Mundarija Kirish I. Asosiy qism

II. Vektorlar algebrasi elementlarining maktab geometriyasining masalalarini yechish
2.3. Fazodagi koordinatalar metodi
X ga ruxsat bering? En va y? En - istalgan ikkita vektor. Keling, ular uchun quyidagi tengsizlik mavjudligini isbotlaylik:(Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi)
Dalillar. Bo'lsinmi? - har qanday haqiqiy raqam. Bu aniq (? x? y,? x? y)? 0. Boshqa tomondan, skalar mahsulotining xususiyatlari tufayli biz buni qila olamizyozmoqTushundimUshbu kvadrat trinomialning diskriminanti ijobiy bo'lishi mumkin emas, ya'ni. , qaerdan kelib chiqadi:Tengsizlik isbotlangan.Uchburchak tengsizligiBo'lsin x va y Evklidlar makonining ixtiyoriy vektorlari En, ya'ni. x? En va y ? En. Keling, buni isbotlaylik . (Uchburchak tengsizligi).Dalillar. Bu aniq Boshqa tomondan,. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligini hisobga olsak, biz olamiz Evklid kosmik normasi
Ta'rif 1 . Lineer bo'shliq? deb nomlangan metrikagar mavjud bo'lsa bu bo'shliqning ikkita elementi x va y salbiy bo'lmagan tayinlanganraqammi? (x, y) orasidagi masofa deb nomlangan x va y , (? (x, y) ? 0) vashartlar (aksiomalar):
? (x, y) = 0 x = y
? (x, y) = ? (y, x) (simmetriya);
istalgan uch vektor uchun x, y va z bu joymi? (x, y) ? ? (x, z) + ? (z, y).
Izoh. Metrik bo'shliqning elementlari odatda nuqta deb ataladi.
Evklid kosmik En metrik va orasidagi masofa sifatida vektorlar x? En va y? En olinishi mumkin x ? y.Masalan, bitta ustunli matritsalar oralig'ida, qaerda Ta'rif 2 . Lineer bo'shliq? deb nomlangan normallashtirilgan, agar a har bir vektor x bu bo'shliqdan, salbiy emas raqam unga qo'ng'iroq qildi norma x... Bunday holda, aksiomalar bajariladi:
Normalashtirilgan bo'shliq metrik bo'shliq ekanligini ko'rish oson estom. Darhaqiqat, orasidagi masofa x va y siz olishingiz mumkin. Evkliddabo'sh joy har qanday x vektorning normasi sifatida? En uning uzunligi,o'sha. ...
Shunday qilib, Evklid kosmik En metrik makon va bundan tashqari, evklid maydoni En - normalangan fazo. Vektorlar orasidagi burchak
Ta'rif 1 . Nolga teng bo'lmagan vektorlar orasidagi burchak a va b Evklid fazosidavlat E n

bu raqam Ta'rif 2 . Vektorlar x va y Evklidlar maydoni En deyiladi ortogonzig'iragar ular tenglikni qondirsa (x, y) = 0.
Agar a x va y nolga teng, demak, ta'rifdan kelib chiqadiki, ular orasidagi burchak
E'tibor bering, nol vektor ta'rifi bo'yicha har qanday vektor uchun ortogonal hisoblanadi.Misol ... Geometrik (koordinatali) fazoda? 3, bu qaysi evklid fazosining ma'lum bir hodisasi, birlik vektorlari men, jva k o'zaro ortogonal.Ortonormal asos
Ta'rif 1. E1 asoslari Evklid fazosining En, e2, ..., enlari deyiladi ortogonzig'iragar ushbu asosning vektorlari juftlik bilan ortogonal bo'lsa, ya'ni. agar a
Ta'rif 2 . Agar ortogonal asosning barcha vektorlari e1 bo'lsa, e2, ..., en birlikdir, ya'ni. e i \u003d 1 (i \u003d 1,2, ..., n), keyin asos chaqiriladi ortonormal, ya'ni uchunortonormal asos
- Dalillar ... Keling, ishning teoremasini isbotlaylik n = 3.E1, E2, E3 evklidlar fazosining ba'zi bir ixtiyoriy asoslari E3 bo'lsin Keling, ba'zi bir ortonormal asoslarni yarataylik bu bo'shliqda.Biz qayerga qo'ydik ? - biz tanlagan ba'zi haqiqiy raqamlarshunday qilib (e1, e2) \u003d 0, biz olamizva bu aniq? \u003d 0, agar E1 va E2 ortogonal bo'lsa, ya'ni. bu holda e2 \u003d E2 va beri bu asosiy vektor.
(E1, e2) \u003d 0 ekanligini hisobga olsak, olamiz

