Мустақил таълим ва мустақил ишлар «Иқтисодий математика»

ТАҚСИМОТ (математикада) — эҳтимоллар назарияси ва математик статистиканинг асосий тушунчаларидан бири. Эҳтимоллар назарияси ва математик статистиканинг аниқ масалаларида учрайдиган Тақсимот, одатда, дискрет, яъни алоҳида эҳтимолликлар билан аникланади (мас., биномиал, геометрик, полиномиал ва Пуассон тақсимотлари) ёки зичлик функциялари билан аникланувчи абсолют узлуксиз типдаги (мас., нормал, кўрсаткичли, текис) тақсимотлардир. Баъзи тақсимотлар тасодифий микдорларни функционал алмаштириш натижасида ҳосил бўлган тасодифий миқдорларнинг аниқ ёки асимптотик (лимит) тақсимоти сифатида ҳам ҳосил қилиниши мумкин. Бундай тақсимотлар (хмквадрат тақсимот, Стьюдент тақсимоти, Фишернинг Fтақсимоти) одатда, математик статистикада кенг қўлланилади. Табиат, жамият, иқтисодиёт ва шу каби соҳаларда учрайдиган тасодифий жараёнларни ифодалашда ҳосил бўлувчи Тақсимотлар, одатда, номаълум бўлиб, улар ўрнига статистик аналоглари — эмпирик Тақсимот қўлланилади. Бу Т. лар тасодифий микдорларнинг сонли характеристикаларини (математик кутилма, дисперсия, корреляция) тақрибий аниқлаш (статистик баҳолаш)да ва статистик гипотезаларни текширишда кенг қўлланилади. Математик статистика ва эхтимолликлар назарияси узаро боглик
фанлар булиб, буни куйидаги мисолда курсатиш мумкин.
Партияда
N
дона бир хил махсулот булиб, уларнинг хар бири р(0
)
эхтимоллик
билан сифатли булиши мумкин булсин. Шу партиядан
n
дона
махсулот таваккалига танлаб олинган десак, уларни текширувдан утказмасдан
роппа
-
роса
k
донаси сифатли булишини аник айта олмасдан,факатгина бу
ходисанинг эхтимоллигини хисоблаб, унинг тугрисида м
аълум бир хулоса
чикара оламиз. Бу эхтимолликлар назариясининг асосий масалаларидан
биридир.
Энди шу партиядаги махсулотнинг сифатли булиш эхтимоллиги р
номаълум булсин.
Таваккалига олинган
n
дона махсулот текширувдан утказилиб, улардан
роппа
-
роса
k
донаси сифатли эканлиги аникланди. Шу махсулотларга асосан
номаълум р эхтимоллик хакида маълум бир хулосалар чикариш мумкин. Бу
математик статистиканинг масалаларидан биридир.
Бу мисолдан эхтимолликлар назарияси ва математик статистика
масалалари бир
-
бирига тескари деб айтиш мумкин. Эхтимоллик назарияси
бирор А ходиса хакида унинг устида кузатув, тажриба утказилгунга кадар
хулоса чикаришга имкон беради. Математик статистика эса бу А ходиса
хакида унинг устида утказилган кузатув, тажриба натижалари
асосида хулоса
чикаради.
6
Шундай килиб математик статистика,эхтимолликлар назариясига
асосланган холда, тасодифий ходиса ёки микдорларни улар устида утказилган
кузатув натижаларига асосан урганувчи фандир.
Математик статистиканинг асосий масалаларидан б
ир нечтасини
келтирамиз:
1.
Тасодифий Х микдор устида утказилган кузатув натижаларидан
фойдаланиб, унинг номаълум F(x)
таксимот функцияси хакида
хулосалар чикариш. Бу таксимотни бахолаш масаласи деб аталади.
2.
Х тасодифий микдорнинг таксимот функцияси
F(x
,
а
1
,
а
2
,...,
а
m
)
куринишда булиб,
а
1
,
а
2
,...,
а
m
номаълум параметрларга боглик
булсин. Бу холда параметрларнинг кийматларини кузатув
натижаларига асосан бахолашга тугри келади.
Бу параметрларни бахолаш масаласи дейилади.
3.
Маълум бир мулохазаларга асосан таксимот ф
ункцияси
F(x)
деб
тахмин килинмокда. Кузатув натижаларига асосан бу тахмин тугри
ёки нотугри эканлиги хакида хулоса чикаришимиз лозим.
Бу статистик тахминларни текшириш масаласи дейилади.
4.
Иккита Х ва

