Katta sonlar qonuni

Katta sonlar qonuni

Ma’lum shartlar bajarilganda katta sondagi tasodifiy miqdorlar yig’indisi o’zining tasodifiylik xaraktyerini yo’qotadi. Shu shartlarni ifodalovchi teoremalar katta sonlar qonuni haqidagi teoremalar deyiladi.

Bu haqdagi 1-teorema Bernulli tomonidan isbotlangan. Katta sonlar qonuni haqida teoremani isbotlashda qo’llaniladigan Chebishev tengsizligini keltirib chiqaramiz. Dastlab, uning umumlashgani bo’lgan Markov tengsizligini isbotlaymiz .

Markov tengsizligi . Agar tasodifiy miqdorining matematik kutilmasi mavjud bo’lsa, ixtiyoriy va uchun

(1)

o’rinli bo’ladi.

Isbot: 1) Faraz qilaylik diskret tasodifiy miqdor bo’lsin. Ya’ni tasodifiy miqdor qiymatlarni ehtimolliklar bilan qabul qilsin ( ).

U holda

.

2) Endi faraz qilaylik uzluksiz tasodif miqdor zichlik funksiyasiga ega bo’lgan uzluksiz tasodifiy miqdor bo’lsin.

U holda



.

1. 
   tengsizlik isbotlandi.
   

va hodisalar teng kuchli bo’lganligi uchun ularning ehtimolliklari teng bo’ladi, va

.

ni bilan almashtiramiz, u holda

Demak,

(2)

Bu tengsizlikka Chebeshev tengsizligi deyiladi.

Agar (2) ga deb olsak, u holda

bo’ladi.

Agar normal taqsimotga ega bo’lsa, u holda

bajarilishiga ishonch hosil qilish mumkin.

Bunga -qoidasi deb ham ataladi.

Natija: Agar tasodif miqdorining dispyerstiyasi mavjud bo’lsa, ixtiyoriy uchun

. (3)

(3) ga ham Chebishev tengsizligi deyiladi.