Mundarija. Kirish. Asosiy qism 1

Mundarija .

1. 
   Kirish.
   
2. 
   Asosiy qism
   

1. Oddiy differentsial tenglamalar uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni Grin funksiyasi orqali yechish.
2. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar va uning xossalari.
3. Chegaraviy masalalar. Grin funksiyasi va uning xossalari.
4.Oddiy differentsial tenglamalar uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni Grin funksiyasi orqali yechishga doir misollar.
III. Xulosa qismi.
IV. Adabiyotlar ro’yxati.


KIRISH
Differensial tenglamalar fizika, mexanika, differensial geometriya, variyatsion hisob, issiqlik texnikasi, elektrotexnika, kimyo, biologiya va iqtisod kabi fanlarda keng qullaniladi. Bu fanlarda uchraydigan ko’plab jarayonlar differensial tenglamalar yordamida tavsiflanadi.Shu tenglamalarni o’rganish bilan tegishli jarayonlar haqida biror ma’lumotga, tasavvurga ega bo’lamiz. Usha differensial tenglamalar, o’rganilayotgan jarayonning matematik modelidan iborat bo’ladi.Bu model qancha mukammal bo’lsa,differensial tenglamalarni o’rganish natijasida olingan ma’lumotlar jarayonlarni shuncha to’la tavsiflaydi.Shuni aytib utish kerakim, tabiatda uchraydigan turli jarayonlar bir xil differensial tenglamalar bilan tavsiflanishi mumkin


Oddiy differentsial tenglamalar uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni Grin funksiyasi orqali yechish. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar va uning xossalari.

Ma’lumki ikkinchi tartibli bir jinsli

(1.1.1)
Tenglamaning bitta xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, uning umumiy yechimi
formula bilan aniqlanar edi.Bunda lar kurilayotgan oraliqda uzluksiz funksiyalardir.
(1.1.2)
differentsial tenglamaga o’ziga qo’shma ikkinchi tartibli differentsial tenglama deyiladi. (1.1.2) ni ochib chiqsak.

bundan ko’rinadikim , o’ziga qo’shma differentsial tenglamada oldidagi koeffitsient oldidagi koeffitsientning hosilasiga tengdir.
Хоssа-1 har qanday ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani o’ziga qo’shma differentsial tenglamaga keltirish mumkin .
(1.1.3)
differentsial tenglama berilgan bo’lsin .
(3) tenglamaning har ikkal tomonini ga ko’paytirganda,u o’ziga qo’shma bo’lgan differentsial tenglamaga aylansin , ya’ni quyidagi shart bajarilsin .

Bundan



integrallasak

Bunda (6)

deb olsak (2) tenglamaga ega bo’lamiz (6) dan ko’rinadikim

Misol. Bessil tenglamasini o’ziga qo’shma bo’lgan differentsial tenglamaga keltiring .
Bu yerda

Bu Bessil tenglamasiga qo’shma bo’lgan differentsial tenglamadir.
Хоssа 2. kkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani erkli o’zgaruvchini almashtirish yordamida uni hamma vaqt
(8)
ko’rinishga keltirish mumkin
Bunda
Faraz etaylik ikkinchi tartibli differentsial tenglama o’ziga qo’shma holga keltirilgan bo’lsin .
(9)
Bunda almashtirishni olamiz.
(16) ga asosan bo’lgani uchun
ga ega bo’lamiz .
Bunda t o’zgaruvchi х ning monoton o’suvchi funksiyasi ekanligi kelib chiqadi .Bundan chiqadikim, х ham t ning uzluksiz va differentsiallanuvchi funksiyasi sifatida intervalga mos kelgan intervalda aniqlangan .



1-rasm
Uni
(10)
desak bajariladi.
U holda
(11)
(11) ga asosan (9) (10) ni e’tiborga olsak keyingi tenglamani
ko’rinishda yoza olamiz. Bunda
Misol .


Хоssа 3. ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani ,noma’lum funksiyani chiziqli almashtirish yordamida ko’rinishga keltirish mumkin.
(12)
tenglamada almashtirishni olamiz
(13)

Bu qiymatlarni (12)ga qo’ysak
(14)
ixtiyoriy funksiya bo’lgani uchun uni shunday tanlab olamizkim bajarilsin.

bundan



Bu qiymatlarni (14) ga qo’ysak



Bunga (12) tenglamaning invarianti deyiladi .Agar invariant o’zgarmas songa yoki ko’rinishga ega bo’lsa u holda ikkinchi tartibli chiziqli differentsial tenglamani hamma vaqt integrallash mumkin .Chunki bu holda (12) tenglama yo koeffitsientlari o’zgarmas tenglamaga yoki Eyler tenglamasiga keltiriladi.
Misol.