тасодифий микдорлар устида утказилган кузатув
натиж
аларига асосан улар боглик ёки боглик эмас, богликлик кучи
ва куриниши тугрисида хулосалар чикариш талаб этилади.
Бу корреляция ва регрессион масала дейилади.
Энди математик статистиканинг асосий тушунчаларига утамиз.
Т А Ъ Р И Ф 1 :
Урганилаётга
н Х тасодифий микдорнинг курилаётган
объектда мумкин булган барча кийматлар туплами
бош туплам
, ундаги
элементлар сони эса бош тупламнинг
хажми
деб аталади.
Бош туплам хажми чекли ёки чексиз булиши мумкин. Масалан,
корхонада 120 ишчи булиб, Х уларни
нг хар бирини кун давомида ишлаб
чикарган махсулотлар сонини ифодаласа, бу холда бош туплам хажми чекли
ва 120 га тенг булади. Агарда Х оркали автоматда кадокланаётган сариёг
огирлигини (гр.) белгиласак, бу холда, масалан, Х

[
195,205
] булиб, бош
туплам ха
жми чексиз булади.
Т А Ъ Р И Ф 2 :
Урганилаётган Х тасодифий микдорнинг текширувда
кузатилган кийматлар туплами
танланма туплам
ёки кискача
танланма
,
ундаги элементлар сони эса
танланма хажми
деб аталади.
Таърифдан келиб чикадики, танланма бош ту
пламнинг кисми (туплам
ости) булиб, амалий нуктаи
-
назардан унинг хажми доимо чекли булади.
Т А Ъ Р И Ф 3 :
Агарда танланма урганилаётган Х тасодифий микдор
буйича бош тупламни нисбатан тугри ифодаласа, у
репрезентатив
(ваколатли)
танланма
дейилади.
Масалан, партиядаги 100 дона махсулотдан 85 донаси сифатли, колгани
сифатсиз булсин. Шу партиядан 10 дона махсулот олинди, яъни хажми 10
булган танланма хосил килинди. Шу танланма буйича партиядаги сифатли
7
махсулотлар улуши % киймати хакида хулоса чикариш
талаб этилсин. Агарда
танланмага 10 дона факат сифатсиз ёки аксинча, 10 дона факат сифатли
махсулотлар тушган булса, партиядаги сифатли махсулотлар улуши 0% ёки
100% деган нотугри хулосалар келиб чикади. Шундай килиб, бу иккала
танланма репрезентатив б
улмайди. Бу мисолда репрезентатив булиши учун
унда тахминан 15% сифатсиз ва 85% сифатли махсулот булиши керак.
Танланманинг репрезентативлигини икки усулда амалга ошириш
мумкин:
1.
танланма хажмини катта килиб олиш;
2.
танланмага элементларни бош тупламдан тас
одифий равишда олиш;
Бу шартларда танланманинг репрезентатив булиши эхтимолликлар
назариясининг катта сонлар конунига асосан келиб чикади.
Танланма икки хил йул билан хосил килиниши мумкин ва шунга мос
равишда такрорий ёки нотакрорий танланма деб аталади.
Т А Ъ Р И Ф 4 :
Агарда бош тупламдан кузатув учун танлаб олинган
элемент текширувдан кейин бош тупламга кайтарилса (кайтарилмаса),
натижада хосил булган танланма
такрорий (нотакрорий)
деб аталади.
Шундай килиб такрорий танланмада бош тупламнинг элем
енти бир
неча марта катнашиши мумкин. Нотакрорий танланмада эса бош тупламнинг
элементи факат бир марта катнашиши мумкин.
8. табиат ва жамият конунлари уз хусусиятларига таянган холда икки турга булинадилар: аник хисоблаб буладиган (детерминированный) ва статистик. Масалан, осмон механикасининг аник конунларига таянган холда, куеш системасидаги планеталарнинг узаро жойлашув холатини, куеш ва ой тутилишини ва шунга ухшаш куплаб ходисаларни аник хисоблаб бериш, уни олдиндан айтиш мумкин. Булар аникланадиган конунлардир. Бирок, оби хаво, нархи наво, хосилнинг мул булиши ва булмаслигини олдиндан аник айтиш кийин. Шунингдек, микродунедаги электроннинг маълум вактдаги холатини аник хисоблаб булмайди, бирок унинг «электрон булут» хосил килишини урганиш мумкин. Одатда бундай конунлар статистик конунлар деб юритилади.

