Mustaqil ish mavzu : Algebraik sistemalar tushunchasi va ularga doir misollar yechish

0	1	2	3
4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

Jadvalda operatsiya aniqlanganidan tashqari, u operatsiyaning ba'zi xususiyatlarini aniq ifodalaydi. Xususan, operatsiyaning kommutativligi jadvalning asosiy diagonaliga nisbatan simmetriyasiga mos keladi.

3-ta'rif (algebraik tizim). algebraik tizim - bu uchta to'plamdan tashkil topgan ob'ekt: bo'sh bo'lmagan A to'plam, Ada aniqlangan WF algebraik operatsiyalar to'plami va A da aniqlangan WR munosabatlar majmui. A to'plami tayanch deb ataladi. algebraik tizim. Agar algebraik tizimda operatsiyalar bo'lmasa, u model, munosabatlar bo'lmasa, u algebra deb ataladi.

Algebraik operatsiyalar va munosabatlar ramzlari (ularning har biri ma'lum bir aritaga ega) algebraik tizimning imzosini tashkil qiladi.

Biz cheklangan miqdordagi operatsiyalar va aloqalarni o'z ichiga olgan algebraik tizimlar bilan shug'ullanamiz. Biz algebraik tizimlarni quyidagicha yozamiz: , bu erda {f1, ..., fk} = WF, {r1, ..., rl } = WR.

4 -ta'rif (algebraik tizim turi). algebraik sistemaning turi (n (f1), ..., n (fk)) va (n (r1) to'plamlar juftligidir. ), ..., n (rl)) operatsiyalar va munosabatlar aritlaridan iborat. Turini .

2 -misol (algebraik tizim).
- <2, 2 tipidagi algebraik tizim; 2>, chunki +, · amallari har qanday ikkita natural son uchun aniqlanadi va natija yana natural son bo'ladi. algebraik tizim emas, chunki operatsiya natijasi - natural sonlarga qo'llaniladigan har doim ham natural son emas.
Muammo 1. algebraik tizimmi?

1.2 Algebraik tizimlarning izomorfizmi

Algebraik tizimlarni ko'rib chiqishning standart algebraik yondashuvi - bu tizimning operatsiyalari va aloqalari bilan bog'liq bo'lmagan tashuvchining alohida elementlarining xususiyatlaridan, shuningdek operatsiyalar va munosabatlarni aniqlash (hisoblash) usullaridan chalg'itish. va faqat ularning xususiyatlarini algebraik tizim doirasida ko'rib chiqish. Izomorfizm tushunchasi algebraik tizimlar doirasida tayanchlar, operatsiyalar va munosabatlar xossalarining bir -biriga mos kelishini bildirish uchun ishlatiladi.

5 -ta'rif (homomorfizm). A = va B = bir xil algebraik tizimlar bo'lsin. . Agar j: A ® B xaritasi quyidagi shartlar bajarilsa, A algebraik sistemaning B ga homomorfizmi deyiladi.
j (fi (x1, ..., xmi)) = gi (j (x1), ..., j (xmi)),

(x1, ..., xnj) O rj Yu (j (x1), ..., j (xnj)) O pj

har qanday x1, x2, ... O A uchun, har qanday i: 1 Ј i Ј k uchun, har qanday j: 1 Ј j Ј l uchun.

3 -misol (homomorfizm).

Har qanday modelini modeliga har qanday xaritalash (bu erda V - bo'sh ikkilik munosabatlar) homomorfizmdir, chunki operatsiyalar yo'qligi sababli birinchi shart bajariladi va ikkinchidan, har doim taxminlar noto'g'ri.

6 -ta'rif (izomorfizm). Agar homomorfizm bijektsiya bo'lsa va teskari xaritalash ham homomorfizm bo'lsa, unda bunday homomorfizm izomorfizm deb ataladi. Izomorfizm mavjud bo'lgan algebraik tizimlar izomorfik deb ataladi.

Boshqacha aytganda, algebraik tizimlarning izomorfizmi A = va B = bir xil turdagi -A to'plamini B ga birma-bir xaritalash, bunda quyidagi shartlar bajariladi:

j (fi (x1, ..., xmi)) = gi (j (x1), ..., j (xmi)),

(x1, ..., xnj) O rj O (j (x1), ..., j (xnj) O pj

har qanday x1, x2, ... O A uchun, har qanday i: 1 Ј i Ј k uchun, har qanday j: 1 Ј j Ј l uchun.

2 -shart algebralar uchun avtomatik ravishda qondiriladi; shuning uchun algebralar uchun izomorfizmlar - bu biektsiya bo'lgan homomorfizmlar.

4 -misol (algebralarning izomorfizmi).

Keling, algebralar va * izomorfikdir. Biz j: R ® R + xaritasini j (x) = ex sifatida belgilaymiz. Bu xaritalash bijektsiya va j (x + y) = e (x + y) = ex ey = j (x) j (y).

5 -misol (model izomorfizmi).

Keling, modellar va izomorfikdir. Biz xaritani j (x) = -x belgilaymiz. Bu xaritalash b va j (x) i j (y) Y -x i -y Y x x Ј y.

7 -ta'rif (otomorfizm). Algebraik tizimning o'z -o'zidan izomorfizmiga avtorfizm deyiladi. O'ziga xoslik bo'lgan avtomorfizm arzimas deb ataladi.

Muammo 2. Algebralar * va * izomorf emas.

Muammo 3. <{2,3,4,5,6,7} modelli avtorfizmlar sonini toping; r>, bu erda r - o'zaro murakkablik nisbati *.

1.3 Algebraik tizimlarning quyi tizimlari

8 -ta'rif (quyi tizim). Algebraik tizimning quyi tizimi - bu algebraik tizim , bu erda A' N A, WF 'dan A' gacha bo'lgan barcha amallarning qiymatlari mos keladi. WF operatsiyalari qiymatlari va WR 'A' munosabatlari WR munosabatlariga to'g'ri keladi. Bundan tashqari, A 'kichik to'plami tizimida yopiq deb nomlanadi.

E'tibor bering, algebralarning homomorfik tasvirlari har doim subalgebralarga nisbatan izomorfdir, lekin modellarning homomorfik tasvirlari ma'lum bir modelning submodellariga izomorf bo'lishi shart emas.
6 -misol (modelning homomorf tasvirlari).

Model <{0,1}; <> <{0,1} modelida homomorfik tarzda ko'rsatilishi mumkin; Ј>, <{0}; {(0,0)}> va boshqalar, lekin ular asl modelning submodellari emas.

1-Teorema (quyi tizimlarning kesishishi). Har qanday algebraik tizimning o'zboshimchalik bilan quyi tizimlari to'plamining kesishishi bo'sh yoki quyi tizimdir.
dalil -ga qarang

7 -misol (algebralarning kesishishi).

Algebralar <{0, 2, 4}; (+ mod 6)> va <{0, 3}; (+ mod 6)> - algebraning subalgebralari <{0, 1, 2, 3, 4, 5}; (+ mod 6)>. Bu algebralarning kesishishi algebra <{0}; +> bitta elementdan tashkil topgan qo'llab -quvvatlash - 0 va biz +bilan belgilagan operatsiya, chunki u faqat 0 elementga tegishli va oddiy qo'shilish natijasiga to'g'ri keladi.

9-ta'rif (Algebraik tizimda to'plamni yopish). A to'plamini o'z ichiga olgan minimal algebraik tizimni qo'llab -quvvatlashi algebraik tizimda A to'plamining yopilishi deb ataladi.

8 -misol (to'plamning yopilishi).

- bu butun sonlarning Z to'plami, chunki Bu algebra va agar algebraning subalgebrasi bo'lsa -1 va 1 ni o'z ichiga oladi, unda barcha tamsayılar bor.

Algebraik tizim o'zining quyi tizimiga izomorf bo'lishi mumkin.

9 -misol (subalgebra algebradan izomorfik).

Keling, va <{2,4,6, ...}; +> izomorfikdir. Biz j: N ® {2,4,6, ...} xaritasini j (x) = 2 x sifatida aniqlaymiz. Bu xaritalash bijektsiya va j (x + y) = 2 (x + y) = 2 x + 2 y = j (x) + j (y).

