Mundarija. Kirish. Asosiy qism 1

Oddiy differentsial tenglamalar uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni Grin funksiyasi orqali yechishga doir misollar.
Agar λ =0 L operatorning xos qiymatlari bo’lmasa , u holda (1) , (2) masalaning yechimi M_L sohada yagona va quydagi formuladan

topiladi , bu yerda -(1) ,(2) masalaning Grin funksiyasi.
Ta’rif :
(1)
(2)
masalaning Grin funksiyasi deb shunday funksiyaga aytiladiki , u funksiya sohada aniqlangan bo’lib ,[a,b] oraliqda olingan har bir ξ uchun x ning funksiyasi sifatida quydagi shartlarni qanoatlantirsa :

1) x-ning funksiyasi sifatida funksiya quydagi

(3)
tenglamani qanoatlantiradi;
2) funksiya x=a va x=b bo’lganda (2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi;
3) x=ξ bo’lganda [a, ξ] va [ξ,b] oraliqda x bo’yicha funksiya uzluksiz , lekin birinchi tartibli hosilasi x=ξ nuqtada chekli uzulishga ega , ya’ni :
(4)
Agar (1),(2) chegaraviy masala faqat trivial yechimga ega bo’lsa , u holda bu masala uchun yagona Grin funksiya mavjud va quydagi ko’rinishda
(5)
Izlanadi , bu yerda y₁(x) va y₂(x) funksiyalar L(y)=0 tenglamaning noldan farqli yechimlari bo’lib , mos ravishda (2) ning shartlarni qanoatlantiradi.
(5) funksiya (4) shartlarni qanoatlantirishi uchun φ(ξ) va ψ(ξ) funksiyalarni shunday tanlash kerakki , quydagi sistema

(6)

yechimga ega bo’lsin .

6. 
   ko’ra (5) ni quydagi ko’rinishda ifodalaymiz :
   

(7)
bu yerda
(8)
(9)


ω(x) -Vronskiy determinanti .

Agar λ=0 L operatorning xos qiymatlari bo’lmasa , u holda Ly=λy+f(x) tenglama uchun quyilgan (2) chegaraviy masalaning yechimi quydagi integral tenglamaga

(10)
teng kuchlidir , bu yerda
1-misol Quyidagi
(11)
(12)
Masalaning Grin funksiyasini tuzing va uning yechimini toping .
Yechish. tenglamaning umumiy yechimi dan iborat .Bunga ko’ra y₁(x)=x va y₂(x)=x-1 funksiyalar mos ravishda y(0)=0 va y(1)=0 shartlarni qanoatlantiruvchi tenglamaning yechimlari bo’ladi . (1) va (11) ga asosan p(x)=1 teng .(9) ko’ra esa ga teng . Demak , Bundan va (7) formulaga asosan (11) , (12) masalaning Grin funksiyasi quydagi ko’rinishda
(13)
bo’ladi.
(*) , (13) formulaga ko’ra (11) , (12) masalaning yechimi quydagi formuladan
(14)
topiladi.
2-misol. Quyidagi
(15)
(16)
Shturm –Liuvill masalasiga teng kuchli integral tenglamani toping .

Yechish. tenglamaning noldan farqli (16) ning shartlarini qanoatlantiruvchi yechimlari

(17)
funksiyalardan iborat . (1) va (15) tenglamalarga asosan


(9) ga ko’ra esa



ga ega . Demak, Bundan va (7) formulaga asosan (11) , (12) masalaning Grin funksiyasi quydagi ko’rinishda
(18)
bo’ladi .
(10) va (18) formulalarga asosan (15) (16) masalaning yechimi quyidagi integral tenglamaga

teng kuchli bo’ladi, bu yerda -funksiya (18) formula orqali aniqlanadi.
3-misol. Quyidagi
(19)
(20)
masalaning Grin funksiyasini tuzing va uning yechimini toping.
Yechish. tenglamaning noldan farqli (20) ning shartlarini qanoatlantiruvchi yechimlari
va (21)
funksiyalardan iborat .(1) va (19) tenglamalarga asosan . (9) ko’ra esa ga ega . Demak , Bundan va (7) formulaga asosan (19), (20) masalaning Grin funksiyasi quydagi ko’rinishda


bo’ladi. (22)

(*) , (22) formulalarga asosan (19) va (20) masalaning yechimi quyidagi formuladan topiladi :

Мисол 1.

2.

2.
Chegaraviy masala uchun Grin funksiyasini tuzing.














Misol -2

Chegaraviy masala uchun Grin funksiyasini tuzing.

Xulosa
Kurs ishining kirish qismida Oliy ta’lim — ilm-fan ishlab chiqarish o’rtasida uzilishlar mavjud, integratsiya ta’minlanmagan. Ilmiy-tadqiqot institutlari oliy ta’limda kadrlar tayyorlash jarayoniga zarur darajada jalb etilmagan, ularda ilmiy izlanishlar iqtisodiyot sohalarining real ehtiyojlaridan kelib chiqmasdan amalga oshirilmoqda. Oliy malakali ilmiy va ilmiy-pedagog kadrlarning tizimli tayyorlanmasligi oliy ta’lim muassasalarining ilmiy salohiyatining pasayishiga olib kelishi, shu kabi dolzarb sabablari haqida so’z yuritildi.
Kurs ishining asosiy qismida quyidagi Koshi masalasida boshlangich shart argumentning bitta qiymati ustida berilishi. Masalan

tenglamaning _{ } (har ikkala tenglikda argument 0 ga teng) shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi – Koshi masalsidan iborat. Agar ma’lum bir shartlar argumentning ikkita qiymati ustida berilsa, u holda qaralayotgan masala – chegaraviy masala deb atalishi hamda shunga o’xshash turli tarif, teorema, xossalar va bir qancha shu tariflarga misollar keltirilgan