Эхтимоллар назарияси, маълум бир комплекс шартлар бажарилганда, куп марта такрорланадиган оммавий тасодифий ходисаларнинг хоссаларини урганади. Хар бир тасодифий ходисанинг асосий хоссаси эса эхтимоллик деб аталувчи катталик билан ифодаланади.

Эхтимоллар назарияси - математик фан, чунки у дастлабки берилган системасига суянган холда кейинги теорема ва натижаларни келтириб чикаради. Дастлабки тугал аксиомалар системасини А.Н. Колмогоров узининг «Эхтимоллар назариясининг асосий тушунчалари» (1936) номли китобида баен этган.

Аслини олганда эхтимоллар назарияси XVII аср урталарида, кимор уйинлари кенг таркалган бир пайтда вужудга келган. Азартли уйинларда кузатилаетган ходисаларнинг баъзи конуниятларини урганишга Паскаль, Ферма, Бернулли каби олимлар жиддий эътибор бериб жараенларни урганганлар ва натижада, булгуси эхтимоллар назарияси деб аталувчи фанга улкан хисса кушганлар. Айникса, Бернуллининг кушган хиссаси жуда катта булган. Шу туфайли, Бернулли жамиятининг жахон конгресси Тошкентда 1986 й утказилган.

Шу уринда, Эхтимоллар назариясига узининг салмокли хиссасини кушган, уни ривожлантирган ва узига хос мактаб яратган Узбекистонлик олимлар В. И. Романовский, УзРФА академиклари С.Х. Сирожиддинов, Т.А. Саримсоков хамда уларнинг куплаб шогирдларини эслаб утиш жоиздир.

Эхтимоллар назарияси турли тармокларда, жумладан иктисодиетда кенг куламда амалиетда кулланилади. Шунингдек, эхтимоллар назарияси биологик турларни такомиллаштиришда хам мухим ахамият касб этади.

Ходиса - дастлабки фундаментал тушунчалардан бири булиб, атроф мухитда булган, буладиган вокеликни ифодалайди.

Таъриф. Маълум шартлар комплекси бажарилганда: албатта содир буладиган ходисага мукаррар ходиса дейилади: содир булиши хам, булмаслиги хам мумкин булган ходисага тасодифий ходиса, хеч качон содир булмайдиган ходисага эса мумкин булмаган ходиса деб аталади.

Масалан куеш чикиши, кун ботиши мукаррар ходисадир, 15 сентябр куни соат 16 да емгир егиши тасодифий ходисадир. Бир сумлик тангани ерга ташлаганда 10 сумлик булиб тушиши мумкин булмаган ходисадир.

Одатда тасодифий ходисалар А,В,С,... каби харфлар билан, мукаррар ходиса эса W билан, мумкин булмаган ходиса эса Ж оркали белгиланади.

Хар кандай тасодифий ходиса жуда куп холатлар ва сабаблар натижасида содир булади еки булмайди. Бу сабабларнинг барчасини батафсил урганишнинг имкони йук. Шу сабабли эхтимоллар назарияси хар бир каралаетган ходисанинг руй бериши еки бермаслигини аввалдан айтиб беришни уз олдига максад килиб куйган эмас.

Таъриф: А ва В ходисалар бир пайтда руй бериши мумкин булмаса, бундай ходисалар узаро биргаликда булмаган ходисалар деб аталади.