<sup>4</sup> α +10x<sup>3</sup> α<sup>2</sup>+10 α <sup>3</sup>x<sup>2</sup>+5xα<sup>4</sup>+1α<sup>5</sup>
va hakazolarni hosil qilamiz .
(x+α)<sup>n</sup> uchun quyidagiga ega bo`lamiz:
1) Yoyilmadagi barcha hadlarni soni x+α ikkihad ko`tarilayotgan daraja ko`rsatgichidan bitta ortiq , yani hadlar soni n+1 ga teng ;
2) x o`zgaruvchining ko`rsatgichi n dan 0 gacha 1 ta ga ketma-ket kamayib , α o`zgaruvchining darajasi esa 0 dan n gacha ketma-ket o`sib boradi . Har bir hadga x va α ning darajalari yig`indisi n ga teng ;
3) Yoyilma boshidan va oxiridan teng uzoqlikdagi hadlarning koeffitsiyentlari o`zaro teng , bunda birinchi va oxirigi hadlarining koeffitsiyentlari 1 ga teng ;
4) (x+α)⁰ , (x+α)¹ , (x+α)² , (x+α)³, (x+α)⁴ , (x+α)⁵ va (x+α)⁶ yoyilmalari koeffitsiyentlarini uchburchaksimon ko`rinishida joylashtiraylik:
1 (n=0)
1 1 (n=1)
1 2 1 (n=2)
1 3 3 1 (n=3)
1 4 6 4 1 (n=4)
1 5 10 10 5 1 (n=5)
1 6 15 20 15 6 1 (n=6)

Har bir satrning koeffitsiyenti undan oldingi satr qo`shni koeffitsiyentlari yig`indisiga teng (strelka bilan ko`rsatilgan ) .

Koeffitsiyentlarining bu uchburchak jadvali Paskal uchburchagi nomi bilan ataladi . Undan foydalanib , (x+α) ⁶=x⁶+6x⁵ α +15x⁴ α²+20 α ³x³+15x² α⁴ +6xα⁵+α⁶ ekanligini ko`ramiz .
n ning katta qiymatlarida paskal ucburchagidan foydalanish ancha noqulay . Masalan n=20 da hisoblash uchun dastlabki 19 qatorni yozish kerak bo`ladi .
Umumiy holda ushbu Nyuton binomi formulasidan foydalaniladi :