Shubhasiz, agar e1 va e2 E3 vektori bilan ortogonal bo'lsa, ya'ni. bu holda e3 \u003d E3 ni olish kerak. Vektor E3? 0 chunki E1, E2 va E3 chiziqli mustaqil,shuning uchun e3? 0.Bundan tashqari, yuqoridagi mulohazalardan kelib chiqadiki, e3 shaklda ifodalanishi mumkin emas e1 va e2 vektorlarining chiziqli birikmasi, shuning uchun e1, e2, e3 vektorlari chiziqli mustaqilsimlar va juft-juft ortogonaldir, shuning uchun ularni Evklid asosiga olish mumkinbo'shliq E3. Faqatgina qurilgan asosni normallashtirish qoladi, buning uchun u etarliqurilgan vektorlarning har birini uzunligiga bo`ling. Keyin olamiz evklidovy.html ©
Shunday qilib, biz asos yaratdik - ortonormal asos. Teorema isbotlangan.
O'zboshimchalik bilan ortonormal asosni yaratish uchun qo'llaniladigan usul asos deyiladi ortogonalizatsiya jarayoni ... E'tibor bering, isbot paytidateorema, biz juftlik bilan ortogonal vektorlar chiziqli ravishda mustaqil ekanligini aniqladik. Bundan tashqariagar Enda ortonormal asos bo'lib, u holda har qanday x vektor uchunmi? Enfaqat bitta parchalanish mavjudbu erda x1, x2, ..., xn bu ortonormal asosda x vektorning koordinatalari.Chunki

keyin skalar tengligini (*) ga ko'paytiring , biz olamiz. Keyinchalik, biz faqat ortonormal asoslarni ko'rib chiqamiz va shuning uchun ularni yozishning soddaligi uchun asosiy vektorlar uchun yuqoridan nollar biz tashlab ketamiz.Bunday vektor maydoniga mos keladi. Ushbu maqolada boshlang'ich nuqta sifatida birinchi ta'rif olinadi.N (\\ displaystyle n)-o'lchovli Evklid fazosi belgilanadi E n, (\\ displaystyle \\ mathbb (E) ^ (n),) yozuv ham tez-tez ishlatiladi (agar kontekstdan bo'shliq evklid tuzilishiga ega ekanligi aniq bo'lsa).
3. Vektor makonining o'lchamlari va asoslari
Maydon ustida bir qancha vektorli bo'shliqni (V, M, ∘) ko'rib chiqing R... V to'plamining ba'zi elementlari bo'lsin, ya'ni. vektorlar.
Lineer birikma vektorlar maydonning ixtiyoriy elementlari tomonidan ushbu vektorlar ko'paytmalarining yig'indisiga teng bo'lgan har qanday vektor deyiladi R (ya'ni skalar bo'yicha):Agar barcha skalar nolga teng bo'lsa, unda bunday chiziqli birikma deyiladi ahamiyatsiz(eng oddiy) va.
Agar kamida bitta skalar nolga teng bo'lsa, chiziqli kombinatsiya chaqiriladi ahamiyatsiz.Vektorlar deyiladi chiziqli mustaqilagar bu vektorlarning ahamiyatsiz chiziqli birikmasi bo'lsa:Vektorlar deyiladi chiziqli bog'liqagar bu vektorlarning kamida bitta ahamiyatsiz chiziqli birikmasi bo'lsa, unga teng.Misol... Haqiqiy sonlarning to'rtburchaklarining tartiblangan to'plamlari to'plamini ko'rib chiqing - bu haqiqiy sonlar maydoni bo'ylab vektor maydoni. Topshiriq: Vektorlar mavjudligini aniqlang, va chiziqli bog'liq. ruQaror.Keling, ushbu vektorlarning chiziqli kombinatsiyasini tuzamiz, bu erda noma'lum sonlar. Ushbu chiziqli birikmaning nol vektorga teng bo'lishini talab qilaylik.Ushbu tenglikda biz vektorlarni raqamlar
ustunlari shaklida yozamiz:
Agar bu tenglik saqlanadigan raqamlar mavjud bo'lsa va ularning kamida bittasi nolga teng bo'lmasa, unda bu noan'anaviy chiziqli birikma va vektorlar chiziqli bog'liqdir.Keling, quyidagilarni bajaramiz:

