Mustaqil ish Mavzu: Funksiyaning uzluksizligi. Funksiyaning uzulish nuqtalari va ularning turlari

munosabatga ega bo`lamiz. Bundan esa Dx®0 da Dy®0 bo`lishi kelib chiqadi.

Aytaylik, y=f(x) funksiya xÌR to`plamda aniqlangan bo`lib, x₀(x₀ÎX) to`plamning (o’ng va chap) limit nuqtasi bo`lsin. Bunda x®x₀ da f(x) funksiya uchun quyidagi uch holdan bittasigina bajariladi:

1)               chekli f(x₀-0), f(x₀+0) chap va o`ng limitlar mavjud va

f(x₀-0)=f(x₀+0)=f(x₀) tenglik o`rinli. Bu holda f(x) funksiya x=x<sub>0</sub> da uzluksiz bo`ladi;

2) f(x₀-0), f(x₀+0) lar mavjud, lekin f(x₀-0)=f(x₀+0)=f(x₀) tengliklar bajarilmaydi, u holda f(x)®x=x₀ nuqtada bir tur uzilishga ega deyiladi;

3) f(x₀-0), f(x₀+0) larning birortasi cheksiz yoki mavjud emas. Bu holda x₀ nuqtada 2 tur uzilishga ega deyiladi;

4) f(x₀-0)=f(x₀+0)¹f(x₀) bo`lsa bunday uzilish, bartaraf qilish mumkin bo`lgan uzilish deyiladi.

Misol. Ushbu f(x)=[x] funksiyaning x₀=2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega ekanligini ko`rsating.

Yechish. Demak,  [x]=1,   =2

Bundan esa berilgan funksiyaning x₀=2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega ekanligi kelib chiqadi.

 

Uzluksiz funksiyaning xossalari

 

Berilgan f(x) va q(x) funksiyalar X to`plamda aniqlangan bo`lib, x₀ÎX nuqta X to`plamning limit nuqtasi bo`lsin.

1-teorema. Agar f(x) va q(x) funksiyalar x₀ nuqtada uzluksiz bo`lsa u holda f(x)±q(x),  f(x)×q(x),   : (q(x)¹0), "xÎX  funksiyalar ham x₀ nuqtada uzluksiz bo’ladi.

1-misol. Ushbu f(x)=3x³+sin²x funksiyaning x=R da uzluksizligini ko`rsating.

Yechish. j(x)=x, q(x)=sinx funksiyalar R uzluksiz. Bunda f(x) funksiyani f(x)=3×x×x×x+sinx×sinx ko`rinishda yozamiz, u holda uzluksiz funksiyalar ustidagi arifmetik amallarga ko`ra, f(x) funksiyaning R da uzluksizligi kelib chiqadi.

2-teorema. Agar y=f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo`lsa, u holda [a;b] kesmada funksiya o`zining eng kichik va eng katta qiymatiga erishadi, ya’ni  shunday   nuqtalar mavjudki, barcha  lar uchun   va   tengsizliklar o`rinli bo`ladi.

Funksiyani  qiymatini y=f(x) funksiyaning [a,b] kesmadagi eng katta qiymati deb,   ni esa eng kichik qiymati deb ataymiz. Bu teorema qisqacha bunday ifodalanadi:            kesmada uzluksiz

funksiya hech bo`lmaganda bir marta eng katta M qiymatga va eng kichik m qiymatga erishadi.

3-teorema. Agar y=f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo`lib, bu kesmaning uchlarida turli ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u holda [a,b] kesmada hech bo`lmaganda shunday bir x=c nuqta topiladiki, bu nuqtada funksiya nolga aylanadi:  f(c)=0; a

Misol. funksiya berilgan. Bu funksiya [1; 2] kesmada uzluksiz. Demak, bu kesmada nolga aylanadigan nuqta mavjud. Haqiqatdan ham   da y=0

4-Teorema. y=f(x) funksiya [a,b] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo`lsin. Agar kesmaning uchlarida funksiya teng bo`lmagan f(a)=A, f(b)=B qiymatlarni qabul qilsa, u holda funksiya A va B sonlar orasidagi barcha qiymatlarni qabul qiladi. U holda A<

3-teorema bu teoremaning xususiy holi, chunki A va B lar turli ishoralarga ega bo`lsa, u holda   ni o‘rnida O ni olish mumkin.

Uzluksiz funksiyalarga doir teoremalar

 

1.  x₀ nuqtaning yetarli kichik atrofida funksiya chegaralangan bo`ladi.

2. Agar f(x₀)¹0 bo`lsa, x₀ nuqtaning yetarli kichik atrofida f(x) o’z ishorasini saqlaydi.

Aytaylik, y=f(x) funksiya X to`plamda va z=j(y) funksiya Y to`plamda aniqlangan bo`lib, ular yordamida z=j(f(x)) murakkab funksiya tuzilgan bo`lsin.

Teorema (murakkab funksiya uzluksizligi haqida). Agar f(x) funksiya x₀ nuqtada, z=j(y) funksiya x₀ ga mos kelgan f(x₀) nuqtada uzluksiz bo`lsa z=j(f(x)) funksiya  x<sub>0</sub> nuqtada uzluksiz bo`ladi.

Teorema (Boltsano-Koshining 1-teoremasi). Agar f(x) funksiya [a, b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo`lib, segmentning a va b nuqtalarida har xil ishorali qiymatlarga ega bo`lsa, u holda shunday c (a

Teorema (Veyershtrassning 1-teoremasi). Agar f(x) funksiya [a,b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo`lsa, u holda shu segmentda chegaralangan bo`ladi.

Teorema (Veyershtrassning 2-teoremasi). Agar f(x) funksiya [a, b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo`lsa, funksiya shu segmentda o`zining aniq yuqori hamda aniq quyi chegaralariga erishadi.Misol. Ushbu f(x)= funksiyani uzluksizlikka tekshiring Yechish. Ma’lumki,  bundan foydalanib,  x=0 nuqtada funksiya aniqlanmagan bo`lib, ,  munosabatlar o`rinlidir, bu esa ta’rifga ko’ra x=0 nuqta f(x) funksiya uchun 2 tur uzilish nuqtasi ekanligini bildiradi.

 

Etiboringiz uchun raxmat.