Мустакил иш

Беллман функцияси ва тенгламаси
(2) масалалар оиласидан олинган ихтиёрий масала мақсад функциясининг оптимал қиймати Беллман функцияси дейилади ва куйдагича белгилаш киритилади
(3)
Масалани динамик программалаш усули билан ечишнинг иккинчи босқичи-Беллман функцияси учун тенгламани олишдан иборатдир. Бу босқичда беллманнинг оптималлик принципи умумий ҳолда қўлланилади. (1) масала учун унинг моҳияти қуйида келтирилган мулоҳазалар орқали берилади. Бу мулоҳазалар оддий математик фактларга асосланган ва етарлича универсал. Изланаётган тенгламани тузишда инвариант жойлашнинг тўғрилиги намоён бўлади. Иккинчи томондан, жойлаштириш усули тенгламанинг кўринишида ҳам сезилади, k жараёнли ва у хом ашё ғамламасига эга бўлган (2) масалада k-жараёнга миқдордаги хомашё ажратамиз. Бунда k жараёндан олинадиган жойда га тенг бўлади. 1, 2, ...,k-1 номерли жараёнлар учун эса y-z миқдордаги хомашё қолди. Айтайлик, бу хомашё қолган жараёнларга оптимал тақсимланган бўлсин. (3) нинг аниқланишига кўра k-1 та жараёндан келадиган фойданинг максимал миқдори га тенг бўлади.
Шундай қилиб, k жараёнга z миқдорда хомашё ажратилганда барча k жараёнлар ва у хомашё ғамламасидан
(4)
фойда оламиз.
Z миқдорни чегарасида ўзгартириб, (4) умумий фойда максимал бўладиган жараён учун хомашёнинг оптимал миқдори) қийматни топамиз:
(5)
Иккинчи томондан, (3)га асосан хомашё миқдори у бўлганда k та жараёндан олинадиган максимал фойда га тенгдир. Бу қийматни (5) ифоданинг ўнг томонига тенглаштириб, функция учун
(6)
тенгламани оламиз. Бу Беллман тенгламаси деб аталади. (6) тенглама функциянинг нисбатан реккуренг бўлганлигидан уни ечиш учун бошланғич шарт берилиши керак. Уни (3) дан бўлганда топиш мумкин:

шундай қилиб, Беллман тенгламаси (6) учун бошланғич шарт
(7)
кўринишга эга бўлади.