Shunday qilib, muammo chiziqli tenglamalar tizimini echishga qisqartiriladi:

Buni hal qilib, quyidagilarni olamiz:

Tizimning kengaytirilgan va asosiy matritsalarining saflari noma'lumlar soniga teng va kamroq, shuning uchun tizim cheksiz echimlar to'plamiga ega.Keling, keyin va.Shunday qilib, ushbu vektorlar uchun nolga teng bo'lmagan chiziqli birikma mavjud, masalan, at, bu vektorlar chiziqli bog'liqligini anglatadi.Biroz vektorlarning chiziqli bog'liqligi bilan bog'liq vektor fazoviy xususiyatlari:Agar vektorlar chiziqli bog'liq bo'lsa, unda ularning kamida bittasi boshqalarning chiziqli birikmasidir.Agar vektorlar orasida nol vektor bo'lsa, u holda bu vektorlar chiziqli bog'liqdir.
Agar ba'zi vektorlar chiziqli bog'liq bo'lsa, unda bu vektorlarning barchasi chiziqli bog'liqdir.V vektor maydoni deyiladi p- o'lchovli vektor maydoniagar u o'z ichiga olgan bo'lsa p chiziqli mustaqil vektorlar va ( p + 1) vektorlar chiziqli bog'liq.Raqam p deb nomlangan vektor makonining o'lchamiva belgilanadi xira (V) inglizcha "o'lchov" dan - o'lchov (o'lchov, o'lchov, o'lchov, o'lcham, uzunlik va boshqalar).Yig'ish p chiziqli mustaqil vektorlar p-o'lchovli vektor maydoni deyiladi asos.
Teorema (vektorning asos jihatidan kengayishi haqida): Vektorli makonning har bir vektori asos vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin (va bundan tashqari, o'ziga xos tarzda).:
(*) Formulasi deyiladi vektorning parchalanishi asosida va raqamlar – vektor koordinatalari shu asosda.Vektorli bo'shliq bir nechta yoki hatto cheksiz ko'p asoslarga ega bo'lishi mumkin. Har bir yangi asosda bir xil vektor turli koordinatalarga ega bo'ladi. Yangi asosga o'tish
Lineer algebrada, agar eski asosdagi koordinatalari ma'lum bo'lsa, ko'pincha vektorning koordinatalarini yangi asosda topish muammosi paydo bo'ladi.Ba'zilarini ko'rib chiqing p- maydon bo'ylab o'lchovli vektor maydoni (V, +,) R... Bu makonda ikkita taglik bo'lsin: eski va yangi
Vazifa: vektor koordinatalarini yangi asosda toping.
Eski asosdagi yangi asos vektorlari parchalanishga ega bo'lsin:

Vektorlarning koordinatalarini matritsaga tizimda yozilganidek qatorlarda emas, ustunlarda yozamiz:

Natijada paydo bo'lgan matritsa deyiladi o'tish matritsasi eski asosdan yangisiga.
O'tish matritsasi har qanday vektorning eski va yangi bazalaridagi koordinatalarini quyidagicha bog'laydi:

yangi asosda vektorning kerakli koordinatalari qaerda.Shunday qilib, vektorning koordinatalarini yangi asosda topish masalasi matritsa tenglamasini echishga kamayadi:, bu erda X - eski asosdagi vektor koordinatalarining matritsa-ustuni, VA - eski asosdan yangisiga o'tish matritsasi, X * - yangi asosda vektor koordinatalarining kerakli matritsa-ustuni. Matritsa tenglamasidan quyidagilarni olamiz:
Shunday qilib, vektor koordinatalari yangi asosda tenglikdan topilgan:

Misol. Ma'lum bir asosda vektor kengayishlari berilgan:Vektorning koordinatalarini asosda toping.
Qaror.Yangi asosga o'tish matritsasini yozamiz, ya'ni qadimgi asosdagi vektorlarning koordinatalari ustunlarga yoziladi:

Matritsani toping VA –1:

Vektorning koordinatalari qaerda ko'paytirilishini bajaring:

Javob: