Mundarija. Kirish. Asosiy qism 1

Chegaraviy masalalar. Grin funksiyasi va uning xossalari.
1. Chegaraviy masalalar.
Chegaraviy masalaning qo’yilishi : Agar ushbu
(1)
tenglama va
(2)
munosabatlari berilgan bo’lsa, (1) tenglamaning shu (2) munosabatlarni qanoatlantiradigan yechimini izlash chegaraviy masala deyiladi .Bu masala Koshi masalasiga qaraganda umumiy bo’lib ,undan

i= 1 , 2 , . . . , n bo’lganda Koshi masalasi kelib chiqadi .
Agar n=2 bo’lib ,
(3)

Bo’lsa, ikkinchi tartibli tenglamaning integral chizig’i boshlang’ich shartni qanoatlantirishi lozim bo’ladi . Yana , agar n=2 bo’lib

(4)
Bo’lsa ,bu ham tez-tez uchraydigan chegaraviy masalaning shartidan iborat .Ba’zi hollarda yechim davriyligining chegaraviy sharti deb yuritiluvchi (n=2)
(5)
Shart ham uchraydi.
2.Bir jinsli chegaraviy masala . Chegaraviy masala yechimining mavjudligi va yagonaligi muhim rol o’ynaydi .
Funksiyalar o’z argumentlariga nisbatan chiziqli shakldan iborat bo’lgan holni ko’ramiz . aniqrog’i g_i funksiyalar quyidagi
(6)
(bunda ---- o’zgarmas ) ko’rinishda bo’lsin . Agar (i= 1, 2, . . . ,n) bo’lsa , qo’yilgan masala bir jinsli chegaraviy masala deyiladi. Agar

Bo’lsa , u bir jinsli bo’lmagan masala bo’ladi .
n-tartibli chiziqli bir jinsli
(*)
tenglama va (6) chegaraviy shartlar berilgan bo’lsin, (*) va (6) munosabatlarni bo’lganda qanoatlantiradigan funksiyani topish masalasi (*) tenglama uchun bir jinsli chegaraviy masala deyiladi.
Ravshanki, har bir jinsli chegaraviy masala kamida bitta trivial yechimga ,ya’ni yechimga ega .Ammo bir jinsli chegaraviy masala trivial bo’lmagan yechimlarga ham ega bo’lishi mumkin .Shu munosabat bilan quyidagi teoremani keltiramiz .
Teorema. Agar funksiyalar (*) tenglamaning chiziqli erkli yechimlari bo’lsa ,u holda , masala trivialmas yechimga ega bo’lishi uchun
(7)

Determinantning nolga teng bo’lishi zarur va yetarli.

Isbot. Teoremaning shartiga ko’ra , funksiyalar oraliqda Chiziqli erkli yechimlar .Shuning uchun bo’lganda (*) tenglamaning barcha yechimlari

formula bilan beriladi. Jumladan , , i =1,2,…, n shartni qanoatlantiruvchi yechimi ham shu formula bilan beriladi .Shu sababli

1,2, … , n (8)
Munosabatlarga egamiz , ya’ni

Yoki
(9)
Endi bir jinsli tenglama bir jinsli chegaraviy shartni qanoatlantiradigan trivialmas yechimga ega deylik . Unda bo’ladi .Shuning uchun (9) dan D=0 ekani kelib chiqadi.Agar D=0 bo’lsa , u holda (7) dan o’zgarmaslar topiladi . Demak ,ushbu

Funksiya trivialmas bo’lib , bir jinsli chegaraviy masalaning shartlarini qanoatlantiradi . Teorema isbotlandi.
3. Bir jinsli chegaraviy masala uchun Grin funksiyasi.
Differintsial ifoda L(p)y qo’yidagi ko’rinshda bo’lsin:
L(p)y=a₀(x)y⁽ⁿ⁾+ a₁(x)y^(n-1)+…+ a_n-1(x)y¹+ a_n(x)y (7.36)
a₀(x)≠0 , x€I.