Mundarija. Kirish. Asosiy qism 1

Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani tebranmas va tebranuvchi yechimlari.
Taqqoslash teoremasi .
Koeffitsientlari o’zgarmas bo’lgan, ikkita tartibli
(1)
(2)
differentsial tenglamalar berilgan bo’lsin . Bunda . Ma’lumki (1) tengalamaning xususiy yechimlari , dan iborat bo’lib uning umumiy yechimi dan iborat, uning nolini topamiz .

ya’ni (1) tengalamaning yechimi da 1 tadan ortiq nolga ega emas tenglamaning umumiy yechimi

ning nolini topamiz :
ya’ni (2) tenglama oraliqda cheksiz ko’p nollarga ega bo’lib ,ketma-ket 2 ta nol orasidagi masofa ga teng
Uzunligi dan katta bo’lgan har bir oraliqda (2) tenglamaning ixtiyoriy yechimining 1 ta noli yetadi ,uzunligi dan katta bo’lgan ixtiyoriy intervalda esa 2 ta noli yotadi .
Ta’rif. Agar differentsial tengalamaning yechimi berilgan oraliqda 1 tadan ortiq nolga ega bo’lmasa ,bunday yechimga tebranmas yechim deyiladi .
Аgar bu бу yechim yetarli katta oraliqda 2 tadan ortiq nolga ega bo’lsa , bunday yechimga tebranuvchi yechim deyiladi .
Ma’lumki har qanday Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani ni
(3)

kurinishga keltirish mumkin .

Shturm teoremasi.
Ma’lumki tengalama 2ta chiziqli bog’liq bo’lmagan

yechimlarga ega bo’lib ,bu yechimlardan birini ketma –ket 2 ta nollari orasida ikkinchi yechimning faqat bitta noli yotadi.
Shturm teoremasi. Ikkinchi tartibli bir jinsli
(3)

differentsial tengalamaning 2ta chiziqli bog’liq bo’lmagan tebranuvchi yechimlarining nollari bir-birini o’zaro ajratadi.

Isbot.faraz etaylik va (3) tengalamaning 2ta chiziqli bog’liq bo’lmagan tebranuvchi yechimlari bo’lsin va yechimning 2 ta ketma-ket noli х₀ vа х₁bo’lb, oraliqda
boshqa nolga ega bo’lmasin .Ya’ni
oraliqda faqat 1 ta nuqta mavjudkim, bu nuqtada bo’ladi Teskarisiga faraz etaylik oraliqdagi nuqta uchun
bo’lsin,
Masalaning aniqligi uchun (x₀,x₁) dа y₂(x)>0 bo’lsin.
[x₀,x₁] oraliq oxirida y₂(x) nolga teng bo’lmaydi , ya’ni aks,holda
Vronskian
(4)
x₀ vа x₁ nuqtada nolga teng bo’lar edi .Buning bo’lishi mumkin emas ,chunki y₁(x) vа y₂(x) lar chiziqli bog’liq emas .
Demak Vronskiy determinanti bu oraliqda o’z ishorasini o’zgartirmaydi .Shuning uchun W(x)>0 deb olish mumkin [x₀,x₁] da.
(4) ning har ikkala tomonini ga bo’lamiz .

y₂>0 bo’lgani uchun , bu tenglikning ung tomoni x ga nisbatan cheksiz funksiya bo’ladi .Keyingi tenglikni har ikkala tomonini x₀ dan x₁ oraliqda integrallaymiz :

Bu keyingi tenglikning chap tomoni nolga teng bo’lib , o’ng tomoni esa musbatdir.
Bu qarama –qarshilik ko’rsatdikim , shunday , nuqta, (x₀< <x₁) mavjudkim bu nuqtada y₂( )=0 .Bunday nuqta yagonadir aksincha faraz etaylik y₂(x )ikkita nolga ega bo’lsin bunda .
y₁ bilan y₂ o’rinlarni almashtirsak , bilan oraliqda y₁(x) ning bitta noli bular edi .Bu esa y₁(x) ikkita ketma-ket x₀,x₁ nolga ega degan shartga qarama-qarshidir .Shturm teoremasiga misol qilib y''+y=0 tengalamani olish mumkin. Bu tengalamaning 2 ta y₁=cosx , y₂=sinx chiziqli bog’liq bo’lmagan yechimlarining nollari almashinib keladi .

Taqqoslash teoremasi .

Tengalamalari berilgan bo’lsin . Bundan p₁(x) vа p₂(x) funksiyalr (a,b) oraliqda uzluksiz va bu oraliqda

Sharti bajarilsin .U holda birinchi tengalamaning ixtiyoriy yechimining 2 ta ketma –ket x₀,x₁ nollariorasida , ikkinchi tengalamaning ноллари орасида, иккинчи тенгламанинг yechimining hech bo’lmaganda bitta noli yetadi.
Isbоt. Faraz etaylik x₀ vа x₁ yechimning 2 ta noli bo’lsin.Isbot etamizkim, shunday x* nuqta mavjuudkim ,uning uchun (x₀₁) bo’ladi.Teskarisini faraz etamiz (x₀,x₁) oraliqda ning birorta ham noli bo’lmasin , ya’ni . Aniqlik uchun (x₀,x₁) oraliqda bo’lsin.
U holda , x₀ ning o’ng tomonida o’suvchi va x₁ ning chap tomonida kamayuvchi bo’ladi .
Demak
vа yechimlarni (1) vа (2) tengalamaga olib borib qo’ysak
(3)
Bularning birinchisini ga, ikkinchisini y(x) ga ko’paytirib , birinchiisidan ikkinchisini hadlab ayirsak



Bu keyingi tenglikni x₀ dan x₁ oraliqda integrallasak
(4)
ga ega bo’lamiz .
Lekin bo’lgani uchun (4) ning chp tomonini manfiy bo’lib , o’ng tomoni esa musbatdir .
Bu qarama qarshilk shuni ko’rsatadikim (x₀,x₁) oraliqda shunday x* nuqta topiladikim , bu nuqtada .
Isbot tugadi.
Misol. Bessil tenglamasini oraliqda qaraymiz almashtirish yordamida uni
(6)

Ko’rinishga keltiramiz .

Bunda z oldidagi koeffitsient bo’lganda birdan katta, bo’lganda birdan kichik bo’ladi. (6) tenglamani y''+y=0 Tenglama bilan taqqoslab , Bessil funksiyasining ketma-ket nollari orasidagi masofa ρ,
da π da kichik (ρ< π) vа dа π dan katta bo’ladi (ρ>π) da Bessil funksiyasining ketma-ket nollari orasidagi masofa ρ= π gat eng bo’ladi.