Mustaqil ish mavzu : Algebraik sistemalar tushunchasi va ularga doir misollar yechish

5-ta’rif. Agar ‹A,+,·› algebra qo‘shish amaliga nisbatan Abel gruppa va ko‘paytirish amali qo‘shish amaliga nisbatan distributivlik xossasiga bo‘ysunsa, ‹A,+,·› algebraga halqa deyiladi.

Demak, ‹A,*,º› halqa bo‘lishi uchun, A to‘plamda * algebraik operatsiya assotsiativ va kommutativ bo‘lishi, * algebraik operatsiyaga nisbatan neytral va simmetrik elementlari mavjud bo‘lishi hamda ◦ algebraik operatsiya * algebraik operatsiyaga nisbatan distributiv bo‘lishi kerak.

Agar  aA uchun a+0=a va 0+a=a munosabat o‘rinli bo‘lsa, 0A element A to‘plamning nol elementi, agar  aA uchun eA mavjud bo‘lib, a·e=e·a=a munosabat bajarilsa, e elementga A to‘plamning birlik elementi deyiladi.

Misol. N={1,2,3,…,n,…} natural sonlar to‘plamida qo‘shish va ko‘paytirish amallari vositasida tashkil qilingan ‹N,+,·› algebra yarim halqadir. Haqiqatan ham,

1) 4,6,7N 4+(6+7)=(4+6)+7

2) 4+7=7+4

3) 5+12=5+(5+7)12=5+7

4) 5·(6·7)=(5·6)·7

5) 6·(7+4)=6·7+6·4

6·7+6·4=42+24=66

Demak, ‹N,+,·› algebra yarim halqadir.

Agar A to‘plamda berilgan ko‘paytirish amali uchun kommutativlik xossasi o‘rinli bo‘lsa, ‹A,+,·› kommutativ halqa, agar ko‘paytirish amali uchun assotsiativlik xossasi o‘rinli bo‘lsa, ‹A,+,·› assotsiativ halqa, agar ko‘paytirish amaliga nisbatan a·e=e·a=a shartni bajaruvchi neytral element mavjud bo‘lsa, ‹A,+,·› birlik elementli halqa (chunki a·1=1·a=a,e=1) deb yuritiladi.

Agar ‹A,*,º› halqani tashkil qilayotgan A to‘plam elementlari sonlardan iborat bo‘lsa, ‹A,*,º› halqa sonli halqa deb yuritiladi. Endi ko‘rib chiqilgan halqa va uning xossalaridan foydalanib maydon tushunchasini kiritamiz.

2.6 Maydon tushunchasi va misollar.

Faraz qilaylik, kommutativ va birlik elementli assotsiativ halqa berilgan bo‘lsin. 6-ta’rif. Agar ‹A,+,·› algebra kommutativ, assotsiativ va birlik elementli halqa bo‘lib, aA, a≠0 uchun a elementga a·a^-1=e shartni qanoatlantiruvchi a^-1 teskari element mavjud bo‘lsa, ‹A,+,·› algebraga maydon deyiladi.

Maydon ta’rifidan ko‘rinadiki:

a) har qanday maydonda uning nolga teng bo‘lmagan istalgan elementiga teskari element mavjud va yagonadir;

b)  aA, a≠0 uchun  ;

d) har qanday maydonda birlik element mavjud va yagonadir;

e)  a,bA uchun a·x=b tenglikni qanoatlantiruvchi xA yagonadir, bu a·a^-1=e shartni qanoatlantiruvchi a^-1 ning yagonaligidan kelib chiqadi:

;

f) maydon nolning bo‘luvchilariga ega emas.

Agar ‹A,+,·› maydonda A to‘plam elementlari sonlardan iborat bo‘lsa ‹A,+,·› maydon sonli maydon deyiladi.

Ratsional sonlar to‘plami Q da qo‘shish va ko‘paytirish amallari vositasida hosil qilingan ‹Q,+,·› algebra maydon tashkil etadi.

Butun sonlar to‘plamida qo‘shish va ko‘paytirish amallari vositasida hosil qilingan ‹Z,+,·› algebra maydon hosil qilmaydi.
Koʻpaytmaning ta’rifi, uning mavjudligi va yagonaligi. Koʻpaytirish qonunlari.