1.4 Algebraik tizimlarning bevosita mahsuloti

10 -ta'rif (Tizimlarning to'g'ridan -to'g'ri mahsuloti). A = va B = algebraik tizimlarining to'g'ridan -to'g'ri mahsuloti - bir xil algebraik tizim A ґ B = bir xil turdagi

salom ((x1, y1), ..., (xmi, ymi)) = (fi (x1, ..., xmi), gi (y1, ..., ymi))

((x1, y1), ..., (xmj, ymj)) O qj O (x1, ..., xmj) O rj va (y1, ..., ymj) O pj

har qanday x1, x2, ... O A, y1, y2, ... O B, har qanday i uchun: 1 Ј i Ј k, har qanday j: 1 Ј j Ј l uchun.

A algebraik tizimning to'g'ridan -to'g'ri mahsuloti n marta algebraik sistemaning darajasi deb ataladi va An bilan belgilanadi.

10 -misol (to'g'ridan -to'g'ri mahsulot).

A = o'zingiz haqingizda.

A2 algebraik tizimini qo'llab -quvvatlashi koordinatali qo'shish operatsiyalari va tartib munosabati with (x1, y1) Ј (x2, y2) Y x1 Ј x2 va y1 with bo'lgan haqiqiy sonlar juftlari (x, y). y2, ya'ni bitta juftlik boshqasidan kam yoki teng, agar birinchi juftlikning har bir koordinatasi ikkinchi juftning mos keladigan koordinatasidan kichik yoki teng bo'lsa.

2 Algebraik tizimlarga misollar

2.1 Qo'shish va ko'paytirish bilan raqamlar

Keling, qo'shish va ko'paytirish bilan haqiqiy sonlar ekanligini ko'rsataylik

algebra. Haqiqatan ham, summa ham, mahsulot ham har qanday ikkita haqiqiy son uchun aniqlanadi va yana haqiqiy sonlardir. Shunday qilib, haqiqiy sonlarni qo'shish va ko'paytirish algebraik amallar va - algebra.

Bundan tashqari, ratsional (butun sonlar, manfiy bo'lmagan butun sonlar, natural) qo'shish va ko'paytirish sonlari ham algebra hosil qiladi. Darhaqiqat, ikkita ratsional (tamsayı, manfiy bo'lmagan butun, natural) sonlarning yig'indisi va hosilasi yana ratsional (mos ravishda, butun, manfiy bo'lmagan butun, natural) sondir. Shunday qilib, ratsional, butun, manfiy bo'lmagan butun sonlar, natural sonlar to'plamlari Va , , , - .

2.2 Samolyotda vektorlar

Qo'shish operatsiyalari bilan tekislikdagi barcha vektorlar to'plami . Keling, buni qo'shilgan haqiqiy raqamlar. Darhaqiqat, ikkita (x1, y1) va (x2, y2) vektorlarning yig'indisi koordinata bo'yicha aniqlanadi: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) har qanday x1, x2, y1 uchun , y2 O R.

2.3 Kichik guruhlar algebrasi

Matematikada birinchi marta uchraydigan algebraik tizimlardan biri bu kichik guruhlar algebrasi.

A to'plamining barcha kichik guruhlarini ko'rib chiqing (biz ularni P (A) bilan belgilaymiz). Birlashtirish, ikkita to'plamning kesishishi va X to'plamining A to'plamiga ( - X bilan belgilanadi) qo'shilishi operatsiyalari algebraik amallardir. Darhaqiqat, ular A to'plamining har qanday kichik to'plamlari uchun belgilanadi va bu operatsiyalar natijasi yana A to'plamining kichik to'plamidir. Bo'sh to'plam va A to'plamning o'zi ham A to'plamining pastki to'plamlari hisoblanadi.
Shunday qilib, A to'plamning kichik to'plamlari algebrasi
.
2.4 Gruppa va yarim gruppa haqida tushuncha.

Aytaylik bizga, A≠Ø to‘plam va binar * algebraik operatsiya berilgan bo‘lsin.